【题型归类大全】2023年备考一轮复习学案（理科数学）考点05：函数的单调性与最值

【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）

考点05：函数的单调性与最值

［考纲传真］

L理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

［命题分析］

1.集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置

进行考查，难度较小.命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二

次不等式结合命题.

2.高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的

否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、

数列等内容命题.

［题型归类］

1.集合的含义与表示

2..集合间的基本关系

3.集合的基本运算

4.德摩根定律在集合计算的运用

5.韦恩图在集合与数量关系问题中的运用

6.利用集合的运算求参数

7.集合与其他知识的综合问题

8.集合的新定义问题

题型一：确定函数的单调性（区间）

知识与方法

1.增函数、减函数

增函数减函数

定一般地，设函数F（x）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃上的任意两

义个自变量的值①，也

当汨〈总时，都有VfG),那么就当用<用时，都有>八尼),那么

说函数f(x)在区间〃上是增函数就说函数/'(X)在区间。上是减函数

图y/月㈤

象系”

描0XlX2X

述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.函数单调性的常用结论

(1)对Vxi,〃(为#论)，'*T->Oof(x)在〃上是增函数,

X\—X2

'_1*'<o0/u)在〃上是减函数.

(2)对勾函数尸x+'(a>0)的增区间为(一8,一5]和十8),减区间为[—

X

yfa,0)和(0,y[a].

(3)在区间〃上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异

减”.

3.确定函数单调性的4种方法

(1)定义法.利用定义判断.

(2)导数法.适用于可以求导的函数.

(3)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数

定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用''和"或“，”连接，不能

用“U”连接.

(4)复合函数法.对于函数y=f(g(x)),先确定y=f(v),v=g(x)的单调性，再

利用“同增异减”的原则确定y=f(g(x))的单调性.

易错警示：确定函数的单调性(区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区

间).

4.熟记函数单调性的4个常用结论

(1)若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增

(减)函数；

(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),—的单调性相

IX

反；

(4)函数y=f(x)(f(x)20)在公共定义域内与y=Vf~x-的单调性相同.

5.单调函数的两种等价变形

设任意X”及£［a,6］且为〈尼，那么

(I)‘-"」—/一x一〉0o/x)在［a,⑸上是增函数；,一八―一/-X—V0QF(X)

乂一为X\—X2

在［a,6］上是减函数.

⑵(%一论)［F(幻一/1&)］>Oof(x)在［a,6］上是增函数；(为一刀2)—f(x-2)

.］<0o/(x)在［a,6］上是减函数.

-例1函数/'3=门(9一2矛一8)的单调递增区间是()

A.(—8,-2)B.(—8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+°0)

解析：［由，-2x—8〉0,得%>4或点一2.

设2x—8,则y=ln1在te(0,+8)上为增函数.

欲求函数/'(*)的单调递增区间，即求函数％=V一2*—8的单调递增区间.

•.•函数。=4—2x—8的单调递增区间为(4,+8),

函数/"(X)的单调递增区间为(4,+8).

故选D.］

＞例2已知函数f(x)=\，—2X—3,则该函数的单调递增区间为()

A.(—8,1]B.[3,+°0)

C.(—8,-1]D.[1,+8)

解析：选B设£=，一2x—3,由t，0,得家一2x—320,解得xW—1或*23.

所以函数f(x)的定义域为(一8,—1］U［3,+°°).因为函数£=*—2x—3的图象

的对称轴为x=l,所以函数t在(-8,—1］上单调递减，在［3,+8)上单调递增.所

以函数f(x)的单调递增区间为［3,+8).

＞例3求下列函数的单调区间：尸一f+2|x|+l；

—x+2^r+1x20

解析：由于y=＜

—x~2x-\-1xVO

x—1'+2x20

即y=<

x+1~+2xVO

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-8,-1］和［0,1］,单调递减区间为

［―1,0］和［1,+°°).

＞例4下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.y=yjx+lB.y=(^―I)2

A

C.y=2-D.y=logo.5(^+l)

解析A项，函数尸5+1在［-1,+8)上为增函数，所以函数在(0,+8)上为增

函数，故正确；B项，函数y=(x—1尸在(一8,1)上为减函数，在［1,+8)上为增

函数，故错误;C项，函数y=2'=(g)'在R上为减函数，故错误；D项，函数y=logo,5(x

+1)在(-1,+8)上为减函数，故错误.

题型二：图像法确定函数的单调性(区间)

知识与方法

复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调

性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间.

＞例1下列函数中，图象是轴对称图形且在区间（0,+8）上单调递减的是（B）

1

A.y=~B.y=-7+l

x

x

C.y=2D.y=log2|%|

解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A,C,又『=一寸+1在（0,4-

8）上单调递减，y=log2|x|在（0,+8）上单调递增，所以排除D.故选B.

＞例2函数变为尸|-/+2x+11的单调区间

解析：函数y=|—f+2万+11的图象如图所示.由图象可知，函数y=|一f+2矛

+11的单调递增区间为（1—镜，1）和（1+啦，+8）；单调递减区间为（一8,1一小）

和（1,1+啦）.

