高中数学-点、直线、平面之间的位置关系-测试练习题

高中数学-点、直线、平面之间的位置关系测试练习题

1.如果4点在直线a上，而直线a在平面a内，点B在a内，可以表示为（）

A./lua,Qua,BeaB.4ea,aua,Bea

C.Aca,a6a,BuaD.AEa,aGa,BEa

2.已知直线/，平面Q,直线mu平面例给出下列命题：

①a〃/?=>Z1m；

（2）a_L£=l//m；

（3）Z//m=>a1/?

④11m=>a//p.

其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②③④C.②④D.①②③

3.垂直于同一平面的两条直线（）

A.平行B.垂直C.相交D屏面

4.若点4在直线b上，b在平面£内，则4b,£之间的关系可以记作（）

A.4ebepB.Aubu夕C.AWbu/?D.AubW°

5.若点E,F,G,"分别是空间四边形4BCD的边AB,BC,CD,。4的中点.则空间

四边形的四条边与两条对角线中与平面EFGH平行的条数为（）

A.OB.lC.2D.3

6.如图，平面al平面/?,Aea,B€0,与两平面a、口所成的角分别为押哈过4、

B分别作两平面交线的垂线，垂足为4、B',

A.2:1B.3:lC.3:2

7.下列四个命题中，假命题是（）

A.若平面内有两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则两个平面平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.如果平面内有无数条直线都与平面平行，则两个平面平行

D.如果平面内任意一条直线都与平面平行，则两个平面平行

8.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形力BCD为矩形，E,F分别为P4PC的

中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线4F异面；③直线,醒$$平面PBC；④

平面舞窗11平面PA，

其中正确的结论个数为11

A.4个B.3个C.2个D.1个

9.己知三棱柱ABC-481C1的侧棱与底面垂直，体积为£底面是边长为6的正三角

形.若P为底面三角形的中心，则P4与平面ZBC所成角的大小为（）

A57T

A—B

12-7《D.=

10.在正方体ABCD-A'B'C'。'中，过对角线B。，的一个平面交AA于点E,交CC'于点

F.则下列结论正确的是（）

①四边形BFC'E一定是平行四边形

②四边形BFD'E有可能是正方形

③四边形BFC'E在底面4BCC的投影一定是正方形

④四边形BFD'E有可能垂于于平面BB'D.

A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④

11.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角.

12.直线与平面平行的判定定理,平面与平面垂直的判定定理.

13.如果将两条异面直线称作一对，那么在四面体的六条棱中，异面直线有

试卷第2页，总18页

对.

14.直线a〃平面a,a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有

________条.

15.平面a的斜线与a所成的角为30。，那此斜线和a内所有不过斜足的直线中所成的角

的最大值为.

16.在正方体ABCD-&8传1。1中，M为BB］的中点，AC.BD交于点0,则为。与平面

4MC成的角为度.

17.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得.

①aua,bca(2)aca,b//a

③a1a,b1a④aca,b1a

18.在正方体4cl中，E,F分别是线段&Bi，BiQ上的不与端点重合的动点，如果

A1E=B1F,有下列四个结论:

(f)EF与441所成的角为90°；②)EF//AC；③EF与AC异面；④EF〃面ABCD,其中

一定正确的有.

19.把Rt△4BC沿斜边上的高CD折起使平面4DC1平面BDC,如图所示，互相垂直的

平面有对.

20.给出下列四个命题：

①设a是平面，m、n是两条直线，如果rnua,n<ta,m,n两直线无公共点，那么

n//a；

②设a是一个平面，m、n是两条直线，如果m〃a,n//a,则?n〃7i；

③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行；

④三条直线交于一点，则它们最多可以确定3个平面.

其中正确的命题是.

21.空间四边形4BCD中，E、F、G、”分别是48、BC、CD、04上的点，已知EF和

GH交于点P,求证：EF、GH、4C三线共点.

B

D

22.如图，已知空间四边形4BCD,及两条对角线AC、BD,AB=AC=AD=a,

BD=DC=CD=b,ABijfl'BCD,垂足为H,求平面4BD与平面BCD所成角的大

23.如图，在正方体ABCD-43传1。1中，E,F分别为BC的中点.

(1)求证：EF〃平面BCGBi；

(2)求直线EF与直线441所成的角.

24.如图，点4,B,C确定的平面与点Z),E,F确定的平面相交于直线1,且直线AB与

I相交于点G,直线EF与，相交于点H,试作出平面4B0与平面CEF的交

25.如图三棱柱4BC-4当6中，所有棱长均为2,NCBB1=乙48位=120°,平面

CBBiGJ"平面ABB14,M是中点，N是CBI中点.求证：MN〃平面

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

高中数学-点、直线、平面之间的位置关系测试练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

B

【考点】

平面的概念、画法及表示

平面的基本性质及推论

【解析】

直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可.

