高考数学高中数学常用公式及常用结论

高考数学总复习高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

x£A=xe,xeCclAu>x仁A.

2.德摩根公式

Cv(An8)=CVAuCVB-CV(AU8)=C^A^B.

3.包含关系

B=AA\JB=B<^>AQ.B<=>C(JBQ,C11A

=4门，8=中OC04U6=R

4.容斥原理

card(AU8)=cardA+cardB-card(AClB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)

-card(APlB)-card(BDC)-card(CD4)+card(AClBDC).

5.集合｛q,出，…,%｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2"-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a丰0);

(2)顶点式/(x)=a(x-h)2+k(a^0);

⑶零点式f（x）=a（x-玉）（x-x2）（aw0）.

7.解连不等式N</（x）<M常有以下转化形式

,,,、M+N,M-N

"(x)———1<^—

11

=-------->-------

f(x)-NM-N

8.方程/（x）=0在（匕，右）上有且只有一个实根,与f（kjf氏）<0不等价,前者是后者的一个必要而不是

充分条件.特别地，方程ax2+bx+c=0（。H0）有且只有一个实根在的，七）内，等价于/（匕）/（七）<0，或

/（&I）=0且&]<--<，或/（%2）=0且<--<七.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/（》）=办2+区+，（。/0）在闭区间值司上的最值只能在》=-二处及区间的两端点处取得，具

2a

体如下：

⑴当a>0时，若.1=-丁w[p,q],则/（x）min=/（一丁）,/（x）1rax｛/（P）J（q）｝；

X=-?史[p，q]，/(X)max=max{/(P)J(4)}，/(初血=min{/(P)，/⑷}・

2a

〃

⑵当a<0时，若x=-『e[p,q],则/(初检=min{/(p)，/⑷},若％=-丁h任[p,q],则

2a2a

/(x)max=max{/(p),/(q)},/U)min=min{/(p),/(^)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/（⑼/（〃）<0,则方程/（x）=0在区间（加,“）内至少有一个实根.

设/(3)=々+px+q,则

/72-4<y>0

（1）方程/（x）=O在区间（〃7,+8）内有根的充要条件为/（，”）=0或♦n；(2)方程/(x)=O在

——>m

[2

/(机)=0/(〃)=0

区间（加,〃）内有根的充要条件为/（加）/（〃）<0或,p2-4q20或，或“

,«/,(«)>0af(m)>0'

p

m<---<n

[2

p2-4q>0

（3）方程/（x）=O在区间（-8,〃）内有根的充要条件为/（机）<0或p

---<m

I2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间（-00,+8）的子区间L（形如陵⑶，（-00,^],卜+8）不同）上含参数的二次不等式

/（x,f）20（f为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）min>0（x仁L）.

（2）在给定区间（-8,+8）的子区间上含参数的二次不等式/（x,f）20（，为参数）恒成立的充要条件是

（皿）.

a>Q

a<0

⑶/(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是<〃20或<

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有（〃-1）个

小于不小于至多有〃个至少有（〃+1）个

对所有X,存在某X,

成立不成立p或q—«p且一\([

对任何X,存在某X,

不成立成立，且4或-1g

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

(1)充分条件：若pnq,则P是<7充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若p=>q,且q=>p,则〃是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设玉•x26［a,/?］』Hx2那么

(七一》2)［/(为)一/(々)］〉00>0。/⑴在［。力］上是增函数；

U1-x2)［/U1)-/(x2)］<0«/在月/口<0o/(x)在［。用上是减函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果((x)>0,则/(x)为增函数；如果尸(x)<0,则/(x)为

减函数.

17.如果函数/(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数

y=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=〃g(x)］是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那

么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，贝ij/(x+a)=/(—x—a)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则

/(x+a)=/(_x+a).

20.对于函数y=/(x)(xw/?),f(x+a)=/g—x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是函数x=g女；两

个函数>=/。+4)与〉=/0—》)的图象关于直线x=对称.

