高三数学寒假作业

高三数学寒假作业10

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的

1.（5分）已知集合4={刈卫<2},B={-2,-1,0,1,2},贝!]AC8=（）

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

Z4-1

2.（5分）设复数z满足一=i,则|z|=（）

z-1

A.1B.V2C.V3D.2

3.（5分）已知产为抛物线C：/=2*（p>0）上一点，点P到C的焦点的距离为9,到y

轴的距离为6,贝Up=（）

A.3B.6C.9D.12

4.（5分）设Z,b为单位向量，且丘-b|=l,则向+2b|=（）

A.3B.V3C.7D.V7

5.（5分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布

饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（）

注：90后指1900年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以

前出生.

90后从事互联网行也向位分布图

技术I-1S9.6%

运营I.117%

市场II：32%

设计I823%

职能I】9.8%

产品6.5%

其他口：.6%

①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、

立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺,

则谷雨这一天的日影长度（）

A.5.5尺B.4.5尺

/+1丫3

7.（5分）函数），=£然的图象大致为（

8.（5分）式子（x—9）（x+y）§的展开式中，的系数为（）

A.3B.5C.15D.20

9.（5分）若直线/与曲线），=一代和圆》2+尸=&都相切，则/的方程为（）

A.x-2或y+2=0B,x+2V2y+2=0C.x-2/）,-2=0D,x+2^2y-2=0

10.（5分）已知〃>0,b>0,且o+b=L则下列选项错误的是（）

A.a+b2>iB.2a~b>^

C.Iog2〃+k）g2b2-2D.Va4-Vh<V2

11.（5分）对于函数（x）与y=g（x）,若存在x（）,使/（出）=g（-x（））,则称M（即，

/（沏）），N（-xo，g（-xo））是函数/（x）与g（x）图象的一对"隐对称点已知函

数/（x）=m（x+1）,g（x）=亨，函数/（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”,

则实数〃，的取值范围为（）

A.(-1,0)B.(-8,-1)

C.(0,1)U(1,+8)D.(-8,-1)U(-1,0)

xy

12.（5分）设点A,B分别为双曲线C：--—=1Q>0,b>0）的左、右焦点，点

a2b2

N分别在双曲线C的左、右支上，若痴=5八，MB2=MN'MB,S.\MB\<\NB\,则双

曲线C的离心率为（）

V65V851317

A.---B.---C.—D.—

5557

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

x+y—2N0,

x-y-2<0,,则目标函数z=x+2y的最小值

（y>2,

为.

14.（5分）已知/（x）=（x2+2x+a）e,若f（x）存在极小值，则a的取值范围是.

15.（5分）数列｛斯｝中，。|=2,而+”=。/斯，若以+2+诙+3+…+。*+“=2"-25,则k—.

16.（5分）已知A-88是球。的内接三棱锥，AB=AC=BC=BD=CD=6,AO=9,则

球O的表面积为.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8=花，c=五,ZB

=45°.

（1）求边BC的长;

4

（2）在边8c上取一点。，使得cosNADB=g，求sin/D4c的值.

18.（12分）如图，四面体ABC。中，Z\ABC是正三角形，△ACC是直角三角形，ZABD

=NCBD,AB=BD.

（1）证明：平面AC。J_平面ABC；

（2）若届=2而，求二面角O-AE-C的余弦值.

D

XV-V2

19.(12分)已知椭圆C：—+—=1Ca>b>0)的离心率为一，且过点4(2,1).

a2b22

(1)求C的方程；

(2)点M,N在。上，且AM,AM证明：直线MN过定点.

高三数学寒假作业10(答案解析)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,-1,0,1,2},则AGB=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

【解答】解：VA={x|-2<x<2),B={-2,-1,0,1,2),

：.AC\B={-1,0,1).

故选：C.

2.(5分)设复数z满足三匚=八则|z|=()

z-1

A.1B.V2C.V3D.2

【解答】解：•.•复数z满足四■一,

z-1

・1+i(1+f)

•・z=E=_QT)(i+i)=r

贝收|=1.