＞例3已知函数F（x）=*—2ax—3在区间［1,2］上具有单调性，则实数a的取值范围为

解析函数/1（»=f—2且矛―3的图象开口向上，对称轴为直线x=a,画出草图如图

所示.

由图象可知函数在（-8,目和［a,+8）上都具有单调性，因此要使函数f（x）在区间

［1,2］上具有单调性，只需aWl或a22,从而（—8,1］u［2,+°°）.

题型三：复合函数的单调性（区间）

＞例1求下列函数的单调区间：y=log1（/-3A+2）.

解析：令u=*—3x+2,则原函数可以看作y=log|u与"=*—3x+2的复合函

数.

令u=*-3x+2>0,则xVl或*>2.

，函数尸log1(x?-.3x+2)的定义域为(一8,1)u(2,+°°).

3

又u=y-3x+2的对称轴x=5，且开口向上.

.•.”=*2—3*+2在(-8,1)上是单调减函数，在(2,+8)上是单调增函数.

而尸lo叼u在(0,+8)上是单调减函数，

.,.y=log^(7—3jr+2)的单调减区间为(2,+°°),

单调增区间为(-8,1).

-例2函数M=log1(/-4)的单调递增区间是()

A.(0,+8)B.(—8,0)

C.(2,+8)D.(—8,-2)

解析：因为y=log|z在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函

数t=*-4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(-8,-2).

题型四：分段函数的单调性(区间)

x+1,x20,

»例1函数f(x)=,在R上是()

X—1,A<0

A.减函数B.增函数

C.先减后增D.无单调性

解析：选B作出函数/'(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函

数在R上是增函数.

(a,x>l,

>例2已知函数是R上的增函数，则实数a的取值

II4--L+2,xWl

范围是()

A.(1,+8)B.[4,8)

C.(4,8)D.(1,8)

解析：选B由f(x)在R上是增函数，

7>1,

a

则有42'解得4Wa<8.

5圄+2Wa,

题型五：解析式含参函数的单调性

响1试讨论函数/•3=含("。)在(一1,1)上的单调性.

X|—lX2—1

由于一1<水&<1,

所以尼—区>0,X\—1<0«X2—1<0,

故当a>0时,—f(x2)>。，即/'(xj>f(x2)，

函数f(x)在(一1,1)上递减；

当水0时，F（xJ—£（尼）〈0，即/'（X）"（X2）,

函数f（x）在（一1,1）上递增.

综上，当a＞0时，f（x）在上单调递减；当水0时，f（x）在（-1,1）上单调递增.

响2已知a〉0,函数f（x）=x+：（x＞。），证明：函数/V）在（0,5］上是减函数,

在［,，+8）上是增函数.

解析：方法一任意取乂＞泾＞0,则

/（苞）=［%+力一］也+?

aa/\,ax—x

=(岗―即)+=(%—泾)+-----2---x

a

=（莅一泾）1

a

当/2为＞%＞0时,为一%>0,1—<0,

为及

有F(x])—f1x)<0,即f(xi)<f(x2),

此时'函数F3=x+?a＞0）在（0,5］上为减函数;

a

当为＞也时，X1—%＞0,1一>0,

有f(xi)-f(xj>0,即F(xi)>f(否)，

此时，函数f（x）=x+；（a＞0）在+8）上为增函数;

综上可知，函数f（x）=x+?（a＞0）在（0,y［a］上为减函数，在［、-，+8）上为增函数.

方法二/3=14,令，方＞。,则1—令。,

解得x＞、3或矛＜一五（舍）.令/（x）＜0,则1—宁＜0,解得一F（矛《,

Vx＞0,/.0＜x＜.y［~a.

故F（x）在（0,上为减函数，在［一,+8）上为增函数.

题型六：利用函数的单调性求最值(值域)

知识与方法

一、求函数值域的几个常见类型

1若所给函数能够判断单调性，可直接利用单调性求解.

2形如求函数尸蜃行的值域或最值，可先将函数解析式变为能台的形

式，再用单调性求解.

3分段函数的最值，先求每一个子区间上的最值，则各个区间上最大值中的

最大者为分段函数的最大值，各个区间上最小值中的最小值作为分段函数的最小值.

二、函数最值的有关结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最

值一定在端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).

3Y—1

a例函数才£的值域为.

1Ax)x+2[-5,-3]

解析：当时，函数/为减函数，所以/"(X)在x=l处取得最大值，为

r(l)=l;当XVI时，易知函数f(x)=-f+2在x=0处取得最大值，为/'(0)=2.

故函数M的最大值为2.

1

＞例2函数尸(习丁+1的值域为(C)

z1

,A

n_

zn

\-

B._

D.±1

_+8

Z0

_-

1

解析：因为第20,所以V+121,即*^(0,1],故人=(；了+1e1).

