高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 3 概率与统计 第6讲 随机变量及其分布教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第6讲随机变量及其分布

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

分析近五年全国卷发现高考命

了解条件概率及事件的独立性，2017年I卷；2017年II卷几；1.相互独立事件的

题有以下规律：

理解超几何分布、几次独立重复概率与条件概率

2017年HI卷I1.；2016年I卷T19；对该单元的命题多以解答题的

试验模型与二项分布，理解取有2.离散型随机变量

2016年D卷二；2015年I卷T3；形式出现,且命题常以实际问题

限个值的离散型随机变量的分的分布列、期望和

2014年D卷T5；2014年I卷”；为背景，以频率分布直方图、条

布列，及其均值、方差，了解正态方差的应用

形图、茎叶图为载体考查概率、

分布.2013年I卷几3.正态分布问题

期望、方差的计算，难度中等.

题型1相互独立事件的概率与条件概率

（对应学生用书第18页）

■核心知识储备.........................................................

1.条件概率

pADnAP

在A发生的条件下6发生的概率为2（引A）=p：=——.

PAnA

2.相互独立事件同时发生的概率

P{AB）=P{A）PS

3.独立重复试验的概率

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在77次独立重复试验中恰好发生k

次的概率为2（而=%3（i—“7A=0,1,2,n.

■典题试解寻法.........................................................

【典题1】（考查条件概率）如图6-1,△相0和△娇是同一个圆的内接正三角形，且第

将一颗豆子随机地扔到该圆内，用〃表示事件“豆子落在△/笈内"，”表示事件"豆子

落在△颂内"，则户（"|的=（）

图6-1

12

B亚CD

A，4nD.o-3-3

2兀

［解析］如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角

形都全等，△力回包含9个小三角形，满足事件的有3

个小三角形,

—nNMo1

所以户（％|的=—一--=§=§'故选C

［答案］C

【典题2］（考查相互独立事件的概率）（2017•福州五校联考）为了检验某大型乒乓球赛男

子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制（即一

场比赛先胜4局者为胜）的规则.在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为|,

乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立.

（1）求甲在5局以内（含5局）赢得比赛的概率；

（2）记才为比赛决出胜负时的总局数，求才的分布列和数学期望.

【导学号：07804040］

44

［解］（1）由题意得，甲在5局以内（含5局）赢得比赛的概率〃=仔）+C（||x|=

112

243,

（2）由题意知，才的所有可能取值为4,5,6,7,

44

/、1112m728

X-+C4X-x|jJ=荻=药,

4224

―电义。+4|)X©=瑞,

4334

HUa)X。+C@X&=翳

所以才的分布列为

4567

178200160

P

8127729729

,.17,8,200,1604012

£（»=4X^+5X^+6X729+7X729=729,

［类题通法］

L解决条件概率的关键是明确“既定条件”.

2.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法

1直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的

和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率

公式求解.

2间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进

行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.

■对点即时训练.........................................................

1.某同学用计算器产生了两个之间的均匀随机数，分别记作x,y.当爪J时，pg的

概率是（）

71

一B.2-

24

77

C，D.

i28

1

D［记“水*”为事件《“x〉5”为事件B,

i

区域如图所示，所以S=「x2dx=^-x3

J03

1i17PABS?247

-Si=yx3~2424,则所求概率为PA-=Si+Sz=J_2=一故选D.]

°24+24

2.如图6-2,用K,Ai,Az三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A”A?至少有

一个正常工作时，系统正常工作.已知K,Ai,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,

则系统正常工作的概率为（）

图6-2

A.0.960B.0.864

C.0.720D.0.576

B[法一：(直接法)由题意知4,4,4正常工作的概率分别为尸(而=0.9,尸(4)=

0.8,户(4)=0.8,因为4,4相互独立，所以4,4至少有一个正常工作的概率

为P{AIA)十户(472)+户(44)=(1-0.8)X0.8+0.8X(1-0.8)+0.8X0.8=

0.96.所以系统正常工作的概率为P⑺[户(AiA)+PUA2)+9(44)]=0.9X0.96

=0.864.

法二：(间接法)4,4至少有一个正常工作的概率为1—尸(7172)=1—(1—0.8)(1

-0.8)=0.96,故系统正常工作的概率为P(A)=0.9X0.96=

0.864.]

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训T1、丁3、乙、丁6、T12)

题型2离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用(答题模板)

(对应学生用书第19页)

离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互

独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.(2017•全国II卷T”、2017•全

国UI卷Tis>2016•全国I卷Ti9>2016•全国II卷Ti8>2013•全国I卷T跖2013•全

国II卷T19)

■典题试解寻法.........................................................

【典题】(本小题满分12分)(2016•全国I卷)某公司计划购买2台机器，该种

机器使用三年后即被淘汰.