21.若/(x)=—”—x+a),则函数y=/(x)的图象关于点弓,0)对称；若/(x)=，贝U函数

)，=/(x)为周期为2a的周期函数.

22.多项式函数P(x)=anx"++…+4的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数。尸(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数=P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(x)的图象的对称性

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称。f(a+x)=f(a-x)

<=>/(2a-x)=/(x).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线8=审对称=/(a+mx)=f(h-mx)

of(a+b-mx)-f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx-a)与函数y=/(。一"x)的图象关于直线x=-对称.

2m

(3)函数y=/。)和、=/T(X)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移b个单位，得到函数y=/(x-a)+6的图象；若将曲线

/(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线/(工一。广一》)=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=b<=>f''(b)=a.

27.若函数y=/(乙+匕)存在反函数,则其反函数为y=H/T(x)—6],并不是y="T(kx+b),而函数

k

y=[/t(点+b)是y=-[fM-b]的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(x)=ex,f{x+y)=f{x}+/(y),/⑴=c.

(2)指数函数f(x)=ax,f(x+y)=/(x)/(y),/(D=a*0.

⑶对数函数/(x)=logox,/(xy)=/(x)+/(y),/(a)=l(a>0,aW1).

(4)嘉函数f(x)=x",f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

x->0x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或f(x+a)=—^―(/(x)w0),

fix')

^/(x+a)=--^—(/(x)^0),

/(x)

或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,l]),则/(x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1---1—(/(x)丰0),则/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)/(x,+x2)=/与匕像且f⑷=l(/(x,)•/(x2)声1,0"—/l<2a),则f(x)的周期T=4a;

(5)f(x)+f(x-l-a)+f(x+2a)f(x+3a)-l-f(x+4ci)

=f(x)/(x+tz)f(x+2d)/(x+3a)/(x+4z),则于(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=/(%)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幕

巴1

(1)an--f=(tz>0,m,nsN",且〃>1).

nIm

7a

-"1

(2)a"(a>O,m,neN*,且〃>1)•

an

31.根式的性质

(1)(Vaf=a.

(2)当〃为奇数时，而=a；

当〃为偶数时，U"=lal=<

-a,a<0

32.有理指数塞的运算性质

(1)优=a』(a>O,r,seQ).

(2)(优)'=a"(a>O,r,se。).

(3)(ab\-a'br(a>0,b>O,reQ).

注：若a>0,p是一个无理数，则针表示一个确定的实数.上述有理指数黑的运算性质，对于无理数指数

赛都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log〃N=boa"=N(a>0,a",N>0).

34.对数的换底公式

102N

k>g“N=——-—(a〉0,且awl,机>0,且他wl,N>0).

log,”a

Yl

推论loghn=—log,b(a〉0,且a>1,加,〃>0,且加w1,〃w1,N〉0).

"m

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWLM>0,N>0,贝(J

(1)log”(MN)=log”M+k)g“N;

M

⑵!ogfl—=log„M-logfl^;

⑶log“Mn=nlog„M(neR).

36.设函数/(x)=log,,,(ax2+bx+c)仅H0),记A=从一4ac.若/(x)的定义域为R,则。〉0,且△<();

若/(x)的值域为R,则a>0,且△20.对于a=0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若a>0">0,x>0,则函数ydog/bx)

a

⑴当a>b时，在(0」)和(L+8)上y=log”,3x)为增函数.

aa

,(2)当。<b时,在(0,-)和(L+oo)上y=logat(bx)为减函数.

aa

推论:设〃>机>1，/?>0<a>0，且awl，贝II

⑴log,“+/,(〃+P)<log“"

⑵10g(,7M10gflrt<10ga.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为〃，则对于时间x的总产值y,有丫='(1+2)\

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

5.,n-1

c（数列｛a“｝的前n项的和为,=%+。2+…

s“一%」，〃N2

40.等差数列的通项公式

an=ax+(〃一l)d=dn+a1-d(neN*)；

其前n项和公式为

〃(q+a“),n(n-l)

s,=----!------=na.+---------a

n2*12

d2/1

=—M+（兄—d）n.

