高中数学二维形式的柯西不等式练习题含答案

高中数学二维形式的柯西不等式练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.二维形式的柯西不等式可用()表示.

A.a2+b2>2ab(a,beR)

B.(a2+b2)(c2+d2)>(ab+cd)2(a,b,c,dER)

C.(a2+h2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,dE：R)

D.(a2+h2)(c2+d2)<(ac+bd)2{a,b,c,dER)

2.已知a,beR,a24-b2=4,求3a+2b的取值范围为()

A.3a+2b<4B.3a+2b42旧C.3a+2b>4D.不确定

3.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数，Kx24-y24-z2=10,a2+62+c2=90,

ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k=()

ii

A-B-C.3D.9

93

4.已知％,y,z均为正数，且x+y+z=2,则«+JR+的最大值是（）

A.2B.2V2C.2V3D.3

5.己知x,y均为正数，且满足峭=巴"，华+号=#石，则工的值

42，xyx2y23（xz+yz）y

为（）

A.2B.lC.V3D.i

2

6.若实数a,b,c满足a?++c?=1,则3ab-3bc+2c?的最大值为()

A.lB.2C.3D.4

7.用柯西不等式求函数y=727^3+后+"^多的最大值为()

A.V22B.3C.4D.5

8.若2x+3y+5z=29,则函数〃=V2x+1+J3y+4+，5z+6的最大值为()

A.V5B.2V15C.2V30D.V30

9.设％、y、z是正数，且％2+4y2+922=4,2%+4y+3z=6,则％+y+z等于（）

10.实数=1,2,3,4,5,6）满足（@2—。1）2+（。3—。2）2+（@4—@3）2+（。5—04）?+

2

（a6-a5）=1则（g+。6）—（%+%）的最大值为（）

A.3B.2V2C.V6D.1

11.请用柯西不等式求解.已知a、b、x、y都是正实数，且?+；=1,则x+y的最小

值为.

12.已知a,b,c都是正数，且2a+b+c=6,则M+出?+ac+be的最大值为

13.若x、y为非零实数，代数式捻+3-8§+9+15的取值范围是-

14.若M+炉=1,%24-y2=4,则a%+by的最大值为.

15.若p,q,丁为正实数，且：+：+，=1,则p+q+r的最小值是.

16.已知：不等式（％+Qy）（x+y）N25盯对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最

小值为.

17.若实数％,y,z满足/+y2+z2=1,则％y+yz+z%的取值范围是.

18.已知小+2b2+c2=4,则2Q+2b+c的最大值为.

19.已知a,b,c,d都是正数，a2+b24-c2=d2,a+b+c=dx,贝k的取值范围

是.

20.设a,b,m,nG/?,且a?+52=3,巾。+瓶人=3,则gn?+几2的最小值为

21.己知Q,b,c为正实数，且Q+6+C=2.

试卷第2页，总24页

⑴求证:ab+bc+ac<l；

(2)若Q,b,C都小于1,求+c2的取值范围.

22.设a,b,c,de/?,a24-Z)2=c24-d2=1,求abed的最大值.

23.在空间直角坐标系0-xyz中，坐标原点为0,P点坐标为(居y,z).

(1)若点P在无轴上，且坐标满足|2%-5|W3,求点P到原点。的距离的最小值；

(2)若点P到坐标原点。的距离为2g,求x+y+z的最大值.

24.已知关于大的不等式等2—无+Jx+1<m对于任意的％G[-1,2]恒成立

(1)求m的取值范围；

(2)在(1)的条件下求函数/(m)=m+痴+的最小值.

25.己知X],x2,...xneR+,且…=1，求证：(V2+xx)(V2+x2)...(V2+

n

xn)>(V2+i).

26.若实数％,y,z满足4x+3y+12z=1,求％?+y2+z2的最小值.

27.已知|x-2y|=5,求证：%24-y2>5.

28.已知aNO,b>0,c>0,a+b+c=l,丫=券+捻+盘-求'max=?

