新教材人教A版必修第二册6. 3 . 1 平面对量根本定理作业

20212022学年新教材人教A版必修其次册6.3.1平面对量根本

定理作业

1、4(TO),3(0,2),。为坐标原点，点c在NA0B内，且4。。=45,设

叫eR),那么几的值为()

11

A.5B.3

22

C.5D.孑

2、在AABC中，点、M是8C的中点，点N在AC上且AN=2NC,AM交BN于

点P,设AP=XAM,那么X的值为()

234

A.4B.3c.5D.5

=|—,sina|,=|cosa,-1^|

3、a是锐角，a14)y&),且a//。，那么。为()

A.15°B.30"c.30"或60°D,15°或75°

4、在四周体。一钻。中，点P为棱8c的中点，设。A=a,OB=bj0C=c那

么向量AP用基底可表示为().

lrIflrL+Mc

------QH-----bH----C

A.222B.222

-a+4+L

a+-b+c

C.2D.22

5、设a、〃为两个相互垂直的单位向量，°P=a，°Q=6，°R=ra+",假设^PQ!?

为等边三角形，那么k、r的取值为（）

—1土布—1土乖I1+^/3

k=r=---------K=---------,r=--------

2B.22

,1±6,1土石-1±^

k=r=-------k=-------,r=----------

6、在AABC中,H为BC上异于B,C的任一点，”为的中点，假设

AM=AAB+//AC

,那么'+〃等于（)

£2j_j_

A.2B.3c.6D.3

7、如图，在AB。中，点。是边3。的中点，AG=2GQ,那么用向量越入。

表示BG为（）

BG=--AB+-ACBG=--AB+-AC

A.33B.33

BG=-AB--ACBG=-AB+-AC

C.33D.33

8、设《超2是平面内两个不共线的向量,AB=(a-l)e1+e2,AC=bei-2e23〉0

12

—I—

b>0）,假设A,B,C三点共线，那么。匕的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

9、在平行四边形中，点E为0。的中点，设AE=a,BE=b,那么=

-a--b--a--b

A.22B.22c.22D.22

10、向量a=（2,T）,°=（-3,2）,c=（1,1）,那么向量c可用向量”涉表示为（）

11111111

A.2a+6Z?B.5。+3bc.4a—2Z?D.〃一5b

11、如图，点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB,假设存在实数m,n,使得

OC=mOA+nOB,那么吁〃的值为（）.

112

A.3B.0C.3D.3

12、以下各组向量中，可以作为基底的是()

A.，=(1,2),e2=(—2,1)B.9=(0,0),02=(2,3)

C.G=(—3,4),e2=(6,—8)Dq=(2,—3),，2一匠,"

13、A6c中，。是线段3c上靠近3的三等分点，E是线段

UULUUULUUUL

ACBE=mAD+nAE,那么m-n=

14、a=4i+3J,b=mi-2jfc=-3i+jf假设％b,c可构成三角形，那么

m=.

15、在AABC中，点”，N满意AM=MC,BN=2NC,假设肱V=x"+yAC,

那么.

16、正方形MC。的边长为1,当每个'(”=123,4,5,6)取遍±i时，

lx,AB+JBC+XnCD+X4Z2A+AC+J3JD|

1123456|的最大值是.

-,tana,6=(cosa,l)cos-+tz=

3),且a"",那么(2J(

17、向量)

_V|112V2

A.-T

B.3c.3D.3

-1〜-1-

AC=-AB,AD=-BA-

18、点A(1,2),B(2,8)及33,求点C,D和CD

19、设华乌是不共线的非零向量，且。=G—Ze?力=耳+3e2.

(1)证明：。力可以作为一组基底；

⑵假设4e「3e2=4a+叫求入，口的值.

参考答案

I、答案C

•/ZAOC=45设0（苍一"）,那么OC=（苍一”）,

又止3,0）,5（。,2）,依据向量的坐标运算知加A+（T）吁（-342-2为，

x=—322

s=>九=一

所以1r=2-225

此题选择C选项.

名师点评：应用平面对量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法那么或三角形法

那么进行向量的加、减或数乘运算.