故选：A.

3.(5分)已知尸为抛物线C：『=2px(p>0)上一点，点尸到C的焦点的距离为9,到y

轴的距离为6,则。=()

A.3B.6C.9D.12

【解答】解：A为抛物线C：/=2px（p>0）上一点，点4到C的焦点的距离为9,到

y轴的距离为6,

因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，

故有：6+号=9=2=6；

故选:B.

4.（5分）设房b为单位向量，且向一匕|=1,则向+2川=（）

A.3B,V3C.7D.夕

【解答】解：a,匕为单位向量，且向一力|=1,

TTTTT.1

所以a?-2a•b+坟=1,所以a-b=],

所以|a+2b\=Ja2+4a-b+4b2=y/l+2+4=y/7.

故选：D.

5.（5分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布

饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（）

注：90后指1900年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以

前出生.

,一90后从事互联网行业面位分布图

//技术I-1：9.6%

//\运营

（MU/L\市场I1132%

嚣\盥设讯抽3%

\\/职能卜二]9.8%

X.\y产品6.5%

其他口：6%

①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布

条形图得到：

56%X（39.6%+17%）=31.696%>30%,

互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故①正确；

由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

56%X39.6%=22.176%>20%,

互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%,故②正确；

由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

17%X56%=9.52%>3%,

互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故③正确；

由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

56%X39.6%=22.176%<41%,

互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故④错误.

故正确结论的编号是①②③.

故选：A.

6.（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、

立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺,

则谷雨这一天的日影长度（）

A.5.5尺B.4.5尺C.3.5尺D.2.5尺

【解答】解：根据题意，设这个等差数列为｛斯｝,且该数列的公差为4

则有0+44+47=341+9d=31.5,且“1+42+。3+。4+。5+“6+。7+48+49=9。1+364=85.5;

解可得:d=-1,a\=13.5；

则谷雨这一天的日影长。9=13.5+81=5.5；

故选：A.

7.（5分）函数y=的图象大致为（）

,4+1

Kk

A.B.

【解答】解：>=曰穿=/浮，函数的定义域为R，

设y=f(x),

则/(-x)=一异==—/(x),即函数y=/(x)为奇函数，其图象关于原点对称,

故排除C,

7

,//(1)=3>0,故排除。,

2+1

2x43

/⑷==Up>8,故排除A,

24+2-416+表

故选：B.

8.(5分)式子(X—§•)(x+y)5的展开式中，/)？的系数为()

A.3B.5C.15D.20

2

【解答】解：式子(X-?)(x+y)5的展开式中，力3的系数为c晟-废=10-5=5,

故选：B.

9.(5分)若直线/与曲线)=一石和圆/+y2=5都相切，则/的方程为()

A.x-2历+2=0B.x+2何+2=0C.》-2际-2=0D.x+2^2y-2=0

【解答】解：分别作出曲线产一代和圆/+/=小

由图象可得切线的斜率小于0,纵截距小于0,

由排除法可得只有选项B的直线方程满足要求；

另外可设切线的方程为y=kx+b,

圆，+『=看的圆心(0,0),半径r=

由直线I与圆相切，可得,厂艺］=；，①

Vl+k23

由y=kx+b与y=一日联立可得，fc2x2+(2kb-1)x+/?2=0,

^△=(2kh-1)2-4铲必=0,

化为4妨=1,②

解得仁一?，〃=一孝,

则切线的方程为)=一*(x+2),即为x+2应y+2=0,

则下列选项错误的是()

A.a+b^>|B.20-fc>|

C.Iog2〃+log2b2-2D.>fa+V6<V2

【解答】解：对于A,因为〃>0,b>0,且。+6=1,

所以"工(竽)2=/当且仅当。=6=*时等号成立，

所以J+Z?2=(。+〃)2_2〃b=l-29?21-2x/=当且仅当a=b=4时等号成立，故

A正确；

对于8,由a>0,b>0,且“+6=1,得a=l-b>0,则0<b〈l,则

所以2〃"=2-2、(_2),故B正确；

2

11

对于C,log2〃+log2b=log2a"Wk>g2-=-2,当且仅当a=b=5时等号成立，故C错误；

对于£),因为。+。=1当且仅当时等号成立，

所以〃+〃+2A/HF=(Va4-VF)2<2,所以乃+伤工鱼，故。正确.