2222

29.己知(a?-%)2+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-as)=1,求5+

@5)一+。4)的最大值.

30.已知x,y,z满足x-1=拳=等，试求当x,y,z分别为何值时，x2+y2+z2

有最小值，最小值为多少.

31.若M2幽贮出对一切实数a、b、c都成立，求最小的实数M.

32.已知la4-6=1,求证：a，+力3+3ab=i.

33.正数a,b,c,A,B,C满足条件a+A=b+B=c+C=k证明：aB+bC+

cA<k2.

34.(1)设函数/(%)=(%+1|+|%|(xER),求f(x)的最小值，34.

(2)当a+2b+3c=m(a,b,cER)时，求M+庐+c?的最小值.

35.已知底+a：+・・・+/♦=1,好+好+...+堤=1,求证：arxr4-a2x2+...+«nxn<

1.

36.已知％,y,zeZ,且满足x+y+z=3,%3+y34-z3=3,求/+y2+z2所有

可能的值组成的集合.

37.试证明柯西不等式:(a2+b2)(x2+y2)>(ax+by)2(m,n,a,bER)

38.已知】Q、b、cER,a2+62+c2=1.

(1)求证：|a+b+c|W遮；

(2)若不等式-+1|N(a-b+c)2对一切实数a、b、c恒成立，求实数%的

取值范围.

39.已知函数/(%)=\x-m\,

(1)求证：/(-x)+/(j)>2；

(2)若m=1且a+b+c=，时，/(log2x)+f(2+log2x)>Va+2\[b+3正对任意正

数a,b,c恒成立，求实数x的取值范围.

40.设的,为实数，证明：&Ci+a2c2+…anCn工於+今+…+W，其中G，

。2，…，C九是的,。2，…，@n的任一排列.

试卷第4页，总24页

参考答案与试题解析

高中数学二维形式的柯西不等式练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

二维形式的柯西不等式的代数形式：设a,b,c,d€R均为实数，贝1」色2+炉)«2+

d2)>(ac+bd)2其中等号当且仅当ad=be时成立.

【解答】

解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

故选C

2.

【答案】

B

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

首先分析题目己知。2+炉=4,求3a+2b的取值范围.考虑到应用柯西不等式，首先

构造出柯西不等式求出(3a+2b)2的最大值，开平方根即可得到答案.

【解答】

22222

解：已知a?+b=4和柯西不等式的二维形式(ac+bd)2<(a+b)(c+d)

故(3a+2b/<(a2+b2)(32+22)=52

即：3a+2bW2g

故选B.

3.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可.

【解答】

解：因为/+y2+z2=]0,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,

所以(a?+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,

X(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax+by+cz>等号成立,

当且仅当2=?=£=k,

xyz

则a=kx,b=ky,c=kz,代入小4-h24-c2=90,

得42(%2+y2+z2)=90,

于是k=3,

故选：c.

4.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)2(正+JR+75^)2,结合x+y+z=

2,即可求出〃+J为+的最大值.

【解答】

解：:x、y、z是正数，

(1+2+3)(x+y+z)>(V%+y[2y+V3z)2,

x+y+z=2,

y/x+y[2y+V3z<A/6•2=2>/3,

.­•日+屑+传的最大值是2V1

故选：C.

5.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由题意可得tan。=j>1，再由等+竽=若丙化简可得3tan%-lOtan20+

3=0.解得taMB的值，可得tan0=土的值.

y

【解答】

解：x,y均为正数，。€@,力，且满足等=等，,tan8=‘>L

cos20+sin20tan20

再由,10,可得10

3(x2+y2)y2tan203y2sec20'

化简可得3tan40-lOtan20+3=0.

解得taM9=3,或taM。*(舍去)，tan”尸遍,

故选：C.

6.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

不妨考虑c,当c=0时，运用重要不等式a2+XN2ab,求得最大值；再由当CW0时,

3ab-3bc+2c2=等等学，分子分母同除以02,设％=巴，y=2,再整理成二次

a2+b2+c2cJc

方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0,再由y为实数，判别式小于等于0,即可

解得所求的范围，进而得到最大值.

