高中数学：6-3平面向量基本定理（学案）

第05讲平面向量的基本定理

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课程标准课标解读

1.了解平面向量的基本定理及意义.

通过本节课的学习，要求理解与掌握平面向量的基本定

2.能正确地运用平面向量的基本定理表

理，会用同一平面内两个不共线的向量作为基底表示平

示平面内的任意向量.

面内的向量，并且选择更加有利于解决问题的基底表示

3.了解向量的基底与向量的关系，并能

向量.

准确选择向量的基底表示向量.

册”知识精讲

i.平面向量基本定理

如果e”e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量”，有且

只有一对实数九，22，使a=2iei+22e2.其中，不共线的向量ei，e?叫作表示这一平面内

所有向量的一组基底.

（1）基底4,e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；

（2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一；

（3）如果对于一组基底61,62,有。=%|61+2262=〃|6|+〃202,则可以得到.

区=

2.两个向量的夹角

（1）向量夹角的几何表示

依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所

成的角才是两向量的夹角.已知两向量a,6,作。4=a,OB=b,则NAOB为a与6的

夹角.

（2）夹角范围

①向量的夹角是针对非零向量定义的；

②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是［0,可和［0,二］;

2

③当两向量方向相同时，夹角为0，当方向相反时，夹角为兀.

【即学即练1］若上"?｝是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是

()

—

A.e,—e2>e2C|B.一e2,e〕+e2

C.2e,—e(，—2e,+D.2e1+e2,4e1+2e,

【答案】B

【分析】

不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.

【详解】

不共线的向量能作为基底，

因为q-02=-卜2-。)，所以向量备一02，02-乌共线，故排除A；

假设乌一02=”《+02),解得IT,,无解，

IA——1

所以向量q—e；,q+e2不共线，故B正确；

因为202-。=-卜21+弓)，所以2/-q,-2e?+e；共线，故排除C；

因为2q+e?=5(4q+26)，所以Zq+e2,4q+Ze?共线，故排除D,

故选：B

【即学即练2］若e-e?是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是

().

A.q+e,和q—e,B.3句—2e,和4e,—6e1

C.q+3e?和e2+3qD.e•，和q+e,

【答案】B

【分析】

根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线

向量的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】

因为向量a，4是平面内的一组基底，可得向量♦，02为平面内不共线向量，

fl=A

对于A中，设q+e2=〃q—e,),可得〈/此时方程组无解，

所以向量q+02和q-e2不共线，可以作为平面的一组基底；

对于B中，设招一2/=〃姐一66］),可得｛,解得力=-彳，

I—2=4/t2

所以向量3q-2e2和4/-6q为共线向量，不能作为平面的一组基底;

|1=3A

对于C中，设q+3e?=2（e2+3q）,可得(3=4此时方程组无解,

所以向星G+3«2和S+3《不共线，可以作为平面的一组基底;

对于D中，设02=〃4+02）,可得此时方程组无解,

1=A,

所以向量e?和q+e?不共线，可以作为平面的一组基底.

共线：B.

UUL1

【即学即练3］已知矩形ABCD中,对角线交于点O,若BC=5q,Z）C=3e2,则0C=（）

——

A.5（5q+3e,）B.—（5f13^）C.—（3^2）D.万（5乙一3q）

【答案】A

【分析】

由向量共线的性质以及向量的运算法则可得OC=gAC,AC=AB+BC,AB=DC,进而可得

结果.

【详解】

根据题意画出图如下，

因为A8C。是矩形，

所以0C=1AC,AC=A8+BC,AB=£>C,

2

所以0C=g（DC+8C）=：b4+5eJ

故选A.

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算，属于基础题.向量的运算有两种方法，•是几何运算往往结

合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的

对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量

是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利

用坐标运算比较简单).

【即学即练4】在梯形ABC。中，AD//BC,己知AZ)=4,BC=6,若CO=n?BA+〃BC(%，

”CR),则'=()

n

A.-3B.——

3

C.-D.3

3

【答案】A

【解析】

过点A作AE〃CO,交BC于点E,则8E=2,CE=4,所以+〃8c=CD=EA=EB

iIm

+BA=--BC+BA=--BC+BA>所以一=-3

33n

答案：A

【即学即练5】在正方形A8C£>中，点£是。C的中点，点F是8C上靠近B的三等分点.若

£尸=〃*8+，*。，则2桃一3〃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

在正方形ABCD中，点£是。C的中点，点F是BC上靠近B的三.等分点，故

121212

EF=EC+CF=-AB+-CB=-AB一一AD,m=-,n=-一，2加一3”=3，故选C.

232323

【即学即练6】如图所示，四边形ABC£>为梯形，其中AB〃C£>,AB=2CD,M,N分

别为A3,C。的中点，则下列结论正确的是()

B.MC=-AC+-BC

22

C.MN=AD+-ABD.BC=AD--AB

42

【答案】ABD

【分析】

根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.

【详解】

___.1—

AC=AD+DC=AD+-AB.A正确；

2

MC=MA+AC=-BA+AC=-(BC-AC\+AC=-AC+-BC,B正确；

22、,22

MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-AB=AD--AB,C错误；

244

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=AD--AB,D正确.