【解答】

解：4点在直线a上，而直线a在平面a内，点B在a内，

表示为：A&a,aua,B&a.

故选B.

2.

【答案】

A

【考点】

直线与平面垂直的性质

平面与平面垂直的判定

平面与平面平行的判定

直线与平面平行的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：①中，因为直线/，平面a,a〃。，所以直线11平面/?,又直线mu平面£,所以11

771；故①正确；

②中，因为直线，_L平面a,a_L0,所以l〃°或Iu°,又直线mu平面£,所以I与m可

能平行、重合或异面，故②错：

③因为直线I_L平面a1〃m,所以nt,平面a,又直线mu平面夕，所以a10,故③正

确；

④中，因为直线2_L平面a,/1m,所以机〃。或巾＜2匹又直线mu平面S，所以a与£

平行或相交，所以④错；

故选4

3.

【答案】

A

【考点】

直线与平面垂直的性质

【解析】

根据直线与平面垂直的性质定理直接可得答案.

试卷第6页，总18页

【解答】

解：根据直线与平面垂直的性质定理，

垂直于同一平面的两条直线平行，

故选4

4.

【答案】

C

【考点】

平面的基本性质及推论

【解析】

点2在直线b上，记作b在平面内，记作bu£.

【解答】

解：1,点4在直线b上，

A&b,

•••b在平面£内，

be/?.

A€bu0.

故选C.

5.

【答案】

C

【考点】

直线与平面平行的性质

【解析】

利用中位线的性质，判断四边形EFGH为平行四边形，然后利用线面平行的条件进行判

断即可.

【解答】

解：如图

因为E,F,G,，分别是四面体力BCD的边4B,BC,CD,ZM的中点,

所以EH,FG分别是各三角形的中位线，

所以EH//BD,FG//BD,

所以EH//FG.

同理EF//HG,

即四边形EFGH为平行四边形.

所以和四边形EFGH平行的棱有AC和8。.

故选C.

6.

【答案】

A

【考点】

直线与平面所成的角

平面与平面垂直的性质

空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】

设4B的长度为a用a表示出的长度，即可得到两线段的比值.

【解答】

解：连接和4B,设4B=a,可得4B与平面a所成的角为=9

在Rt△BAB，中有=#a,同理可得48与平面6所成的角为4ABA=g

2o

所以44=^。，因此在RtZkAA夕中48'=J(ya)2-(|a)2=|a,

所以4&4B'=a；|a=2：1,

故选4

7.

【答案】

C

【考点】

平面与平面平行的判定

【解析】

由面面平行判定定理的推论，可判断A的真假；由平行公理(平行的传递性)可以判断

B的真假；根据面面平行的判定方法及线面平行几何特征，可以判断C的真假；根据面

面平行的定义及判定定理可得D的真假.

【解答】

解：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别平行，

则该平面内有两条相交直线与另一平面平面，由面面平行的判定定理可得两个平面平

行，故A为真命题；

由线线平行的传递性，类比到面面平行结合面面平行的几何特征可得B也为真命题；

如果平面内有无数条相互平行的直线都与平面平行，则两个平面不一定平行，故C为假

命题；

如果平面内任意一条直线都与平面平行，由面面平行的判定定理，可得两个平面平行,

故。为真命题；

故选C

8.

【答案】

C

【考点】

异面直线的判定

【解析】

把平面展开图还原回立体图形，根据异面直线的概念和线面关系的判定，依次判断各

个选项，得到正确结论的个数.

【解答】

试卷第8页，总18页

将平面展开图还原后可得立体图形如图所示：

A-

⑥E.F为P4PD中点尸〃AD,又四边形力BCD为矩形nAD〃BC

EF//BC=B,C.E.F四点共面

直线BE与CF共面，不是异面直线，即。错误

②•••Ee平面PADAF=平面PADEf物B6平面P4D

直线BE与直线4尸为异面直线，即©正确

③・；EF//BCBC=^PBCEFz^PBC

.EF〃平面PBC,即③正确

④假设平面BCE平面R4D,即平面BCEF_L平面PAD

又平面ECEF平面PAD=EF,作PM1EF,垂足为M,可得PM_L平面BCE

但实际无法证得PMJL平面BCE,故假设不成立，即④错误

本题正确选项：C

9.

【答案】

B

【考点】

直线与平面所成的角

平面与平面平行的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

,/AAr，底面为B1C1，

N4P41为P4与平面&B1Q所成角.

平面4BC〃平面48传1，

为P4与平面ABC所成角.

2

SAAB】j=9x(V3)=

U-表柱ABC-A/G=AA1*Sg[BiCi=等力"1=支

解得=V3.

又P为底面正三角形AiBiG的中心，

2

A1P=^A1D=1.