2、答案D

分析：

AM=-AB+-AC,-AP=-AB+-x-AN

详解：由题意，在人45。中，222222,

.243A.

AP=—AB+—AN

所以24

A3A4__|_____,_4____________

由于8,P,N三点共线，所以24，解得5,应选D.

名师点评：此题考查了平面对量的根本定理的应用，对于平面对量根本定理的应用，通

常（1）应用平面对量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法那么或三角形法那么

进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量根本定理解决问题的一般思路是：先选择一

组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

3、答案C

「百

Q।n/xy—__

依据向量的坐标运算和向量的共线的条件，求得2,进而求解答案.

详解

一（3.）（1）

a=—,sma,b=cosa,—

依据题意，E）1w人

31A/3

sinacosa=—x—==——

假设a/小，那么有4J34,

・、布

sin2a=——

即有2,

又由a是锐角，那么有°<2a<18°,

即2a=60或120,

那么a=30或60,

应选C.

名师点评

此题主要考查了向量的坐标运算和向量的共线定理的应用，其中解答中依据向量的坐标

运算和向量共线的条件，得到sin2夕的值是解答的关键，着重考查了推理与运算力量.

4、答案D

AP=-AB+-AC=-(OB-OA)+-(OC-OA)=-OA+-OB+-OC

222222

A“Pn=-a+—1b,+—1c

/.22.应选D.

5、答案C

详解

留意到闿=幽=回

n小户=J(一］)2+K=&

6、答案A

依据题意，用A3,AC表示出A"，8”与AM,求出4〃的值即可.

详解

解：依据题意，设BH=xBC,那么

-.1-11-11-

AM=-AH^-(AB+BH)=-(AB+xBC)=—AB+—x(AC-AB)

212/

=^(l-x)AB+^xAC

AM=AAB+/JAC

/.4+4=—(1—X)H---X=一

222,

应选：A.

名师点评

此题主要考查了平面对量根本定理的应用，关键是要找到一组适宜的基底表示向量，是

根底题.

7、答案A

1/、uum2UUK

AD^-[AB+AC\AG=-AD

先依据题意，得到2、>,3再由向量的加减运算，即可得出

结果.

详解

AD=-(AB+AC\

由于点。是边3c的中点，所以2'),

uum9uu®

AG=-AD

又AG=2GD,所以3,

BG=AG-AB=-AD-AB=-(AB+AC]-AB=-AC--AB

因此33''33

应选：A.

名师点评

此题主要考查用基底表示向量，熟记平面对量根本定理即可，属于常考题型.

8、答案B

依据A5c三点共线，设=得(a—Ds+e2=纵如—2e?),依据平面对量

a-1=Abi

1—。1a—b=1

根本定理可知U=—2"，得到2,之后依据两个正数的整式形式和为定值，

求其分式形式和的最值的求解方法，利用根本不等式求得结果.

详解：由于">0/>0,假设A，8,C三点共线，设=

即(Q-1),+4=-2e2)

由于耳述2是平面内两个不共线向量，

(1—1=Ab]]

_rsQA——,a—1——b

所以口=一2”,解得22,

a+—b=1

即2,

1242、/1八，，b2a

—+—=(—+—)(a+—/?)=1+1+—+——

那么abab22ab

a=—,b=一

当且仅当2。b,即b=2a,即2'4时取等号，

故最小值为4,

应选：B.

名师点评

该题考查的是有关向量与不等式的综合题，涉及到的学问点有平面对量共线的条件，利

用根本不等式求最值，属于简洁题目.

9、答案A

BD=BE+ED=BE——AB

利用平面对量的根本定理结合向量的加减法有2,由

AB=AE-BE,可得到答案.

详解：如下图:

DE

■.--1--1/-3-1-

BD=BE+ED=BE——AB=BE——(AE-BE]=-BE——AE

由于22、,22

31-31

BD=-BE——AE=-b——a

所以2222,

应选：A.

名师点评

此题主要考查平面对量的根本定理以及根本运算，还考查了运算求解的力量，属于根底

题.

10、答案B

iii

依据平面对量根本定理，设0=20+""代入坐标，由坐标运算即可求得参数.