故选：C.

11.(5分)对于函数y=f(x)与y=g(x),若存在物使f(%o)=g(-3)，则称M(如

/(xo)),N(-必,g(-3))是函数/(x)与g(x)图象的一对“隐对称点”.已知函

数/(x)="?(x+l),.(%)=竽,函数/(x)与g(x)的图象恰好存在两对“隐对称点”,

则实数机的取值范围为()

A.(-1,0)B.(-8,-1)

C.(0,1)u(1,+oo)D.(-8,-1)U(-1,0)

【解答】解：・・・/(x)=m(x+1)恒过定点(-1,0),/(x)关于)，轴对称的图象的函

数解析式为y--m(x-1)

题意可得，y=-(x-1)与g(x)=早有2个交点,

由g(x)=竽,得g'a)1—lnx

当OVxVe时，h'(x)>0,函数g(x)单调递增，当冗>e时，g‘(x)<0,函数g

(x)单调递减,

而y=-皿(x-1)恒过定点(1,0),

作出函数g(%)="的图象如图,

当直线>=-，"(X-1)与g(x)=竽切于(1,0)时，由导数的几何意义可得,

1—lnl1

m=-T~=1'

l2

则要使y=-m(x-1)与g(x)=竽有2个交点，得-%>0且-mWl,

.*./n<0且mW-1,

二实数m的取值范围为(-8,-1)U(-1,0).

x2y2

我一记=IQ>。，心。)的左、右焦点，点M,

—>

N分别在双曲线C的左、右支上，若疝V=5薪，MB2=MN'MB,S.\MB\<\NB\,则双

曲线C的离心率为()

V65V851317

A.——B.C.——D.—

5557

T

【解答】解：设I力M|=m,则|MN|=5m(w>0),

'：MB2=MN-MB=(.MB+=MB2+BN-MB,

：.BN-MB=0,即BNLMB,

贝i]|麻/+|嬴『=।嬴『，即(24+m)2+(6m-2a)2=(5,„)2,

解得m—a或m=|a.

①若机=触时，\BM\=^a,\NB\=2a,不满足|M8|<|NB|(舍去),

②若山="时，|B"|=3"，|后|=4a,满足|薪|<|加|,则〃?=a.

・・八八JD|BN|4a4

.COSZM/VB=WI=^=5,

在△ANB中，|AB『=|A/V|2+|BN2-2\AN\\BN\,cosZMNB,

HP4c2=36a2+16a2-2x6ax4axM

整理得4c2=^a2,即e2=弓，得6=虐;噜.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

%+y-2>0,

x-y-2<0,，则目标函数z=x+2y的最小值为

{y>2,

4

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图,

A(0,2),化目标函数z=x+2y为y=—+*,

由图可知，当直线)=-±x+*过A时，直线在)，轴上的截距最小,

z取最小值为4.

故答案为：4.

14.(5分)已知/(x)=(/+2x+a)若f(x)存在极小值，则a的取值范围是(-

8,2).

【解答】解：(x)=(2x+2)ex+(x~+2x+a)e*=e'(/+4x+a+2),

因为函数/(x)的定义域为R，

所以若/(x)存在最小值，则/1(X)有极小值点，

所以/+4x+a+2=0有两个不相等的实数根，

△=16-4(a+2)>0,解得a<2,

故答案为：(-00>2).

15.(5分)数列｛斯｝中，a\—2,am+n=am*an>若行+2+四+3+…+延+11=2"-2',则k=3.

