河南省2025届高三数学5月适应性考试试题理含解析

PAGE26-河南省2025届高三数学5月适应性考试试题理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1.已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据复数的除法运算，可求，再依据复数与共轭复数的关系，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.2.设集合，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合，结合选项进行推断.【详解】因为，，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的运算，把集合化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.某科研型企业，每年都对应聘入围的高校生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围高校生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，依据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回来方程为，则下列结论中不正确的是（）A.y与x具有正的线性相关关系B.回来直线过样本点的中心C.若某应聘高校生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kgD.若某应聘高校生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg【答案】D【解析】【分析】依据线性回来方程分析，x的系数为正则正相关；线性回来方程必过样本中心点；利用线性回来方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.【详解】由于线性回来方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；线性回来方程必过样本中心点，故B正确；由线性回来方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确；当某高校生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是详细值，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回来方程，属于基础题.4.“”是“直线与圆相切”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：若，则圆的圆心，到直线的距离为，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线与圆相切，则圆心到直线距离为，解得或，所以必要性不成立.故选：B.考点：直线与圆的位置关系、充分必要条件．5.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由向量夹角为锐角，由向量数量积，求出，再由向量，共线时，求出，进而可求出结果.【详解】因为，，所以；因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.6.设函数，，若，则方程的全部根之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先进行化简函数，利用三角函数的对称性进行求解即可．【详解】∵，，∴，又，∴方程有两根，，由对称性得，解得.答案：D【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查数形结合的实力，属于基础题.7.若对随意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得出，利用基本不等式求得的最大值，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得，因此，实数的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算实力，属于基础题.8.某地一重点中学为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参与与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参与交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被安排到学校旁边路口执勤，2人被安排到医院旁边路口执勤，2人被安排到中心市场旁边路口执勤，假如安排去向是随机的，则甲、乙两人被安排到同一路口的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合排列、组合求得把6名同学平均安排到三个不同的路口安排种数，再求得甲、乙两人被安排到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，把6名同学平均安排到三个不同的路口，共有种安排方案，其中甲、乙两人被安排到同一路口有种可能，所以甲、乙两人被安排到同一路口的概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.9.已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】构造函数与，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数，，则，所以函数为定义域上的为偶函数，作出函数与的图象，如图所示，当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.10.已知过双曲线的左焦点的直线与双曲线左支交于点，，过原点与弦中点的直线交直线于点，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意，得，设，，，将直线的方程代入双曲线的方程，消去，依据韦达定理，以及题中条件，得到，求得直线的方程为，求出，推出，得到，依据题意，求出，即可得出结果.【详解】由得其左焦点为，则由题意可设，代入双曲线的方程，消去，整理得.设，，由根与系数的关系，得，∴，，即∴直线的方程为.令，得，即，∴直线的斜率为，∴，则必有，即，解得.又，∴，∴，从而直线的方程为或.故选：A.【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程，熟记直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的简洁性质即可，属于常考题型.11.设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合数列的与的关系，分别求得，的通项公式，进而得到的值，再结合向量的共线定理，即可求解.【详解】由题意，，分别为等差数列，的前n项和，且，不妨取，，当时，，当时，，验证得当时上式成立，综上数列的通项公式为，同理可得，数列的通项公式为，则，又由点P在直线上，设，，即，.故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前项和公式的应用，以及向量共线定理的应用，其中解答中熟记数列中与的关系，求得数列的通项公式，以及共线向量的定理是解答的关键，着重考查推理与运算实力.12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的阅历公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（）参考数据:，，，，.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：依据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，，∴，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培育了学生的爱好，同时培育了学生的爱国情怀，是一道好题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x，y满意线性约束条件，则的最大值为______.【答案】12【解析】【分析】由线性约束条件，作出可行域，的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过A点，取最大值.【详解】由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，，的几何意义为直线的截距，作直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，即.故答案为：12【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题，考查了数学运算实力和数形结合实力，属于基础题目.14.过抛物线的焦点的直线被分成长度为，的两段，请写出一个，满意的等量关系式______.【答案】【解析】【分析】先由题意，设，，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，依据韦达定理，得到，再由题意，得到，，求得，从而得到，求解，即可得出结果.【详解】由题意，，设，，直线的方程为：，由消去，得到，所以，所以，又过抛物线的焦点的直线被分成长度为，的两段，所以，，，所以，因此，所以，即，整理得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简洁应用，熟记抛物线的焦点弦长公式，以及抛物线的简洁性质即可，属于常考题型.