3.2.2双曲线的几何性质（解析版）

3.2.2双曲线的几何性质同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得，所以双曲线的标准方程为.故选:C.2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程即可计算.【详解】由题设知，，解得.故选:A.3．已知双曲线的离心率是2，则（

）A．12 B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.【详解】由题意可得，解得，故选：B.4．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，又；故选：A.5．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.6．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，所以离心率.故选：A7．双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解.【详解】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A.8．若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解.【详解】由题可得解得，所以双曲线方程为，故选:C.9．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得，解得，因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.故选:C.10．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.【详解】由题意得：，解得：，即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.故选：A.二、填空题11．已知双曲线的离心率为，则．【答案】3【分析】根据给定条件，结合离心率计算公式求解作答.【详解】∵双曲线的离心率为，则有，解得．故答案为：3.12．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为.【答案】【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意，，所以，所以双曲线的标准方程为.故答案为：13．已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为.【答案】或【分析】根据双曲线的焦距和离心率求出，再分两种情况写出标准方程.【详解】依题意，，由，得，所以，当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.故答案为：或.14．已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是.【答案】【分析】根据题意求出即可得解.【详解】因为双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，所以，所以，所以双曲线C的焦距是.故答案为：.15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则.【答案】【分析】根据双曲线的渐近线方程求解.【详解】由题得，因为，所以解得.故答案为：3.三、解答题16．已知双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．【答案】【分析】本题首先可以设出双曲线的标准方程并写出其的渐近线方程，然后通过题目所给出的渐近线方程为即可得出与的关系，再然后通过焦点坐标以及双曲线的相关性质即可得出，最后通过计算即可得出结果．【详解】由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为，因为渐近线方程为，所以，又因为双曲线的一个焦点为，所以，联立，通过计算可得，故所求双曲线的标准方程为．【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的标准方程的求法，考查计算能力，是简单题．17．（1）求焦点在轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线标准方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设椭圆标准方程，由长轴长知；由焦距得到，解出后，代入椭圆方程即可得到结果；（2）设双曲线标准方程，由渐近线斜率可得，由焦点坐标可得，从而求得，代入双曲线方程可得到结果.【详解】（1）设椭圆标准方程为：由长轴长知：

由焦距知：

，解得：椭圆标准方程为：（2）双曲线焦点在轴上

可设双曲线标准方程为双曲线渐近线方程为：

又焦点为

，解得：

双曲线标准方程为：【点睛】本题考查椭圆方程、双曲线方程的求解，椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题.18．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.(1)求椭圆的焦点坐标；(2)求双曲线的标准方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.【详解】（1）由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.（2）由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.19．（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可.【详解】（1）设椭圆方程为：且a>b>0，，，，，故椭圆方程为：；（2）的焦点为：，根据题意得到：，则，解得：，故，故双曲线的方程为：.能力进阶能力进阶20．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.【详解】（1）设双曲线的方程为.由，，得，，，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.设双曲线的方程为，则，，，所以双曲线的方程为.21．已