【解答】

试卷第6页，总24页

解：不妨考虑c,当c=0时，有3ab-3bc+2c2=3ab£

2

当cH0时，3ab-3bc+2c=，噜/胃=(£)2+<)2+lf

设％=y=-,则可令M=3ab-3bc+2c2=

ccxz+yz+l

即有M/_3砂+M/2+M+3y—2=0,

由于x为实数，则有判别式5=9y2-4M(M为+M+3y-2)>0,

即有(9-4M2)y2-12My-4M(M-2)>0,

由于y为实数，贝必2=144M2+16M(9-4M2)(M-2)<0,

即有M(M-3)(2M2+2M-3)<0,

由于求M的最大值，则M>0,则MW3.

故选：C.

7.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得，函数y=V2x-3+岳+V7-3xWJl2+(V2)2+I2-

J(2x-3)+x+(7-3x),从而求得函数的最大值.

【解答】

解：由柯西不等式可得，函数y=疹=1+后+夜二区

<Jl2+(V2)2+I2-7(2%-3)+x4-(7-3%)=4,

当且仅当野=*=年时，等号成立，

故函数y的最大值为4.

故选C.

8.

【答案】

C

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得(42%+1-1+J3y+4-1+y/5z+6-l)2<(2x+l+3y+4+

5z+6)(l2+l2+l2),利用条件，即可得出结论.

【解答】

解：由柯西不等式可得(V2x+1-1+J3y+4-1+V5z+6-l)z<(2x+1+3y+

4+5z+6)(12+l2+l2)

「2x+3y+5z=29,

(V2x+1-1+yj3y+4-1+V5z+6-l)2<120,

4=V2x+1+J3y+4+V5z+6<2V30>

M=V27+I+J3y+4+快彳后的最大值为2回.

故选：C.

9.

【答案】

A

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

运用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+/2)2(ad+be+c/)2,当且仅当?=?=

:等号成立.

【解答】

解：；x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4,2x+4y+3z=6,

(22+224-〃)(尤2+4y2+9Z2)=9x4>(2x+4y+3z)2=36,

可设"5=5=k,(k为常数)，代入2x+4y+3z=6,

3

得k

=-

2

211

X+y+z-++-20

一

-藐-

kk9

故选A.

10.

【答案】

B

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得：[(。2-al)2+(。3-a2)2+(。4-。3)2+(。5—«4)2+(a6~

a2aaaa

s)](l+1+1+4+1)>[(a2-%)+(。3_2)+C4~3)+2(。5—4)+(。6-

2

as)],结合条件，即可得出结论.

【解答】

解：由柯西不等式可得：

2222

[(«2-%产+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+&-a5)](l+1+1+4+1)

2[(a2-al)+(a3-a2)+®4-a3)+2Q-a4)+(a6-a5)]2=[(a5+a6)~(al+

a/2，

•1-[(«5+a6)~(al+a4)]2<8,

(a$+cig)一(a1+U4)W2A/^,

(a5+a6)-(即+aj的最大值为2注,

故选B.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

a+b+2\Tab

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

根据二维形式的柯西不等式的代数形式，即可求解.

【解答】

试卷第8页，总24页

解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(Q2+b2)(c2+d2)N(QC+bd)2,

比y

一+一=1

x+y>(Va+Vh)2=a+b+2y[ab,

.0.x+y的最小值为Q+b+2Vab,

故答案为：a+b+2祠.

12.

【答案】

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)<卜丁,即可得出结论.

【解答】

解：a,b,c都是正数，

a2+ab+ac+be=(a+b)(a+c)<,

2a+b+c=6,

a2+ab+ac+be<9,

a?+ab+ac+be的最大值为9,

故答案为：9.

【答案】

［-3,+8)

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

令工+廿=3运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出

yx

范围，再求并集.

