高中数学-第二章《推理与证明》复习教学设计学情分析教材分析课后反思

《推理与证明》训练课教学设计

授课教师任职单位

授课内容推理与证明课型复习

所需课时1课时教具多媒体

教学目标

【知识与技能】

学会合情推理与演绎推理的内容，会用直接证明与间接证明对所求结论进行证明，熟记数学归纳法的

一般步骤。

【过程与方法】

通过具体实例，采用探究与讲练结合法，让同学得出合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明，数

学归纳法的内容。

【情感态度与价值观】

本章学习，有利于发展学生思维能力，提高学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中

的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。

重点与难点

1.重点：（1）合情推理、演绎推理的理解。

（2）直接证明与间接证明运用。

2.难点：（1）演绎推理和反证法；

（2）对数学归纳法的理解

教法与学法

教法运用了“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”；

学法用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式。

教学过程

新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师

生互动、发展的过程。基于此，我设定了如下环节：

生

学

教学教师主要

动

活

程序活动教学内容

引昨天已经本章的基本知识进行复习（出示课件），今天进行复习，

入引我们将分五个专题进行复习，希望同学们结合本章知识总结出各类专题回答

课入的规律。思考

题

训练题组一：合情推理

观察

1.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第〃个“金鱼”图

需要火柴棒的根数为（）

》>»>»>•••

专

题①②③

训A.6/?—2B.8〃—2C.6〃+2

练讲解

D.8〃+2

题思考

2.已知也｝为等比数列，々=2,则*包・伍也•仇我也也女=29.若

组

｛%｝为等差数列，则｛｝的类似结论为（）

—■%=2,4

板书A.4・%•%=2。B.

分析

4+%+。3+。4+。5+4+%+。8+。9=2。

C.q•a2•a3•a4q•a6•%q吗=2x9D.

q+%+%+%+%+4+%+/+〃9=2x9

投影归纳

3.（2015•陕西高考）观察下列等式：

,11

1----=—

22

,11111

23434

11111111

巡视1探究

23456456

S

据此规律,第n个等式可为_______.

4.如图所示，在三棱锥S-ABC中，/\…

SALS民S3_LSC,SA_LSC且SA,SB,SC

B

和底面ABC所成的角分别为四,见，，三侧

矫正

面的面积分别为s,,s2,s3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的

一个猜想.

总

结小结：

规

律设计意图：通过训练题组让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法；

总结出常用平面几何与立体几何类比的规律。

训练题组二：演绎推理

1.演绎推理中的“一般性命题”包括（）

训练

①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验.

A.①②B.①③C.②③D.①②®

讲解

2.（2015•吉林高二检测）“三角函数是周期函数，

专

题y=tan无,是三角函数,所以y=tanx,xe是周小组

训交流

期函数”.在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）

练板书

A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正

题

确D.推理形式不正确

组

3.（2015•杭州高二检测）下面几种推理中是演绎推理的是（）

A.因为y=2"是指数函数,所以函数y=T经过定点（0,1）

总结

投影

B.猜想数列的通项公式为a=、（neN*）

1x22x33x4+nJ'

22

C.由圆V+y2=产的面积为不严猜想出椭圆二+==1的面积为

巡视7rab汇报

D.由平面直角坐标系中圆的方程为（x—“）2=产，推测空间

直角坐标系中球的方程为(x—a)2+(y—力)2+(z-c)2=产

4.因为中国的大学分布在全国各地，大前提

北京大学是中国的大学，小前提

投影

所以北京大学分布在全国各地.结论

(1)上面的推理形式正确吗？为什么？

(2)推理的结论正确吗?为什么？

总强调

结小结：

规

律

设计意图：通过训练题组让学生掌握演绎推理的基本模式一一“三段论”

推理模式：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，让学生既学会

猜想，又学会证明。

训练题组三：综合法与分析法

专板书训练

1.关于综合法和分析法的说法错误的是()

题

A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法

VII

B.综合法又叫顺推证法或由因导果法

练

C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法

题观察

D.分析法又叫逆推证法或执果索因法

组投影

2.用分析法证明：欲证①A>B,只需证②(XD,这里①是②的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.(2015•济南高二检测)已知。力为非零实数,则使不等式：-+-<-2

巡视ba归纳

成立的一个充分而不必要条件是

A.B.ci^b<0C.a>0,h<0

D.a>0,b>0

板演

4.设。>0,8>0,。+8=1,求证：-+-+—>8,试用综合法和分析

讲解abab

法分别证明.

总

结

规小结：总结

律矫正

设计意图：通过复习题组让学生学生形成既分析又综合的思维方式，学

会将分析法与综合法结合起来运用.结合方式有两种：一是先用分析法

探寻证题思路，再用综合法有条理地表述证明过程；二是将分析法与综

合法结合起来，证明某些较复杂的数学问题.

