2019-2020学年高中数学《3.2均值不等式》导学案一新人教B必修5

2019-2020学年高中数学《3.2均值不等式》导学案（一）新人教B版必修5明目标、知重点1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当时，等号成立．2．均值定理如果a，b∈R＋，那么eq\f(a＋b,2)eq\r(ab)，当且仅当时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数eq\f(a＋b,2)叫做a，b的算术平均值，数eq\r(ab)叫做a，b的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值它的几何平均值．4．均值定理的常用推论(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；当ab<0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．[情境导学]在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a，b的等差中项和等比中项分别为eq\f(a＋b,2)、eq\r(ab)，那么这两个中项有什么大小关系哪？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一重要不等式a2＋b2≥2ab思考如何证明不等式a2＋b2≥2ab?探究点二基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)思考1如果a>0，b>0，用eq\r(a)，eq\r(b)分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？思考2如何证明不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)?思考3对任意两个正实数a，b，数eq\f(a＋b,2)叫做a，b的算术平均值，数eq\r(ab)叫做a，b的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？思考4如果把eq\r(ab)看作是正数a，b的等比中项，eq\f(a＋b,2)看作是正数a，b的等差中项，该定理如何叙述？思考5不等式a2＋b2≥2ab与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的条件相同吗？如果不同各是什么？例1已知ab>0，求证：eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，并推导出式中等号成立的条件．跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).探究点三均值不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的几何解释思考如图，以长为a＋b的线段为直径作圆O，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′.能否借助该几何图形解释均值不等式的几何意义？例2已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.探究点四利用均值不等式求最值例3已知函数y＝x＋eq\f(16,x＋2)，x∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．跟踪训练3已知函数y＝x＋eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)，求函数的最大值．1．已知a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2) C．4 D．52．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A．a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>b B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>a D．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(A．6 B．4eq\r(2) C．2eq\r(6) D．84．设b>a>0，且a＋b＝1，则此四个数eq\f(1,2)，2ab，a2＋b2，b中最大的是()A．b B．a2＋b2 C．2ab D.eq\f(1,2)5．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)3.2均值不等式（一）【强化训练】一、基础过关1．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2eq\r(3)，则2a＋b＋c的最小值是()A.eq\r(3)－1 B.eq\r(3)＋1 C．2eq\r(3)＋2 D．2eq\r(3)－22．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab) C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥23．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4) B.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1 C.eq\r(xy)≥2 D.eq\f(1,xy)≥14．设a>0，b>0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8 B．4 C．1 D.eq\f(1,4)5．若a<1，则a＋eq\f(1,a－1)有最____(填“大”或“小”)值，为_______________________．6．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．7．设a、b、c都是正数，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.二、能力提升8．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2) B．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥49．设0<a<1<b，则一定有()A．logab＋logba≥2 B．logab＋logba≥－2C．logab＋logba≤－2 D．logab＋logba>210．若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围为________．11．已知x>y>0，xy＝1，求证：eq\f(x2＋y2,x－y)≥2e