【解答】

解：令:+(=3则若xy>0，则t22,若xy<0,贝服4-2,

原式=产—2—8t+15=—8t+13——(t—4)2—3,

当tN2时，t=4时，原式取最小值为一3,无最大值，

当tW-2时，原式取最小值，且为33,

原式的取值范围是［-3,+8).

故答案为：［-3,+8).

14.

【答案】

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

先根据柯西不等式可知(a?+b2)(x2+y2)>(ax+by)2,进而的求得(ax+”产的最

大值，进而求得ax+by的最大值.

【解答】

解：因为。2+£)2=1,x2+y2=4,

由柯西不等式(a?+fa2)(x2+y2)>(ax+by)2,得

4>(ax+by~)2,当且仅当ay=bx时取等号,

所以ax+by的最大值为2.

故答案为：2.

15.

【答案】

9

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由题意可得p+q+r=(p+q+r)d+%+3=3+-+-+-+-+-+-,利用基本不

r八pq*qrprpq

等式求得它的最小值.

【解答】

解：若p,q,r为正实数，且工+二+工=1,

Vqr

则p+q+r=(p+q+r)(-+工+与=3+-4--+-4--4--4-->34-6=9,

pqr，qrprpq

当且仅当q=q=r=3时，等号成立，故p+q+r的最小值是9,

故答案为：9.

16.

【答案】

16

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由不等式(％+ay)(x+y)>25xy对任意正实数x,y恒成立=(^)2+(a-24)■|+a>

0,对于任意:>0恒成立.令t=：>0.则f(t)=12+缶-24»+。20对于任意£>

△>0

a—24

——<0.解出即可.

{/(0)>0

【解答】

解：由不等式。+ay)(%4-y)>25xy对任意正实数》,y恒成立，

=0)2+(a—24)-+a>0,对于任意:>。恒成立.

4t=->o.

y

f(t)=t24-(a-24)t+a>0对于任意t>。恒成立.

试卷第10页，总24页

△>0

a—24

---<°-

{m>o

解得16<a<36或a>36.

a>16.

因此a的最小值是16.

故答案为：16.

17.

【答案】

1

[-2<1]

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

利用(x—y)2+(x-z)2+(y—z)?20,可得/+y?+z??孙+%z+yz,又(x+

y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)>0,即可得出.

【解答】

解：：(x-y)2+(x-z)2+(y—z)2>0,

x2+y2+z2>xy+xz+yz,

xy+yz+zx<1；

又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)>0,

xy+xz+yz>—^(x2+y2+z2)=—

综上可得：Wxy+%z+yzS1.

故答案为：1].

18.

【答案】

2V7

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由条件利用利用柯西不等式，求得2a+2b+c的最大值.

【解答】

解：由a2+2b2+c2=4,利用柯西不等式可得口2+2炉+,2]・[22+(衣)2+12]=

4x7>(2a+2b+c)2,

2a+2d+c<V28=2V7,当且仅当？=等=£时，取等号，

2V21

故2a+2b+c的最大值为26，

故答案为：2位.

19.

【答案】

(1，何

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

根据题意，得铲+（犷+（£）2=1,尤=>、；；利用换元法，设?=m,4n,

（=p,（m>0,n>0,p>0）,则in?+n2+p2=1,

求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的

取值范围.

【解答】

2222

解：:Q,b,c,d都是正数，a4-h+c=d,

•••铲+（犷+铲=1;

又=a+b+c=dx,

设2=n,"=P，且m>0,n>0,p>0,

则m2+n2+p2=i,

%=m4-n4-p；

由柯西不等式得：

3=(l2+l24-l2)*(m2+*+p2)z(i•巾+i•九+i•2)2,

——(m=n=p、反

「•-V3<m4-n+p<V3,当且仅当］切2工”2工节_1，即zn=n=p==时，取得

(771十71十p一_L3

最大值V5；

又：m>0,n>0,p>0,

(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1,

m+n+p>1；

综上，l<?n+?i+pWW,即x的取值范围是(1,百］.

故答案为：(1,73］.