训练题组四：反证法

投影

专1.（2014•高考）用反证法证明命题：“已知a力为实数，则方程训练

题/+办+人=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）

训

设问A.方程f+仪+人=0没有实根B.方程

练

题Y+⑪+人=0至多有一个实根观察

讲解

组C.方程+至多有两个实根D.方程

四

%2+依+人=0恰好有两个实根

板书2.下列命题不适合用反证法证明的是（）

A.同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交

归纳

B.两个不相等的角不是对顶角

C.平行四边形的对角线互相平分

D.已知且x+y>2,求证：％,y中至少有一个大于1

纠正

3.（2015•重庆高二检测）设/（x）=x2+fer+c,xe[-l,l],证明：板演

匕<一2时,在其定义域范围内至少存在一个x,使/（x）|Ng成立.

4.已知a.b.c.dGR,且ad—bc=\，求证：

总u~+h~+c2+d1+ab+cdw1.总结

结

规

总结：

律

设计意图：通过训练题让学生掌握反证法证题的基本模式和证题的步

骤；总结反证法的适用范围.反证法主要适用于以下两种情形：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线

索不够清晰；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进

行证明，只要研究一种或很少的几种情形.

训练题组五：数学归纳法

1.若y（〃）=i+；+g+…+—!—则n=\时/（〃）是

2/7+1、7v7训练

投影

（）

C.114

A.1B.—+

323

专

设问D.以上都不对

题2.（2015•珠江高二检测）利用数学归纳法证明观察

1111,

训eN*,n>2）时，第二步由2到Z+1时

n〃+1n+22n

讲解

练不等式左端的变化是（）.

题A.增加了二一这一项

2k+l

组

板书B.增加了------和-------两项

五2A+12k+2归纳

C.增加了」一和一!一中月项，同时减少了上这一项

2k+\2&+2k

D.以上都不对

纠正3.用数学归纳法证明：£'-yn能被x+y整除（〃为正奇数）时，假设

〃=%（%为正奇数）时，命题J龙立，再证n=______时，命题也成立.

4.用数学归纳法证明⑴

板演

〔”扑mH_.♦_\

——7=----（neN,/i>2）

n2）In'7

⑵对一切大于1的自然数〃，不等式

结

）、2〃+1寸-

规>-------成".

）2

律

总结：

设计意图：通过训练题让学CU掌握数学归纳法基本原理，掌握数学归纳总结

法的基本步骤，运用数学归到勺法证明一些与正整数〃（“取无限多个值）

有关的数学命题.