22

41.等比数列的通项公式

an=%q""=S-q"(nsN*)；

q

其前n项的和公式为

i-q

navq-\

‘幺乜q—l

或s〃=<\-q.

叫,q=1

42.等比差数列{an}:atl+l=qa〃+d,q=伙qwO)的通项公式为

b+(n—l)d,q=1

z>qw]

lq-i

其前n项和公式为

几b十几(n一l)d,(q=1)

$〃=,八d、i-q"上d-

31——)——----小(qWl)

1-qq-\\-q

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款X=元(贷款。元,〃次还清，每期利率为b).

(1+6)"-1

44.常见三角不等式

乃

(1)若xE(0,—),则sinx<x<tanx.

2

（2）若元£（0,工），贝!jl<sinx+cosx4亚.

2

（3）IsinxI+1cosxl>1.

45.同角三角函数的基本关系式

sin2^4-cos20-\ytan。二包且，tan6-cotO=1.

cos9

46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

./兀、(T/sina,(n为偶数)

sin(—+6Z)=<7

[(-IVcosa,s为奇数)

n

(n为偶数)

/R7C(一l)2(:osa,

cos(——+a)-

2H+l

(n为奇数)(-1)2sina,

47.和角与差角公式

sin(a±6)=sinacos[3±cosasin(3;

cos(a±/?)=cosacos£干sinasinB;

/,小tana±tanJ3

tan(cr±J3)=---------.

1+tanatanft

sin(a+0sin(。一夕)=sin2a-sin20(平方正弦公式)；

cos(a+p)cos(a-〃)=cos2a-sin2/7.

asina+bcosa=J^"7P\in(a+0)(辅助角°所在象限由点(〃1)的象限决定，tan^=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2cr-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

2tana

tan2a-

1-tan2a

49.三倍角公式

jrjr

sin3。=3sin夕一4sin3，=4sin^sin(y一0)sin(y+0).

兀兀

cos3。=4cos3。一3COS6=4COS0COS(y-0)COS(y+0)

cc3tantan3八,式八、,兀小

tan3。=-------；-----=tan0tan(---0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

27r

函数y=sin(691+"),x£R及函数y=COS(GX+0),X£R(A,a,0为常数，且AWO,s>0)的周期T=—；

CD

jrIT

函数y=tan(0x+°),+—eZ(A,夕为常数，且AWO,3>0)的周期7=—.

2CD

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c~-2bccosA;

b2-c2+a2-2cacosB;

c2-a2+b2-labcosC.

53.面积定理

(1)S=-ah=-bh=-ch(A>为、区分别表示a、b、c边上的高).

22b2c

(2)S=—tzfesinC=—/?csin?l=—casing.

222

⑶"师际FW.

54.三角形内角和定理

在AABC中，有A+5+C—7iu>C—71—(A+B)

=G=ZL-A±O=2C=27-2(A+8).

222

55.简单的三角方程的通解

sinx=6T<=>x=%万+(—1)，arcsina(攵eZ,la\<l).

cosx=a=x=2Z乃士arccosa(攵GZ,la\<l).

tanx=a=>x=k»+arctanQ(ZGZ.ae/?).

特别地，有

sina=sin/<=>a=攵)+(-1)A(3{keZ).

cosa=cos。=a=2k兀土(3(kGZ).

tana=tan〃na=攵〃+/7(左£Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)<=>xe(2k/i+arcsina,2k乃+万一arcsina).kGZ.

sinx<6/(1<2l<1)<=>xG(2左乃-7t-arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<l)oxe(2左乃-arccosa,2k/r+arccosa),keZ.

cosx<6/(1al<1)<=>xG(2&乃+arccosa,2k兀+2乃一arccostz),keZ.

7t

tanx>a(aG/?)=>xe(kn4-arctana.kzr+-keZ.