--------------------------------------------------------------------码上扫一扫

机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每着精彩做裸

个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①

现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器

在三年使用期内更换的易损零件数，得下面如图6-3所示的|柱状图:②

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概

率，记裱示2台机器三年内共需更换的易损零件数,

〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求才的分布列；

⑵若要求k后〃5,④确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与77=20之中选其一，

应选用哪个？

【导学号：07804041］

［审题指导］

题眼挖掘关键信息

看到这种条件，

①

想到解题时可能要分类求解.

看到柱状图想到频数与频率间的关系，

②

想到横轴中的取值含义.

看到自变量X想到柱状图，

③

想到X的所有可能取值.

看至【JP(XWii)20.5想至!J1和n的含义，

④

想到(1)中的分布列.

［规范解答］(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损

零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.1分

由题意可知摘所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.

从而P(1=16)=0.2X0.2=0.04；

PU=17)=2X0.2X0.4=0.16；

P(T=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24；

产(乃=19)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24；

P(T=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2；

P(J=21)=2X0.2X0.2=0.08；

P(J=22)=0.2X0.2=0.04.4分

所以才的分布列为

16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

6分

(2)由⑴|知P启18=0.44,P收19=0.68,

故n的最小值为19.7分

(3)记V表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当〃=19时，

E(y)=19X200X0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+

(19X200+3X500)X0.04=4040；9分

当A=20时，产

£(D=20X200X0.88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.

11分

可知当77=19时所需费用的期望值小于当72=20时所需费用的期望值，故应选77=19.

12分

［阅卷者说］

易错点防范措施

细心审题，把握题干中的重要字眼，关

⑤忽视X的实际含义导致取值错

键处加标记，同时理解才取每个值的含

误，进而导致概率计算错误.

义.

⑥忽视月(后力)20.5的含义，导结合(1)中的分布列及n的含义，推理求

致不会求解.解便可.

⑦忽视77=19与73=20的含义导致本题中购买零件所需费用包含两部分，

无法解题.一部分为购买机器时购买零件的费用，

另一部分为备件不足时额外购买的费

用.

［类题通法］

解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：

1明确随机变量可能取哪些值.

2结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.

3根据分布列和期望、方差公式求解.

提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.

■对点即时训练.........................................................

(2016•湖南益阳4月调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产

品，产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品，只能报

废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂.现随机抽取这两种产品各60件进行

检测，检测结果统计如下：

得分[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

甲种产

品的件5103411

数

乙种产

品的件812319

数

(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；

(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元;

生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元.在(1)

的前提下：

①记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量力的分布列

和数学期望；

②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率.

［解］⑴甲种产品为合格品的概率约为而=7,

604

402

乙种产品为合格品的概率约笳一

⑵①随机变量X的所有可能取值为190,85,70,-35,

l、321

且-190)=-X-=~,

/x311

月(才=85)

4J4

/、121

Pg70)=K=R,

436

、111

&zr=-35)=TX-=—

rkOJ.乙

所以随机变量才的分布列为

才1908570-35

\\\1

P

24612

b,,，入190,85,7035

所以£(»=下+1+至-正

②设生产的5件乙种产品中合格品有〃件，则不合格品有(5—〃)件，

依题意得，9077-15(5-/2)^300,

25

解得7727P又因为0W〃W5,且〃为整数，所以77=4或77=5,

设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A,则户(⑷=c(1)x|+

5

1TlI-

⑸=243'

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训丁2、丁7、TlTil、T13)

题型3正态分布问题

(对应学生用书第21页)

■核心知识储备.........................................................

正态分布的性质

(1)正态曲线与x轴之间面积为1.

(2)正态曲线关于直线x=n对称，从而在关于x=K对称的区间上概率相同.

(3)2(启a)=1一尸(4a),Pgn-a)=2(4〃+a).

(4)求概率时充分利用3。原则.

■典题试解寻法........................................................

【典题】（2017•全国I卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检

验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根

据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正田上扫一打

着精彩微裸

态分布吟.

（1）假设生产状态正常，记才表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（〃一3。，〃十

3。）之外的零件数，求产（41）及才的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（“一3。，〃+3。）之外的零件，就认为

这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检

查.

①试说明上述监控生产过程方法的合理性；

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

一]16'16

经计算得x=元XXi=9.97,s=

I16

77£xj—16x2）^0.212,其中石为抽取的第2个零件的尺寸，，=1,2,…,

16.

用样本平均数;作为〃的估计值口，用样本标准差s作为。的估计值。，利用估

计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（P—3。，口+3。）之外的数据，

用剩下的数据估计“和。（精确到0.01）.

【导学号：07804042］

附：若随机变量Z服从正态分布N（u,d）,则尸（〃一3。<2<〃+3。）=0.997

4,0.997416^0,9592,A/O.008^0.09.

［思路分析］（1）先由对立事件的概率公式求出户（层1）的值，再利用数学期望的公

式求解.