2019r+l+2017

»例3已知a>0,设函数f(x)=—罚一(xe［—a,a］)的最大值为机最

小值为N,那么M+N=(D)

A.2017B.2019

C.4032D.4036

2019v+I+20172

解析：由题意得M=—「ng』］—=2019-,,,,Vy=2019"+1在［一

乙w1.17~I~L乙9Un_iLQyIL

9

a,句上是单调递增的，.・.F(x)=2019--在i司上是单调递增的，.••物

22

=r(a),N=f(~a),：.M+N=f(a)+f(~a)=4038—036.

乙\zXtzIkCJVXIk

►1例2函数F(x)在区间［a,8］上的最大值是1,最小值是1，则a+b.=

x—13

解析：易知/'(x)在［a,6］上为减函数,

a=2,

8=4.

J17!1

a+6=6.

>例4函数f(x)=J*的最大值为

l—f+2,x<1

解析：当心1时，函数f(x)W为减函数，所以f(x)在户1处取得最大值，为f⑴

=1；当水1时，易知函数/'(x)=—4+2在x=0处取得最大值，为/'(0)=2.

故函数f{x)的最大值为2.

题型七：应用函数的单调性比较函数值的大小

知识与方法

比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用

函数的单调性解决.

•►例1已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当房>%>1时,

［/(莅)一(用一及)V0恒成立，设(3=(—3),b=/(2),c=f(3),则a,A,c的

大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

解析：因为f(x)的图象关于直线x=i对称.由此可得4一曰=4号,由房>凡>1

时，"(就一fUON%—xjvo恒成立,知f(x)在(1,+8)上单调递减.

因为1V2〈|V3,所以/'(2)>，|)>f(3),所以b>a>c

>例2已知函数f(x)满足f(x)=/(n—x),且当xG1一5，5J时，/'(x)=e'+sin

必则()

A.Al)<f(2)<f(3)B.A2)<f(3)<f(l)

c.A3XA2XA1)D./(3XA1XA2)

解析：选D由f(x)=f(n—X),

得f(2)=f(Ji—2),A3)=f(n-3).

(nJTAn

由f(x)=e*+sinx,得函数f(x)在(一万，万J内单调递增.又一］〈“一3<1〈n

JT

-2〈万，

.\A"-2)>AD>/("-3)..,.f(2)>/(l)>/(3).

>例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=—/(*)(其中e=2.7182…)，

且在区间［e,2e］上是减函数，令户竽仁竽一柴则川)，9，&)的

大小关系(用不等号连接)为(A)

A.f(b)>f(a)>f(c)B.

C.f(a)〉f(8)>f(c)D.f(a)〉f(c)>f(6)

解析：是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-F(x),，f(x+2e)=f(-x),

...函数f(x)的图象关于直线x=e对称，在区间［e,2e］上为减函数，.•.F(x)在

区间［0,e］上为增函数，又易知0<。<水为e,.•./■(，)</>(知<f(b),故选A.

►•例4已知函数f(x)=logzx十一一，若x«(l,2),X2G(2,+°°),则()

1—x

A.A^iXO,f(X2)<0B.f(4)<0,f(&)>0

C.r(%i)>o,f(X2)<0D.f(幻>0,f(出)〉0

答案B

解析•函数f(x)=log2x+yL在(1,+8)上为增函数，且/1(2)=0,

.•.当石£(1,2)时,f(xJ<f(2)=0,

当而£(2,+8)时，f(药)〉f(2)=0,

即/■(幻<0,f(X2)>0.

题型八：应用函数的单调性解函数不等式

知识与方法

解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“严

符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

>例1已知函数f(x)=x+sinx,x《(-1,1),则满足/(a2—1)+/(a—1)>0

的a的取值范围是()

A.(0,2)B.(1,⑫

C.(1,2)D.(0,血

解析：由题意知F(—x)=(―x)"+sin(—x)=-A3—sinx=—(/+sinx)=一

f(x),(—1,1)，

在区间(一1,1)上是奇函数.

又f(x)=3*+cosx>0,

在区间(—1,1)上单调递增,

(才一l)+f(a—1)>0,

—f(a—1)—1),

r-i<i-a<i,

2

{-l<a-l<l,解得IVa<镜,故选B

>例2已知/l(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是()

A.(—8,1)B.(1,+°°)

C.(一8,o)U(0,1)D.(一8,0)U(1,+8)

1V—1

解析：选D依题意得-VI,即——>0,所以x的取值范围是x>l或x<0.

XX

»例3F(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足f(xy)=f(x)+/(y),f(3)

=1,当/'(x)+f(x—8)W2时，x的取值范围是()

A.(8,+8)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

解析:2=1+1=A3)+A3)=f(9),由f(x)+f(x-8)W2,可得f|>(x—8)]Wf(9),

因为f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，

Z>0,

所以有1x-8>0,解得8<xW9.

*—8W9,

题型九：应用函数的单调性求参数的值或取值范围

知识与方法

利用单调性求参