在RtM&P中，Z.APAX==>/3,

44P4=p

故选B.

10.

【答案】

B

【考点】

平面与平面垂直的判定

平面的基本性质及推论

【解析】

①根据一个面与两个平行的面的交线一定平行的性质证明出四边形BFD'E一定是平行

四边形.

②先看F与C'重合，E与4点重合时不可能是正方形，在看不重合时BF和BE不可能垂

直，进而推断结论不正确.

③四边形BFD'E在底面4BCD的投影是正方体的底面，进而可知，射影一定是正方形.

④找到E,F分别为中点时，利用证明EF_L面BDD'B',进而证明出两个面垂直.

【解答】

解：

①：四边形BFD'E与面BCC'B'的交线为BF,与面ADD"'的交线为D'E,且面

BCCB'//面ADD'4的交线为D'E,

BF//D'E,

同理可证明出BE〃D'F,

四边形BFD'E一定是平行四边形，

故结论①正确.

②当F与C'重合，E与4点重合时，BF显然与EB不相等，不能是正方形，

当这不重合时，BF和BE不可能垂直，

综合可知，四边形BFD'E不可能是正方形

结论②错误.

③四边形BFD'E在底面4BCD的投影是四边形AB'C'D',

故一定是正方形，③结论正确.

④当E,F分别是44',CC'的中点时，

EF//AC,ACA.BD,

EF1BD,

BB'l面4BCC,4Cu面ABCD,

BB'1AC,

：.BB'1EF,

-：BB'u面BDD'B',BDa^BDD'B',BDCBB'=B.

：.EF1面BCD®,

•••EFu四边形BFO'E,平面BB'Ou面BDD'B',

面形BFD'E1面BDD'B'.

故结论④正确.

故选：B.A'

试卷第10页，总18页

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

11.

【答案】

相等或互补

【考点】

平行公理

【解析】

利用平行公理，可得结论.

【解答】

解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

故答案为：相等或互补.

12.

【答案】

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，一个平面过另一

平面的垂线，则这两个平面相互垂直

【考点】

直线与平面垂直的判定

直线与平面平行的判定

【解析】

直线与平面平行的判定定理：需要三个条件，面内一线，面外一线，线线平行，可得

线面平行；

平面与平面垂直的判定定理：需要两个条件，线面垂直，线在面内，可得面面垂直.

【解答】

解：直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直

故答案为：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；一

个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直

13.

【答案】

3

【考点】

异面直线的判定

【解析】

如图所示，如果将两条异面直线称作一对，那么在四面体的六条棱中，利用异面直线

的定义即可得出.

【解答】

解：如图所示，如果将两条异面直线称作一对，那么在四面体的六条棱中，异面直线

有3对：AB^PC,AC与PB,

BC^PA.

14.

【答案】

1或。

【考点】

直线与平面平行的性质

【解析】

此题根据"过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”很容易判断

【解答】

解：不论是在平面里，还是在空间中：

过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，

所以这n条直线中，最多只有1条与直线a平行

故答案为：1或0

15.

【答案】

90°

【考点】

异面直线及其所成的角

【解析】

斜线和a内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和a内所有不过斜足的

直线中所成的角的最大角.

【解答】

解：斜线和a内所有不过斜足的直线为异面直线，

•••此斜线和a内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90。.

故答案为：90°.

16.

【答案】

90

【考点】

直线与平面所成的角

【解析】

由已知中正方体ABCD-4道传1。1中，M为BBi的中点，AC、BD交于点。，根据正方

体的几何特征可得即为5。与平面4MC成的角，解三角形DiOM,即可得到答

案.

【解答】

解：先设正方体的棱长为a

所以。。=乎a,

则NDiOM即为4。与平面力MC成的角.

由勾股定理得，

OM=ya,DrM=|a,

试卷第12页，总18页

由余弦定理得，coszDiOM="嘿=0

20-0M

所以NDiOM=90"

故答案为:

17.

【答案】

②

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】

本题考查的知识点是空间中直线与平面的位置关系，及空间中直线与直线之间的位置

关系，由已知中直线a与b是两条不相交的空间直，故a、b可能平行或异面.但①中

aua,bua说明a,b共面，③中aJ.a,b1.a,说明a,b平行，这都与a、b可能异

面相冲突，而对于

④aua,bla,说明a,b一定垂直，故④也错误，用排除法即可得到答案.

【解答】

解：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面.

当a、匕异面时，不存在平面a满足①、③；

又只有当a1b时④才成立.

故答案为：②

18.

【答案】

①④

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】

作出正方体ABCD-&B1GD1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正

确判断.

【解答】

解：如图所示.由于44i_L平面EFu平面4B1GO1，

则EF14人,即EF与44］所成的角为90。，所以①正确；

当E,F分别不是线段&Ci的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；

当E,尸分别是线段BiG的中点时，EF〃&G，又AC〃A&,则EF〃AC,所

以③不正确；

由于平面&B1GD1〃平面ABCD,EFu平面48165，所以EF//平面4BC0,所以

④正确.