（2）利用独立性检验的思想判断监控生产过程方法的合理性;确定P—3。，口+3。的

取值，以剔除（N—3。，口+3。）之外的数据，再用剩下的数据估计〃和。.

［解］（1）抽取的一个零件的尺寸在（〃一3。，〃+3。）之内的概率为0.9974,从

而零件的尺寸在（〃一3。，〃+3。）之外的概率为0.0026,故人6（16,0.0026）.

因此户（庐1）=1一9（1=0）=1—0.997416^0,0408.

才的数学期望£0）=16X0.0026=0.0416.

（2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（〃一3。，〃+3。）之外的概率只有0.002

6,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（〃一3。，。+3。）之外的零件的概率只

有0.0408,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在

这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监

控生产过程的方法是合理的.

②由7=9.97,s七0.212,得〃的估计值为口=9.97,。的估计值为。=0.212,

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（口一3。，口+3。）之外，因此需对当天的

生产过程进行检查.

剔除（口一3。，口+3。）之外的数据9.22,剩下数据的平均数为白X（16X9.97—

15

9.22）=10.02.

因此U的估计值为10.02.

16

E16X0.2122+16X9.972«1591.134,

剔除（口一3。，口+3。）之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为程义（1591.134

15

-9.22?—15X10.022）«0.008,

因此。的估计值为底0.008Ho.09.

［类题通法］

由于正态分布与频率分布直方图有极大的相似性，故最近五年比较受命题人青睐.

解决正态分布问题有三个关键点：1对称轴x="；2标准差。；3分布

区间.利用对称性求指定范围内的概率值；由〃，。分布区间的特征进行转化，使分

布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率.

■对点即时训练..........................................................

1.设AM1,。2),其正态分布密度曲线如图6-4所示，且P(43)=0.0228,那么向

正方形的雨中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()

ri

01

图6-4

(附：随机变量才服从正态分布M〃，。今，则尸(〃一。)=68.26%,P(u

-2。〈水〃+2<7)=95.44%)

A.6038B.6587

C.7028D.7539

B[由题意得，户(后一1)=尸(43)=0.0228,

.•.A-l<^3)=1-0.0228X2=0.9544,—2。=—1,。=1,；.P(0W启1)

=?(0WA^2)=0.3413,故估计的个数为10000义(1-0.3413)=6587,故选B.]

2.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试

卷总分，由总分得到如6-5的频率分布直方图.

频率

(1)求这100份数学试卷的样本平均分x和样本方差$2(同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表).

⑵由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布M〃，其中〃近

似为样本平均数刀，六近似为样本方差次

①利用该正态分布，求产(81〈斤：119)；

②记才表示2400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数，利用①的结果，求

£0)(用样本的分布区估计总体的分布).

【导学号：07804043】

附：7366^19,^/326«18,若Z〜N(u,。“),则尸(〃一。<Z<〃+。)=0.6826,

产(〃一2。<Z<〃+2。)=0.9544.

［解］(1)T=60X0.02+70X0.08+80X0.14+90X0.15+100X0.24+

110X0.15+120X0.1+130X0.08+140X0.04=100.

s2=(60-100)2X0.02+(70-100)2X0.08+(80-100)2X0.14+(90-100)2X0.15

+(110-100)2X0.15+(120-100)2X0.1+(130-100)2X0.08+(140-100)2X0.04

=366.

(2)①由题意可知Z〜M100,366).又<7=^366^19,故

P(81<Z<119)=P(100-19<Z<100+19)=0.6826.

②由①可知一名学生总分落在(81,119)的概率为0.6826.

因为—8(2400,0.6826),所以£(力=2400X0.6826=1638.24.

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训15、ThT10ST14)

三年真题I验收复习效果

(对应学生用书第22页)

1.(2015•全国I卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学

每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率

为()

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

A[3次投篮投中2次的概率为户(4=2)=仁义0.62><(1—0.6),投中3次的概率为

尸0=3)=0.6、,所以通过测试的概率为F(A=2)+AA=3)=CaXO.62X(1-0.6)+

0.63=0.648.故选A.]

2.(2017•全国II卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一国,向

件，有放回地抽取100次，才表示抽到的二等品件数，则以‘=.

1.96[由题意得卜庾100,0.02),争篇调

.•.加=100X0.02X(1-0.02)=1.96.]

3.(2016•全国H卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的

投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如

码工扫一扫

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下:

上年度出险次数01234与5

保费0.85石a1.25a1.5d1.75a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出

01234三5

险次数

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

［解］(1)设/表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件/发生当

且仅当一年内出险次数大于1,故尸(4=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

⑵设6表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件方发生当

且仅当一年内出险次数大于3,故2(8)=0.1+0.05=0.15.

又(而，

生，、、PABP0.15__3_

故P{B\A)=「/—='70.55=1?

3

因此所求概率为77.

(3)记续保人本年度的保费为X则才的分布列为

0.85a