20.

【答案】

V3

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

根据柯西不等式(a?+62)(c2+d2)>(ac+bd)2当且仅当ad=be取等号，问题即可解

决.

【解答】

解：由柯西不等式得，

(ma+nb)2<(m2+n2)(a2+62)

a2+b2=3,ma+nb=3,

：.(m2+n2)>3

Sn2+人的最小值为6.

故答案为：x/3.

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

试卷第12页，总24页

(1)证明：a+b+c=2,

/.a2+h2+c2+2ab+2bc+2ca=4,

2a2+2b24-2c2+4ab+4bc+4ca=8

/.8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca>6ab+6abc+6ac,当且仅当a—b—c

时取等号，

4

ab+he+ac<-；

3

(2)解：由(1)知，a24-b24-c2+2ab4-2bc4-2ca=4,

/.4<a24-b2+c2+a24-/?2+b2+c2+a2+c2=3(a2+坟+c2),当且仅当a=

b=c时取等号，

a2+b2+c2>l，

*.*a—a2=a(l—a),0<a<1,a>a2,

同理b>b2,c>c2,

M+川+。2v。+力+0=2,

a2+b2+c2<2,

a2+b2+c2的取值范围为良2).

【考点】

基本不等式

二维形式的柯西不等式

【解析】

(1)由a+b+c=2,得到8=2小+2匕2+2c?+4ab+4bc+4ca,利用基本不等

式得以证明，

(2)由(1)和基本不等式得到a2+62+c2N/再根据。一。2=矶1一。)，0<a<

1,得到a>a2,继而求出范围.

【解答】

(1)证明：:a+b+c=2,

a2+b2+c2+2ab4-2bc4-2ca=4,

2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8

8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca>6ab+6abc+6QC,当且仅当Q=b=C

时取等号，

4

abbeac<-；

(2)解：由(1)知，a24-h24-c2+lab4-2bc4-2ca=4,

/.4<a2+b2+c2+a2+Z?2+b2+c2+a2+c2=3(a2+h2+c2),当且仅当a=

b=c时取等号，

a2+b2+c2>l，

a—a2=a(l—a),0<a<1,a>a2,

22

同理b>bfc>c,

Mv。+}+。=2,

^<a2+b2+c2<2,

。2+川+。2的取值范围为62).

22.

【答案】

解：根据基本不等式，

1=a2+b2>2\ab\,-----①

l=c2+d2>2\cd\,-----②

将以上两式同向相乘得，

1>4\abcd\,

所以，abed6

44

故abed的最大值为;.

【考点】

二维形式的柯西不等式

基本不等式

【解析】

运用基本不等式，a2+b2221abc2+d2>2\cd,再同向相乘即可求得最值.

【解答】

解：根据基本不等式，

1=a2+b2>2\ab\,-----①

1=c2+d2>2\cd\,-----②

将以上两式同向相乘得，

1>4\abcd\,

所以，abed€[―-,-],

L44」

故abed的最大值为;.

4

23.

【答案】

解：(1)由点「在％轴上，所以P(x,0,0),

又坐标满足|2无一5|43,所以一3三2X一543,...

解得1<x<4,...

所以点P到原点。的距离的最小值为1..…

(2)由点P到坐标原点。的距离为2百，

故/+y2+z2=12,...

由柯西不等式，得+y2+z2)(12+]2+/)2(x+y+z)2,...

即(x+y+z)2<36,

所以x+y+z的最大值为6,当且仅当％=y=z=2时取最大.…

【考点】

二维形式的柯西不等式

绝对值不等式的解法与证明

【解析】

(1)利用绝对值不等式，求出尤的范围，即可求点P到原点。的距离的最小值；

(2)点P到坐标原点。的距离为2次，故%2+y2+z2=12,由柯西不等式，得(7+

试卷第14页，总24页

y2+z2)(l2+l2+l2)>(x+y+z)2,即可求x+y+z的最大值.