【解答】解：由题设可得：当机=1时，有斯+|=切斯，

又a1=2,••cin+1=2an,

数列｛。“｝是首项、公比均为2的等比数歹U,

_2(1-2)"+i_

Q”-1—2一乙N，

52(1-2及+11)2(l-2"+l)c%+12。攵+2

又、4+2+伙+3+・"+或+11=2"-2=Sk+\\-Sk+\==2-2

1-21-2

"=3,

故答案为：3.

16.(5分)己知A-BCD是球。的内接三棱链，AB=AC=BC=BD=CD=6,AO=9,则

球。的表面积为847T

【解答】解:如图所示：C

取8c的中点E,连接AE,DE,取AO的中点F,连接EF,

因为4B=AC=BC=8£>=C£>=6,

所以AELBC,DE1BC,且三角形4BC和三角形BCD都是正三角形，

所以AE=OE=3V5,即三角形AOE为等腰三角形，所以EFLAO,且EF平分NAEZ）,

不妨设三角形BCD的外接圆圆心为0',且0'在OE上，

所以E。'=^ED=V3,

设外接球的球心为0，半径为R，则。4=。。=凡

利用面面垂直可证得平面平面BCD,

又平面AEDC平面BCD=ED,则球心0必在三角形AED中，

又0A=0D=R,所以。在乙4£»的角平分线EF上，连接00',

则。。'_1_平面BCD,BP00'.LED,

在三角形AE力中，由余弦定理可得:

AE2+ED2-AD21

cos乙4E0

2AE-ED2,

所以NAE£)=120°,所以4FED==60。,

在RT/XEOO'中，tanZFED=蓬=条=瓜

所以。。'=3,

在RT/XOO,。中，0D=R,O'D=2显,

2

所以R2=。。，+Q'D2=21,

所以球0的表面积为S=4TTR2=84TT,

故答案为：84n.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知匕=遍，c=近,NB

=45°.

（1）求边BC的长;

(2)在边BC上取一点O,使得cos/A£)8=点求sin/D4c的值.

【解答】解：(1)在△ABC中，因为8=击，c=V2,48=45。,

由余弦定理知，/=/+/-2“ccosB,

所以5=2+a?_2x&xax孝，即J-24-3=0,

解得4=3或〃=-1(舍)，

所以8c=3.

bc

(2)在△ABC中，由正弦定理知，--=--,

sinBsinC

所以」V577；=V三2，解得sinC=亦吟，

sm45°sinC5

4

因为cos/AOB=g,

所以cos乙40C=T，即NADC为钝角，且sinNADC弋,

又N4DC+NC+NC4O=180°,

所以NC为锐角，

所以cosC=V1—sin2C=

所以sinNDAC=sin(180°-ZADC-ZC)=sin(ZADC+ZC)

=sinZADCcosZC+cosZADCsinZC

_32/54/5_2/5

=1X飞一一5x号=存.

18.(12分)如图，四面体A8CD中，AABC是正三角形，△AC。是直角三角形，ZABD

=NCB。,AB=BD.

(1)证明：平面AC。J_平面ABC;

(2)若EB=2DE,求二面角O-4E-C的余弦值.

【解答】(1)证明：如图所示，取AC的中点。连接BO,0D.

•.,△ABC是等边三角形，...OBLAC,

△A8O与△CBO中，AB=BD=BC,NABD=NCBD,

:.△ABDWACBD,：.AD^CD,

•..△AC。是直角三角形，...4C是斜边，...NAOC=90°,

'：DO=^AC,：.DO2+BO1^AB1=BD1,：.ZBOD=90°,AOBLOD,

又。onac=o,平面ACD.

又O3u平面ABC,：.平面ACD1.平面ABC.

(2)解：由题知，点E是8。的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨取AB=2,则。(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,0),B(0,

l、V32

V3,0),E(0,—，一).

33

TT