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要主动培育本土人才，激励外出能人返乡创业.2024年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的看法》.《看法》指出，要实行党中心、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为激励返乡创业，某镇政府确定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预料该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金（万元）的3倍，已知，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______万元.【答案】200【解析】【分析】设等差数列的公差为d，且满意.则该镇政府帮扶5年累计总投入：，再利用基本不等式求最值即可.【详解】设等差数列的公差为d，且满意.则该镇政府帮扶5年累计总投入：，当且仅当时等号成立.故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.故答案为：200【点睛】本题考查了等差数列前项和公式在实际问题中的应用，也考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.16.函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】将代入，求出函数的导数得出恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性可得，进而可得结果.【详解】当时，∵，∴.当时，恒成立，∴在上单调递增.∴在上最小值为.又时，恒成立，令,,所以在递增，所以∴恒成立，∴.故答案为；.【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调性与最值，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22、23题为选考题，考生依据要求作答．）17.在平面中，四边形满意，，，，的面积为.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由的面积求得的值，进而求得，然后在中利用余弦定理可求得的长；（2）利用勾股定理得出，进而推导出，可得出，过顶点作的垂线，垂足为，在中，利用正弦定理可求得的长，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）由已知，可得，又，所以，所以在中，由余弦定理，；（2）由（1）可得：，所以，故.由，得，所以，.又，所以，所以为等腰三角形，即.在中，过顶点作的垂线，垂足为，且，，，在中，由正弦定理，可得，所以.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式解三角形，考查计算实力，属于中等题.18.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评比确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产隐藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的珍贵财宝.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2024年春节期间的90位游客购买状况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）购买人数101520152010（1）依据以上数据完成2×2列联表，并推断能否在犯错误的概率不超过0.05的状况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.不少于60元少于60元总计年龄大于5040龄小于5018总计（2）为吸引游客，超市推出一种实惠方案，实行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲安排购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附参考公式和数据：，.0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的状况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关；（2）分布列见解析，75.【解析】【分析】（1）依据题中数据可得列联表，再利用计算公式得出，即可推断出结论．（2）可能取值为65，70，75，80，且．利用二项分布列的计算公式即可得出的分布列及其数学期望．【详解】解：（1）2×2列联表如下：不少于60元少于60元总计年龄大于50124052龄小于50182038总计306090，.因此能在犯错误的概率不超过0.05的状况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.（2）X的可能取值为65，70，75，80，且.，，.，.X的分布列为65707580所以.【点睛】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望，考查运算求解实力和应用意识，属于中档题．19.如图，已知五面体中，四边形为等腰梯形，，，且，，，平面平面.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点M，连接，，先由题中条件，得到，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得出；（2）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，依据向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果.详解】（1）证明：取中点M，连接，，因为四边形为等腰梯形，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，三角形为等边三角形，所以，，，即，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，

所以可求得，，，.则，，.设向量为平面的一个法向量，则，即，所以令，则；设向量为平面的法向量，则，即，令，则，所以，又二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面、面面垂直的性质定理，敏捷运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.20.已知圆，点，P是圆C上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点M.（1）求点M的轨迹方程E.（2）已知直线交曲线E于A，B两点.①若射线交椭圆于点Q，求面积的最大值；②若，垂直于点D，求点D的轨迹方程.【答案】（1）；（2）①面积的最大值为3；②.【解析】【分析】（1）依据题意，化简得，再结合椭圆的定义即可取得点M的轨迹方程；（2）①当所在直线斜率存在时，设的方程为，得到Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得的表示，利用基本不等式，求得面积的最大值；当所在直线斜率不存在时，设的方程为，联立方程组，结合面积公式和基本不等式，求得的最大值，即可得到结论；②由①和，化简得到，进而得到，结合圆的定义，即可求解.【详解】（1）由圆，可得圆心，半径，因为，所以点G在圆C内，又由点M在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以G，C为焦点的椭圆，其中，，，所以点M的轨迹方程为.（2）①当所在直线斜率存在时，设所在直线方程为，由，可得，同理，，所以，即Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍，设，，联立，可得.由得，且，，则，又由O到直线的距离，∴.当且仅当，即时等号成立.故面积的最大值为.当所在直线斜率不存在时，假设，则，的方程为（其中）.联立，得，则.∴，综上可得，面积的最大值为3.②由①知，，又因为，所以，即，即，代入解得，又，所以点D的轨迹是以O为圆心，半径为的圆（去掉x轴上的两个点），故点D的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是困难式子的变形实力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维实力、运算求解实力、分析问题解决问题的实力等．21.已知函数.（1）推断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）假如，且，求证：.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求解导数，通过求解不等式，推断函数单调性；（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象改变趋势可得，然后求解不等式可得结果；（3）构造函数，推断单调性得出，结合函数的单调性可得，从而可证结论.【详解】（1）因为，所以，令可得；令可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可得函数在处取得最大值，，所以函数的值域为，且时，；因为方程有两个不同的根，所以，即，，解得.即实数a的取值范围为.（3）证明：由，，不妨设，构造函数，，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，.即，又因为，，且在上单调递减，所以，即证.即.【点睛】本题主要考查导数的应用，