备战2025年中考数学冲刺专项训练（全国）专题02 反比例函数大题（二大题型）（原卷版）

专题02反比例函数大题（二大题型）通用的解题思路：题型一．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．题型二．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线与直线交于，两点．点和点在双曲线上，点为轴正半轴上的一点．（1）求双曲线的表达式和，的值；（2）请直接写出使得的的取值范围；（3）若的面积为12，求此时点的坐标．2．（2023•苏州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图象上．（1）求，的值；（2）当为何值时，的值最大？最大值是多少？3．（2024•常州模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．（1）求函数和的表达式；（2）若在轴上有一动点，当时，求点的坐标．4．（2024•常州模拟）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足时的取值范围；（3）点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若的面积为3，求点的坐标．5．（2024•沭阳县模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，求的取值范围．6．（2024•宿迁二模）已知函数的图象与函数的图象交于点（1）若，求的值和点的坐标．（2）当时，结合函数图象，直接写出实数的取值范围．7．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．8．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．是轴上的一点，连接、．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）若的面积是6，求点的坐标．9．（2024•姜堰区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，．（1）求、的值；（2）当时，直接写出的取值范围．10．（2024•昆山市模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出满足的取值范围；（3）求的面积．11．（2024•兴化市一模）已知函数是常数，，函数．（1）若函数和函数的图象交于点，点．①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．（2）若点在函数的图象上，点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．12．（2024•南通模拟）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，且恰为线段的中点，连接．若．求的值．13．（2024•亭湖区模拟）如图，等腰三角形中，，点坐标为顶点在反比例函数的图象上，且的面积为12．（1）．（2）过点直线对应的解析式为与双曲线在第一，三象限交点分别为点，．①求点，的坐标．②直接写出不等式的解集．14．（2024•常熟市模拟）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数图象相交于点．（1）求反比例函数的表达式；（2）点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？15．（2024•东海县一模）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于，两点，其中．（1）求反比例函数表达式；（2）结合图象，直接写出时，的取值范围；（3）若把一次函数的图象向下平移个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出的值．16．（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点是轴上一点，且满足的面积是10，请求出点的坐标．17．（2024•姑苏区校级模拟）如图，以轴上长为1的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点、，反比例函数的图象正好经过点、．（1）线段长为；（2）求值．18．（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，为常数，且与反比例函数为常数，且的图象交于点，．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当时，直接写出自变量的取值范围；（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．19．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数，分别交于点和点，且、两点的坐标分别是和．，连接、．（1）求一次函数与反比例函数的函数表达式；（2）求的面积．20．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且．点是轴正半轴上一点，连接，．（1）求和的值；（2）求的面积．21．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）过点作轴于点，连接，求四边形的面积；（3）根据图象直接写出使成立的的取值范围．22．（2024•新北区一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接，若，求的面积．23．（2024•武进区校级模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，．（1）求点的坐标及反比例函数的解析式；（2）若点是直线与反比例函数图象的另一个交点，求的面积．24．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长．25．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围．题型二．反比例函数综合题（共8小题）26．（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形．（1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为．①求证：四边形为平行四边形；②求的面积；（2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标；（3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点．27．（2024•东台市一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标．28．（2023•泰州）在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接．（1）若，，求函数的表达式及的面积；（2）当、在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；（3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由．29．（2024•盐城模拟）【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：（1）建立函数模型设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第象限内的公共点坐标．（2）画出函数图象①画函数的图象；②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移个单位长度得到．（3）研究函数图象平移直线，观察两函数的图象；①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长的值为；②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围．【结论运用】（4）面积为10的矩形的周长的取值范围为．30．（2023•镇江）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，点在轴负半轴上，．（1），，点的坐标为；（2）点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．31．（2023•连云港）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为．设，，试用含的代数式表示．【由数想形新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示．若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．【数形结合深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点、、、，使得四边形是平行四边形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）【抽象回归拓展总结】（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究