2

71

tanx<a(aG/?)=>xe(KK--,k7V+arctana).keZ.

57,实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：入(口a)=(入P)a;

(2)第一分配律：(X+u)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(2a)•b=A(a•b)=Aa•b=a•(2b);

(3)(a+b)•c=a•c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人】、入

使得a二入161+入202.

不共线的向量&、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设好(西，%)，1)=02，%)，且bWO,则ab(bW0)=8%一々%=。.

53.a与b的数量积(或内积)

a•b=|a||b|cos。.

61.a-b的几何意义

数量积a•b等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos0的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=(再，y，，b=。2，%)，则a+b=(玉+%2，/+%)・

⑵设好(斗，%)，1)二氏，、2)，则a-b=($-々，弘一为)・

(3)设A(%，M),Ba2,%)，则A6=。6-。4=(>2-芯，>2一X)・

(4)设a=(x,y),4£R,贝ij4a=(Xx,4y).

⑸设a=(X[,%),b=。2,y2),则a•b=(x/+»%)・

63.两向量的夹角公式

COSe=II2_/2(a=(X],X),b=(々，%))♦

64.平面两点间的距离公式

dAB=\~AB\=

二/每一玉产+5一/if(AO”％),B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=a，M),b=(X2，y2)，且bHO,则

A||bOb=Xaxty2-x2y,=0.

aJ_b(aH0)<=>a,b=0<=>x/,+yty2=0.

66.线段的定比分公式

设《(Xi，》)，P2(x2,y2),P(x,y)是线段的分点，2是实数，且m=2反，则

Xj+AX

x=2

1+20P+AOP

oOP}2

1+2

y=

1+2

oOP=tOP^(\-tSOP1(r=—

1+X

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X],y])、B(x2,y2)>Ch，y?),则△ABC的重心的坐标是

x,+x+x兄+%+%\

G(--2—3，---).

68.点的平移公式

x-x+hx=x-h---:—•—：

<.o<0OP=0P+PP.

y=y+ky=y-k

注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形/上的对应点为P(x,y),且港的坐标为(〃水).

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+h,y+k).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=(〃#)平移后得到图象C',则C的函数解析式为y=f(x-h)+k.

(3)图象C'按向量a=(/z,A)平移后得到图象。，若。的解析式y=/(x),则C•的函数解析式为

y=f(x+h)-k.

(4)曲线C:/(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C‘，则C’的方程为/(x-九y-幻=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A48C所在平面上一点，角A,8,C所对边长分别为a,b,c,则

(1)。为AABC的外心分次2=丽，=无]

(2)。为A4BC的重心=函+砺+历=0.

(3)。为AA8C的垂心o次•丽=砺灰=丽方.

(4)。为AABC的内心次+。历+c1=0.

(5)。为AA8C的44的旁心oa/=b9+c反.

71.常用不等式：

a,beR^a2+b2>lab(当且仅当a=b时取"=”号).

a,bwR*"叱之.(当且仅当a=b时取"=”号).

2

(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5),z|-W+b\<|a|+1&|.

72.极值定理

已知都是正数，则有

(1)若积盯是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2万；

._1,

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积盯有最大值7s2.

推广已知则有(x+y)?=(X-y)2+2孙

(1)若积盯是定值，则当lx-yl最大时,lx+yl最大；

当lx—yl最小时,lx+yl最小.

(2)若和lx+yl是定值，则当lx-yl最大时，1到1最小;

当lx-yl最小时，Ixyl最大.

73.一元二次不等式ax?+bx+c〉0(或<0)(a工0,A=A：-4ac>0),如果a与。/+%无+。同号，则其

解集在两根之外；如果。与a/+加:+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之

间.

玉<x<x2O(X-%1)(x-X2)<0(Xj<x2)；

X<尤]，或X>x2<=>(X-Xj)(j-X2)>0(Xj<尤2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

\x\<aoX2<a2o-a<x<a.