故答案为:

19.

【答案】

3

【考点】

平面与平面垂直的判定

【解析】

由CD_L4B可证明平面ADC_L平面4BD,平面4DB1平面BDC,从而可求得互相垂直

的平面有3对.

【解答】

解：；由已知，CDLAB

：.平面ADC1平面4BD,平面ADB_L平面BDC,

由,rADC1平面BDC,

综上可知，互相垂直的平面有3对.

故答案为：3.

20.

【答案】

③④

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】

①②列举所有可能，即可判断；③根据公理4,可得结论；④三条直线交于一点，

每两条确定一个平面，它们最多可以确定3个平面.

【解答】

解：①设a是平面，m、n是两条直线，如果mua,nCa,n两直线无公共点，

那么n〃a或n与a相交，故不正确；

②设a是一一个平面，m、n是两条直线，如果m〃a,n//a,则m、n平行、相交或异

面，故不正确；

③若两条直线都与第三条直线平行，根据公理4,可得这两条直线平行，故正确；

④三条直线交于一点，每两条确定一个平面，它们最多可以确定3个平面，故正确.

故答案为：（3）（4）.

三、解答题（本题共计5小题，每题10分，共计50分）

21.

【答案】

证明：因为EF、GH相交于点P,

则点P6EF,且P6GH.

又由题意，EFu面ABC,GH

贝1J点P6面4BC,P€面力DC,又平面力BCn平面

试卷第14页，总18页

则点P必在面SBC与面4DC的交线上，即PeAC,

所以EF、GH、4c三线共点.

【考点】

平面的基本性质及推论

空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】

先根据EF、GH相交于点P得到点P属于直线EF,且属于直线GH,再根据EF属于面

ABC,GH属于面4DC即可得到点P必在面ABC与面4CC的交线上，进而得到结论.

【解答】

证明：因为EF、GH相交于点P,

则点P6EF,且P€GH.

又由题意，EFu面ABC,GHu面4DC

则点P€面力BC,Pe面4DC,又平面4BCn平面4DC=4C,

则点P必在面ABC与面4DC的交线上，即PeAC,

所以EF、GH、4c三线共点.

22.

【答案】

解：已知空间四边形4BCD,及两条对角线4C、BD,AB=AC=AD=a,BD=

DC=CD=b,

所以：取BD的中点E,连接4E和CE

则：AELBD,CE1BD

所以：平面4B0与平面BCO所成角的大小即：AAEC.

所以解得：CEAE=空亘

在AACE中，利用余弦定理：cos^AEC=-2^2^--2b__2a2-3旅

2AE-CEV12a2-3b2-12a2-3b2

平面ABD与平面BCD所成角的大小arccos笔三券.

12az-

【考点】

二面角的平面角及求法

【解析】

首先说明四面体4BC。为正四面体，进一步利用线线的垂直说明二面角的平面角，进一

步利用余弦定理求出结果.

【解答】

解：已知空间四边形力BCD,及两条对角线AC、BD,AB=AC=AD=a,BD=

DC=CD=b,

所以：取B。的中点E,连接ZE和CE

则：AE1BD,CE1BD

所以：平面ABC与平面BCD所成角的大小即：^AEC.

所以解得：CE=^b,AE=3笋

b_川12a2-3b2

在△ACE中，利用余弦定理：COSN/IEC==：用二"V12a2-3d2-12a2-3》2

b\/12a2-3b2

平面与平面所成角的大小

480BCDarccos12a2—3匕2,

23.

【答案】

(1)证明：如图，连接4C,BQ

E,尸分别是AB1，4c的中点，

EF//CB1,

EFC平面BCG%，CBXu平面BCgBi，

E/7/平面BCQB1.

(2)解：；EF//BXC,AA\"BB\,

：.NBBiC为直线EF与直线44i所成的角,

乙BB1C=45°,

EF与?Mi所成的角为45。.

【考点】

直线与平面平行的判定

异面直线及其所成的角

【解析】

(2)-/EF//BrC,AAi"BB\,

•••NBBiC为直线E尸与直线4公所成的角,

乙BB[C=45",

EF与所成的角为45。.

【解答】

(1)证明：如图，连接4C,Bi。，

E,F分别是AC的中点，

EF//CB1,

EFC平面BCG%CB]u平面BCGBi，

EF〃平面BCGB1.

⑵解：EF“B\C,

NBBiC为直线E尸与直线4公所成的角,

乙BB[C=45",

EF与所成的角为45。.

24.

【答案】

解：如图，在平面4BC内，连接4B,与/相交于点G,

则G€平面DEF；在平面DEF