【解答】

解：(1)由点P在4轴上,所以P(x,0,0),

又坐标满足|2%-5|〈3,所以-342%-5<3,...

解得1<x<4,...

所以点P到原点。的距离的最小值为1.....

(2)由点P到坐标原点。的距离为2百，

故/+y2+z2=12,...

由柯西不等式，得(%2+y2+z2)q2+12+仔)2(为+y+z)2,…

即(x+y+z)2<36,

所以x+y+z的最大值为6,当且仅当x=y=z=2时取最大....

24.

【答案】

解：(1),.・关于x的不等式应=+在不！<m对于任意的x€[-1,2]恒成立，可得

m大于式子>/2-x++1的最大值.

根据柯西不等式，有(V2-x+y/x+I)2=(1-72-x+1-y/x+l)2<[l2+I2]-

[(后与/+(VFFT)2]=6,

所以A/2—X++1Wn,当且仅当x=3时等号成立，故m>石.

(2)由(1)得血一2>0,则〃7n)=m+?^=*m—2)+*m-2)+^^+2,

■■■/(m)>3^(m-2)-i(m-2)-?^+2=|V2+2,

当且仅当-2)=布%,即m=冠+2>历时取等号，

所以函数/(m)=m+(团：2产的最小值为|好+2.

【考点】

二维形式的柯西不等式

函数恒成立问题

【解析】

(1)由题意可得m大于式子VI=+的最大值，再利用柯西不等式求得式子

万方+V7不I的最大值，可得m的范围.

(2)由(1)得m-2>0,则/'(Tn)=m+而6=-2)+“m-2)+荷%+2,

再利用基本不等式，求得它的最小值.

【解答】

解：(1)关于》的不等式VI=+vm<m对于任意的％G[-1,2]恒成立，可得

m大于式子，2-x+7x+1的最大值.

根据柯西不等式，有(五二行+VFT1)2=(1-+1-VFT1)2<[12+12]-

[(V2—x)2+(y/x+I)2]—6,

所以7^工行+五午TV赤，当且仅当x=3时等号成立，故m>通.

(2)由(1)得加一2>0，则f(m)=nt+—2)+*小-2)++2，

/(m)>3pm-2).1(m-2)-+2=|近+2,

当且仅当](僧_2)=(，[2声即巾=迈+2>历时取等号，

所以函数/(m)=tn+(上户的最小值为|甘I+2.

25.

【答案】

证明：(/)当n=l时，V2+Xj=V2+1,不等式成立.

(〃)假设n=k时不等式成立，即：(6+/)(近+%2)...(a+4)2(6+1)/£成立.

则n=k+l时，若故+1=1，则命题成立；若见+1>1,则x2<.：>中必存在一

个数小于1,

不妨设这个数为％k，从而(*k一D(&+1-1)<0,即+%k+l>1+

Xk+1<1同理可得，

所以(近+xt)(V2+X2)-(V2+xk+1)=(V2+%!)(72+xz)...[2+V2(xfe+xfe+1)+

xkxk+l]—

kk+1

(V2+XJCV2+x2)...[2+V2(l+xk+1)+xkxk+1]>(V2+l)(V2+1)=(V2+l),

故71=1+1时，不等式也成立.

由(/)(〃)及数学归纳法原理知原不等式成立.

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

利用数学归纳法证明，先证明71=1时，不等式成立，再假设n=k时，不等式成立，

进而证明出n=k+l时，不等式成立即可.

【解答】

证明：(/)当n=l时，&+%1=&+1,不等式成立.

(〃)假设n=k时不等式成立，即：(V2+X1)(V2+X2)...(V2+xk)>(V2+I/成立.

则71=卜+1时，若几+1=1，则命题成立；若%k+i>1,则%2...益中必存在一

个数小于1，

不妨设这个数为4,从而Ok-1)(乙+1-1)<0,BPxfe+xk+1>1+xkxk+1.