\x\>aox2>a2<=>x>ax<-a.

75.无理不等式

f/(x)>0

⑴"(x)>Jg(x)O.g(x)N0.

f(x)>g(x)

/(x)>0,

―/w>o

(2)Jt——/(x)>g(x)o(g(x)N。或(.

,g(x)<0

"(x)>[g(x)]28

/W>0

⑶"(x)<g(x)=<g(x)>0.

J(x)<[g(x)f

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>l时，

—8⑸o/(x)>g(x);

7(x)>0

log”/(x)>log”g(x)=<g(x)〉0.

/(x)>g(x)

(2)当0<a<l时，

afM>agW<=>/(x)<g(x);

7(x)>o

log“/(x)>log。g(x)o<g(x)>。

J(x)<g(x)

77.斜率公式

k=b~~—（々（X|，x）、P2（x2,y2））.

X2~X\

78.直线的五种方程

（1）点斜式y—v=k（x—%）（直线/过点《（AM）,且斜率为女）.

（2）斜截式y=fcc+b（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式~~工=（必，%）（e（X］，H）、鸟（々，力）（玉。々））.

力一为々一』

（4）截距式e+工=1（4、b分别为直线的横、纵截距，a、b=0）

ab

（5）一■般式Ax+8y+C=0（其中A、B不同时为0）.

79,两条直线的平行和垂直

⑴若4:y=k}x+b\,l2-y=k2x+b2

①乙II4=仁=k"b\。b2；

②4J_，2=k«2=—1•

（2）若4:A/++G=。,4：+8）y+C?=0,且A］、A2、B］、B?都不为零,

①“心一冬=空箱；

AB2C2

②4u0=0；

80.夹角公式

⑴tana=1

1+左2左1

（4：），+々,12：了=卜.+忆用20一1）

(2)tana=1

4A?+

(4:4x+gy+G=O,"：4%+82丁+。2=。，44+B162。0)・

TT

直线4时，直线/1与，2的夹角是].

81.4到4的角公式

(l)tana=—~.

\+k2ky

储：y=A|X+伉，l2\y^k2x+b2,kyk2=一1)

A,BQ-B,

(2)tana------—.

4A，2+B[B?

(4:AjX+8],+G=0,4：+巴丁+G=。，+B[B)w0).

TT

直线4JJ,时，直线/1到，2的角是生.

2

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点4(%,打)的直线系方程为y-X)=Z(x-X。)(除直线X=X。)，其中人是待定

的系数；经过定点1(x0,为)的直线系方程为A(x—%)+6(y-％)=0,其中A,8是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线4：4x+4y+C1=0,/2：4工+82>+。2=0的交点的直线系方程为

(4》+4)，+£)+/1(4工+82丁+。2)=0(除4)，其中入是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线+匕中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

Ar+8y+C=0平行的直线系方程是Ax+8y+/l=0(4*0),人是参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线Ax+8y+C=0(AWO,B#0)垂直的直线系方程是—Ay+4=0,人

是参变量.

83.点到直线的距离

d=坐+“。+5(点p(x°,%)，直线/：Ax+By+C^0).

VA2+B2

84.4》+5)，+。>0或<0所表示的平面区域

设直线/:Ai+6)，+C=0,则Ax+6y+C>0或<0所表示的平面区域是：

若BwO,当B与Ax+By+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与Ax+By+C异号时，表示直线/

的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若6=0,当A与Ax+By+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与4+6)，+。异号时，表示直线/

的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(A/+4y+G)(4x+鸟>+C?)>°或<°所表示的平面区域

设曲线C:(4x+B/+G)(A2X+B2y+G)=0(AtA2B.B2^0),贝U

(A/+Bty+C.XAx+B2y+C2)>0^4<0所表示的平面区域是：

(A}x+Bty+C,)(A2X+B2y+C2)>0所表示的平面区域上下两部分；

(A,x+6/+GXax+B2y+C2)<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcos0

(3)圆的参数方程《

y-b+rsmO

(4)圆的直径式方程“一七)(工一了2)+0-〉])(＞一＞2)=0(圆的直径的端点是4(%,%)、Bl/,%)).