板推理与证明

书

推理形式：合情推理与演绎推理证明方法：数学归纳法

设

总结：直接法：综合法与分析法总结

计总结：

间接法：反证法

总结

学情分析

普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2

第二章《推理与证明》复习课

学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，关注学生的需求，才能在教学上做到有的

放矢，游刃有余。

以下是我对高二年级19班数学学情分析：

一、班级情况分析

本班共有71名学生，男女生人数分别是38名，33名，学生有一部分是城镇的，一部分

是农村的，父母基本上在学习上帮不了孩子，所有的希望都寄托到老师身上，这对教学工作

有一定的影响。另外，一部分学生本身自制力差，学习习惯不好，学习兴趣不浓，这也对

老师的教学管理增加了困难。

二、学生情况分析

1、学习兴趣与基础

经过一段时间的观察，我发现班上大部分学生对数学学习有兴趣，少部分学生兴趣不大,

问其原因，大都说数学太难，学不懂，老师讲的都不明白，基础太弱，导致课堂上无所事事。

2、学习习惯

大部分学生有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，和老师讲常交流。

但仍有大部分学生学习懒散、学习习惯差，粗心大意、书写不认真，不愿思考问题，上课开

小差，依赖老师讲解，依赖同学的帮助，作业抄袭等等不良现象。

3、学习成绩

学习成绩呈正态分布，成绩差异不很明显，但高低分差距比较大，高分很高，低分太低，

相差近100分。有的学生很多初中的知识都不会，甚至在计算上都经常出现错误，从卷面上

分析，一部分学生主要是粗心造成的。

三、教师的课上应对措施

1、抓学习习惯。帮助学生培养良好的学习习惯和学习方法。让学生先认识数学的重要

性，数学会提高大家对问题思维能力，分析判断能力，解决问题的能力.再教学生怎样学习

数学，一次慢慢提高数学学习能力。激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和方法。平时在教

学中，注意抓好学生的书写、审题与检查等良好的学习习惯。

2、加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌

握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的

时候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。

3、加强合作学习。对于班级出现的分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，

促使大家共同进步。

4、注重情感交流。在教学的同时，多了解学生的兴趣，投其所好，培养感情，让学生

先喜欢你这位老师，才能喜欢你这门课程。古人云“亲其师，信其道”；也有人说，一个好

老师，成就孩子的一生。

5、分层教学、因材施教。主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。

6、多表扬、多鼓励。对于课堂上踊跃发言和积极进步的学生要及时表扬。并鼓励其他

同学向他学习，增加自信心。

1_什2

1.用教学归纳法证明:“1+叶）+…+”田=—（的）”在

推理与证明复习学案1—a

【重点】验证”=1时,左端计算所得的项为（）

1、能利用归纳和类比等进行简单的推

A.1B.1+a

理

2、能用综合法、分析法、反证法、数C.1+a+aD.1+a+/+d

学归纳法证明一些简单数学命题。

【难点】数学归纳法\eNT

3.用数学归纳法证明1+2+3+…+一=21要，则当n=k+

1推理形式

1时左端应在”=k的基础上加上（）

例1.在数列｛““｝中，at=l,a„+1=A.首+1

vRCl-HV

津-,〃eN,猜想这个数列的

Z4an5用三段论推理："任何实数的平方大于0,因为a是

并说明理由实数，所以『＞0",你认为这个推理（）"

A.大前提错误B.小前提错误」

C.推理形式错误D.是正确的.

2.已知A4BC1三边长为a,b,c,面积为5贝

△ABC1内切圆半径r=———.

a+b+c试分别用综合法、分析法、反证法等三种方

根据类比推理的方法，若一个四面体A-ABCD四个^

面积分别为S，S£,s,,体积为匕A法，证明下列结论：已知OVaVl,贝|J

则四面体的内切球半径/八\

设等差数列｛%｝的前画和为S”,则邑S/《+送29."

4S12-S8f凡6-'12成等差数列类比以上结外例./TJ姒十！M纤“乙、迎/：

J设等比数歹U也｝的前题积为心

J则7；,—,，与成等比数列【例】求证：H■——H—1-—>-(n>2,nWNJ.

n+\H+26

效果分析

普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2

第二章《推理与证明》复习课

通过本节课的学习，教学目标达成度高，不同层次的学生都有收获；充分调动了学生的

积极性，学生的思维积极活跃，通过学习，有了认知冲突，有了对概念的深刻理解，对于不

同的问题，有了不同的解决方法；本节课师生交流对话充分，教学相长，形成了和谐民主、

相互尊重、合作探究的教学氛围，反映出浓厚的课堂文化，通过当堂达标测试可以看出学生

基本上掌握了本节课的知识，当堂达成度高。

学会合情推理与演绎推理的内容，会用

效直接证明与间接证明对所求结论进行证明，

熟记数学归纳法的一般步骤。

能

通过具体实例，采用探究与讲练结合法，让

力

同学得出合情推理与演绎推理，直接证明与

间接证明，数学归纳法的内容。培养学生发

方

果现问题与解决问题的能力，归纳与总结能力

面

本章学习，有利于发展学生思维能力，提高

学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学

分及日常生活中的作用，从而架起数学与生活

的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。

析关于每个题组的总结，学生理解和接受起来

比较困难，教学中通过大量实例，自主分析、

思考、交流、讨论，概括出一般规律，师生

有效互动，效果理想。

教材分析

普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2

第二章《推理与证明》复习课

“推理与证明”是新课标新增内容，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证

明、数学归纳法三个部分“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中

经常使用的思维方式.本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法

与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要

基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用.

本章结合生活实例和学生已学过的数学实例，

教

介绍两种基本的推理一合情推理与演绎推理、两类

材基本的证明一直接证明与间接证明、一种特殊的方

所法一数学归纳法.本章的内容属于数学思维方法的

范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，

处

以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确

教

的这些方法,并能有意识地使用它们，以培养言之有

地理、论证有据的习惯.本章内容是各知识模块中常

用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方

位

法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程

和凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学

作中占有极其重要的地位和作用.

材用

知学会合情推理与演绎推理的内容，会用

教识直接证明与间接证明对所求结论进行

与证明，熟记数学归纳法的一般步骤。

育技

能

过通过具体实例，采用探究与讲练结

教程

合法，让同学得出合情推理与演绎推

分与

学方理，直接证明与间接证明，数学归纳法

法

目的内容。

情本章学习，有利于发展学生思维能力，

标感提高学生数学素养，让学生感受逻辑证

与明在数学及日常生活中的作用，从而架

价起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性

析值思维和科学精神。

观

教合情推理、演绎推理的理解。

教(1)

学

学

重(2)直接证明与间接证明运用。

重

点

点

与

教(1)演绎推理和反证法；

难学

点难(2)对数学归纳法的理解