Xk+1<1同理可得，

2

所以(鱼+刀1)(或+X2)-(V2+xk+1)=(a+%1)(V2+x2)-l+V2(xk+热+1)+

xkxk+i]>

kk+1

(V2+Xi)(V2+x2)...[2+V2(l+Xk+D+xkxk+1]>(V2+l)(V2+1)=(V2+l),

故《=卜+1时，不等式也成立.

由(/)(〃)及数学归纳法原理知原不等式成立.

26.

【答案】

解：根据题意，实数x,y,2满足4%+3丫+122=1,

则有(4x+3y+12z)2<(%2+y2+z2)(42+32+122),

即14169(x2+y2+z2),

则有一+y2+z2>^,

故/+y2+z2的最小值为七.

【考点】

柯西不等式

试卷第16页，总24页

二维形式的柯西不等式

【解析】

利用条件x+2y+3z—l,构造柯西不等式(4x+3y+12z)2<(x2+y2+z2)(42+

32+122),变形即可得答案.

【解答】

解：根据题意，实数％,y,z满足4x+3y+12z=1,

则有(4x+3y+12z)2<(x2+y2+z2)(42+32+122),

即14169(x2+y2+z2),

则有/+y2+z2n击，

故/+y2+z2的最小值为强

27.

【答案】

证明:由柯西不等式，得(x2+y2)[i2+(_2)2]NQ—2y)2

即5(/+y2)>(x—2y7=\x-2y产

\x-2y\=5,

5Q2+y2)N25,化简得/+丫225

当且仅当2x=-y时，即x=-l,y=2时，/+、2的最小值为5

不等式/+y225成立.

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

根据柯西不等式，得5(/+丫2)2氏一2y『，结合已知等式|x-2y|=5,得/+y??

5,再利用不等式取等号的条件加以检验即可.

【解答】

证明:由柯西不等式,得(x2+y2)[M+(_2)2]N@一2y)2

即5(/+y2)>(x—2y)2=|x-2y[2

|x—2y\—5,

5(%2+y2)N25,化简得/+丫225

当且仅当2x=-y时，即x=-1,y=2时，/+,2的最小值为5

不等式/+y225成立.

28.

【答案】

解：根据a20,b>0,c>0,a+b+c=1,y=7^7++7^7

/l+a21+b21+c2

可知a,b,c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=1时，

1

函数取得最大值Wax=3,壬=菖

十9

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

根据条件，可知a，b,c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=：时，函数取得最大值.

【解答】

解：根据QN0,b>0,c>0,a+b+c=1,y=7^7+7-^3+

,1+a21+b21+c2

可知a,b,c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=]时，

函数取得最大值Wax=3•±=总

1+r

9

29.

【答案】

解：由柯西不等式可得：

[fe-Qi/+(。3—a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6一。5)?](1+1+1+4+1)

aaaaaa2

N[(2~i)+(3~2)+(4~3)+2(a5—a4)+(a6—a5)]=[(a5+a6)—(at4-

。4)]2,

•二[(a5+a6)~(al+a4)]2W8,

-(Q5+%)—+。4)-2^2,

•・(。5+a6)~(al+。4)的最大值为2四.

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得：[(。2-al)2+(。3-。2)2+(。4一a3)2+(。5一。4产+(。6-

aaaaaaa

的)2](1+1+1+4+1)>[(a2-l)+(3~2)+(4-3)+2(的一4)+(6~

%)]2,结合条件，即可得出结论.

【解答】

解：由柯西不等式可得：

[(。2—。1)2+4—a2)2+(a4—a3)2+Ca5~a4)2+(a6一。5)?](1+1+1+4+1)

N[(a2—al)+(a3~a2)+(a4—a3)+2(@5—a4)+(a6-。5)产=[(。5+。6)一(al+

。4)产，

•・[(@5+。6)-(。1+a4)]248,

•(应+。6)—+。4)-2V2,

(a5+。6)—(%,+。4)的最大值为2&.

30.