87.圆系方程

(1)过点4莅,以)，8(X2，%)的圆系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+/l[(x-x1)(y1-y2)-(y-y1)(x1-x2)]=0

O(x-X])(x-X2)+(y-M)(y-y2)+4(ax+Ay+c)=0,其中ax+by+c=0是直线AB的方程，X是待定的

系数.

(2)过直线/:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F-0的交点的圆系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,X是待定的系数.

22

(3)过圆C,:V+V+Ax+Eiy+K=。与圆q.x+y+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是

222

x+y+D]X+£,y+K+2(x+/+02尤++工)=0,人是待定的系数.

88.点与圆的位置关系

点尸(为,先)与圆(%-«)2+(y-b)2=产的位置关系有三种

若d=J(a—x())2+(/?一%)2,贝ij

d＞r=点/3在圆夕卜；d=r=点P在圆上；d＜ru＞点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+%+C=0与圆(x—a)?+(y-加2=/2的位置关系有三种:

d>r=相离=△<();

d=r=相切<=>A=0;

d<r=相交。△>().

|/lii+Bb+C|

其中d=

\]A2+B-

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01,02,半径分别为n,r2,\0102\^d

J>r(+r2<=>夕卜离<=>4条公切线；

d-r}+r2o外切o3条公切线；

|r(-r2|<J<r,+r2<=>相交o2条公切线；

d=|八-臼=内切o1条公切线；

0cdeh-rj=内含o无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切点(x°,%)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x+x)[£()'„+y),,

V+yy+nr0

Q22

£(V

当(x°,九)圆外时，x0x++个+')+y~+P=0表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-%=女。-/)，再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不

要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y=H+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆/+)2=r2.

1

①过圆上的4(%,光)点的切线方程为x(}x+y()y=r;

②斜率为A-的圆的切线方程为y=kx+ryjl+k2.

1*2X—ClCOS0

92.椭圆・+彳=1(。>b>0)的参数方程是.八.

ab[y=/?sin夕

?2

93.椭圆x—+v==1(。〉人〉0)焦半径公式

ah

22

\PFA=e(x+—),\PF2\=e(--x).

cc

94.椭圆的的内外部

2222

(1)点P(XO,%)在椭圆——+=1(。>。>0)的内部<=>—T-<1.

ahb

222

(2)点F(x0,y0)在椭圆—7+=1(。>/?>0)的外部<=>—y+j-y>1.

95.椭圆的切线方程

22

(1)椭圆之+4=1(。〉b〉0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是誓+誓=1.

aha

22

(2)过椭圆j+与=1(。>6〉0)外一点P(x0,%)所引两条切线的切点弦方程是

ab~

至+里=]

a2b2

22

(3)椭圆「+3=13＞8＞0)与直线4*+8)：+。=0相切的条件是屋/+82〃=。2.

ab

X1y2

96.双曲线二一七=1(。〉0/〉0)的焦半径公式

ab~

|Pf；|=le(x+—)1,\PF2\=ie(---x)l.

cc

97.双曲线的内外部

2222

(1)点P(x0,y0)在双曲线一^一斗~=1(。＞0,b＞0)的内部=—r--＞1.

abab

2222

(2)点尸(x0,%)在双曲线——二=1(。＞0/＞0)的外部=乌一冬＜1.

ab"ab~

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为0-上=1=＞渐近线方程：3—2=0°y^±-x.

ab~ba

22

(2)若渐近线方程为y=±2x=£±£=0n双曲线可设为二一==九.

aaba

2222

(3)若双曲线与占一2r=1有公共渐近线，可设为1一乌=九(九＞0,焦点在X轴上，九＜0,焦点在

a2b2a2b2

y轴上).

99.双曲线的切线方程

22

(1)双曲线二一与