详解

11i

依据平面对量根本定理,可设c=X。+

1=22—3〃5

<

即口=-2+2〃，解得3

所以c=5a+3b

应选:B

名师点评

此题考查了平面对量根本定理的应用，向量坐标运算及数乘运算的应用，属于根底题.

11、答案A

依据平面对量的根本定理和共线定理，结合求出m-n的值.

详解

—-―•----1---1.1_1_?-1

OC=OB+BC=OB+-BA=OB+-BO+-OA=-OA+-OBm-n=——

33333,所以3.

应选：A

名师点评

此题考查了平面对量根本定理和共线定理，属于根底题.

12、答案A

推断各选项中的两个向量是否共线，可得出适宜的选项.

详解

对于A选项，【。，2),02=(-2,1),由于1x1-2x(-2)。0,那么6和不共线，A

选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，6=(°，°),02=(2,3),那么与和共线，B选项中的两个向量不能作基

底；

对于C选项，，=(-3,4),e2=(6,-8),那么e2=—2弓，c选项中的两个向量不能作

基底；

_3}e_3

对于D选项，e2=(2，-3),212'4人那么67",D选项中的两个向量不能作

基底.

应选：A.

名师点评

此题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理力量与计

算力量，属于根底题.

7

13、答案-一

2

结合平面对量的线性运算，用ARAE表示8E,进而可求出牡〃的值，即可求出答案.

详解

如图，

uurumuur3uuuuun3uumuunuurn3uurnuumuunuun3uum

BE=BC+CE=-DC-AE=-(AC-AD)-AE=-(2AE-AD)-AE=2AE--AD

2222

Qm-n=-^2=-l

，所以2,n=2,所以22.

_7

故答案为：2.

名师点评

此题考查平面对量的根本定理，考查平面对量的线性运算，考查推理论证力量，属于根

底题.

14、答案7

假设。，b,。可构成三角形，那么可得a+b—。=0,代入求解即可

详解

c可构成三角形，那么。+匕-。=0,即(由+3j)+(mi-2jj-(-3z+j)=0

假设。、b、

.-.（4+m+3）z+（3-2-1）/=0,..4+加+3=0：.m=—7

故答案为：-7

名师点评

此题考查向量法推断三角形,考查向量的加减法,考查运算力量,考查平面对量根本定理

的应用

15、答案］

2

MN=-AB+-ACx=-,y=-

依据向量的线性运算，求得36,进而求得3-6,即可求解.

详解

MN=MC+CN=-AC+-CB=-AC+-（AB-AC]

依据向量的线性运算，可得2323'>

=-AB+-AC

36.

=1'_J_

又由MN=xAB+yAC,所以“3，J%,所以*+>一2.

£

故答案为：2.

名师点评

此题主要考查了平面对量的根本定理，以及向量的线性运算法那么的应用，其中解答中

熟记向量的运算的法那么是解答的关键，着重考查了推理与运算力量，属于根底题.

16、答案2百

可采纳建系法，以■为了轴，为》轴，建立平面直角坐标系，表示出对应向量的

坐标公式，再结合X的取值特点和表达式综合分析求解最值即可

,AB=(1,0)5c=(0,1)CD=(-1,0)DA=(0,-1)AC=(1,1)BD=(-1,1)

那么，,，，，f

令

y—|A|AB+之2BC+4CD+DA.+4AC+

=J(4-4+4-A,)2+(4—%4+4+4J

又由于'("=123,4,5,6)取遍±1,

所以当4=4=4=4=4=1,%2=T时，有最小值为n=o

由于(4—4+4)和(%一4+4)的取值无关联,A=1或4=-1

(4-4+4)和(4-4+4)分别取得最大值时，y有最大值，

所以当

4=4=4=4=1,4=4=-1时，有最大值<=J2?+42=回=26

所以当1mx

故答案为：2亚

名师点评

此题考查建系法求解向量，向量的模长公式，分类争论求解最值，综合性强，着重考查

分类力量，归纳整理力量，属于中档题

17、答案C

(n)

cos-+a

先依据a//。求出5次z的值，再利用诱导公式化简12J即得解.

详解

由于

11sina八

——tanacos。=0,，-------------cosa=0

所以33cos。

1

sma=—

所以3.

\n\