【答案】

解：:x,y,z满足x—1=设x—1==k,

J2323

则有x=k+1、y=2k-l.z=3fc+2,

...x2+y24-z2=(k+l)2+(2k-l)2+(3k+2)2=2(21+5fc4-3),

故当A=-9,即％=—%、y=—Z、z=—Z时，M+y2+z2取得最小值为—之

44244

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

设％-1=券=平=卜，则有/+y2+z2=2(21+5k+3),再利用二次函数的性

质求得/+丫2+22最小值，以及此时久，y,z的值.

【解答】

解：,/x,y,z满足％-1=乎=等，设x—1=?=彳=卜，

则有久=k+l、y=2k—1、z=3k+2,

试卷第18页，总24页

...%2+y2+22=(k+1)2+(2k-l)2+(3k+2)2=2(21+5k+3),

故当k=-9,即％=-［、y=-->2=-1时，/+y2+z2取得最小值为一上

44244

31.

【答案】

解：由题意，根据不等式右边a,b,c的对等性可得

当且仅当a=b=c时，取得最值，

M>0,

■.最小的实数M是0.

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由题意，根据不等式右边a,b,c的对等性可得结论.

【解答】

解：由题意，根据不等式右边a,b,c的对等性可得

当且仅当a=b=c时，取得最值，

:.M>0,

最小的实数M是0.

32.

【答案】

证明：a+b=1,b=1—a.

a3+b3+3ab=a3+(1—a)3+3a(1—a)=a3+1—3a+3a2—a3+3a—

3a2=1

即a3+b3+3ab=l.

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

由a+b=l,可得b=l-a,{-'JAa3+b3+3ab,化简即可得出结论.

【解答】

证明：ra+b=1,b=1—a.

a3+b3+3ab=a3+(1—a)3+3a(l—a)=a3+1—3a+3a2—a3+3a—

3a2—1

即a?+b3+Sab=1.

33.

【答案】

证明：作边长为k的正三角形PQR,分别在各边上取：QL=A,LR=a,RM=B,

MP=b,PN=C,NQ=c.

显然有SALRM+SAMPN+S^NQL<S^PQB，

BP-aBsin60°+-/?Csin60°+-Cj4sin60°<-fczsin60°,

2222

1.aB+bC+cA<k2.QR

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

作边长为k的正三角形PQR,分别在各边上取：QL=4LR=a,RM=B,MP=b,

PN=C,NQ=c.显然有S4LRM+S^MPN+S^NQLVSMQB,即可证明结论.

【解答】

证明：作边长为k的正三角形PQR,分别在各边上取：QL=4LR=a,RM=B,

MP=b,PN=C,NQ=c.

显然有S-RM+S&MPN+S&NQL<S&PQB，

Hp|aBsin60°+|bCsin60°+：cAsin60°<|fc2sin600,

aB+bC+cA<k,2.

34.

【答案】

—|x—l,x<—2

f(x)=--gx+1,-2<x<0>

3

-X+1,X>0

2

当%G(-oo,0]时,f(%)单调递减,

当%6[0,+8)时，/(%)单调递增,

所以当％=0时.，f(x)的最小值血=1.

22222

由柯西不等式(层+/+c)(i+2+3)>(a+2b4-c)=l,

故a2+b2+c2zN,当且仅当a=Z,b=~,c-二时取等号

1414714

a2+b2+c2的最小值为9

【考点】

二维形式的柯西不等式

【解析】

—|x—1,X<—2

(1)写出分段函数4-1x+l,-2<x<0,确定函数的单调性，可得函数/(%)的最小

3

jx4-1,%>0

值；

(2)由柯西不等式(a?+炉+c2)(M+2?+3?)2(a+2b+3c)2=l,可得(^+从+

。2的最小值.

【解答】

—|x—l,x<—2

f(x)="—3%+1,-2<xW0,

3

-x+l,x>0

2

当xe(-8,0]时:f(x)单调递减，

当XG[0,+8)时,f(x)单调递增，

所以当％=0时，f(x)的最小值771=1.

试卷第20页，总24页

由柯西不等式(Q2+坟+02)(12