22

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

【即学即练7】如果用.是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是()

A.+〃e2(Z〃€R),可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面a内任一向量a,使a=/le|+〃e2,的实数对(％M)有无穷多个

C.若向量4弓+〃©与幅+.共线，则有且只有一个实数，，使得

46+〃©=力他6+人)

D.若存在实数4〃使得妈+22=(),则7=〃=0

【答案】AD

【分析】

根据平面向量基本定理可知4、。是正确的，选项8不正确；对于选项C,当两个向量均为6

时，力有无数个，故不正确.

【详解】

由平面向量基本定理可知力、。是正确的.

对于8,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定，

那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；

对于C当两向量的系数均为零，即4=4=4=〃2=0时，

这样的人有无数个，所以不正确.

故选:AD

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应

用，属于基础题.

【即学即练8】下列结论：①若向量a，h，c共面，则存在实数x，y，使a=x〃+yc；②

若向量a，b，c不共面，则不存在实数x，必使。=_^+”；③若向量”，匕，c共面，b，

c不共线，则存在实数X，>，使a=xb+yc；④若a=x£>+yc,则向量a，8,c共面.其中,

正确的个数是.

【答案】3

【分析】

根据共面向量定理的定义即可判断.

【详解】

对于①，若b，c共线，且”，5不共线，

则不存在实数x，），，使。=x6+yc,故①错误；

由共面向量定理可知②、③、④均正确，

故正确的个数是3.

故答案为：3

但能力拓展

考法01

I.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数为，及，使。=7向+2202.其中，不共线的向量e1，e?叫作表示这一平面内所有

向量的一组基底.

（1）基底的理解：

①平面内的任何两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底；

②基底一旦确定，平面内任一向量用该基底表示的形式是唯一的.

（2）平面向量基本定理的作用：

由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作基底，平面内的任一向量都可用

这一组基底表示出来.但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底.

【典例1】己知向量用02不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（）

A.q—e,与%一备

C.-—2e,与2f|+4e,

D.e}-2e22e}-e2

【答案】D

【分析】

根据基底不共线原则判断即可.

【详解】只要两向量不共线便可作为基底，

故对于A选项，ey-e2=-（e2-e^,共线，不满足；

对于B选项，2e「3e2=2（e「|eJ,共线，不满足；

对于C选项，24+40=-2卜弓-24）共线，不满足；

对于D选项，6-羽与20-/不共线，故满足.

故选：D.

【典例2】设知弓是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（）

A.e,-^e,+e2B.e〕-2e2与e2-Ze1

C.C1-2e,与4e,一2e1D.e1+e2与一e2

【答案】C

【分析】

在同一平面内，只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可.

【详解】

对于A选项：设4+e2=/te],名吃是不共线的两个向量，，J1.。,无解,与s+e?不共

线，.・.e；与d+e2可以构成一组基底；

对于B选项：设S-262=彳,-2eJ,e,.e2是不共线的两个向量，二工人，无解，，e「2e2

与e2-2%不共线，厂.d-Ze2与62-2©1可以构成一组基底；

对于C选项：设e「2e2=2（4e；-2ej,.0e；是不共线的两个向量，

-2e2=-^（4e2-2e）j,.\ei-2e2与4e2-2鸟共线，-2e2与4e2-2e1不能构成一组基

底；

对于D选项：设e1+©2=九卜1-e?）,ef是不共线的两个向量，.无解，+e2勺

e,-e2不共线，+e2与e1-e2可以构成一组基底；

故选：C

【即学即练9】如图所示，设0是平行四边形A8CD的两条对角线的交点，给出下列向量

组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（）

A.AD^ABB.DA^BC

,uum,

c.CA与DCD.OD与OB

【答案】AC

【分析】

分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底.

【详解】

UUU1

B中OA与8右共线，D中。。与。月共线，A、C中两向量不共线，

故选：AC.

【即学即练101e“e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）

A.Ae,+jue2（九"GR）可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面a内任一向量a，使a=融1的实数对（九"）有无穷多个

C.若向量九e,+juie2与Ce1+42e；共线,则有且只有一个实数z,使得九q+川e2=犯25+〃2e；）

D.若实数2,〃使得2勺+4%=0,则2=〃=0

【答案】BC

【分析】

根据平面向量基本定理可以判定ABD,取向量4e；与/2e,+^e2均为零向量或者

he,+niez为零向量的特殊情况，可以判定C.

【详解】

由平面向量基本定理可知，A,D是正确的.

对于B,由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量

在此基底下的实数时是唯一的.

对于C,当两个向量均为零向量时，即右=，2=川=〃2=0时,这样的A有无数个,或当21%+3e；

为非零向量，而，2耳+”202为零向量(72=〃2=0),此时4不存在.

故选:BC.

【点睛】本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内

容和意义.判定C时要注意考虑问题要周密.

考法02

2.平面向量基本定理的应用

【典例3】已知q,e?是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有()

①a=5q,。=76；②“.勺-卜，b-3e1-2e2；

③a=q+e?,l>—3e,—3e2.

A.①@B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根据平面向量共线定理得到，对于①^故两向量共线；对于②a=:以故两向量共

线；对于③不存在实数4满足a=肪，故不共线.

【详解】

对于①a=5q,b=let,a=^b,故两向量共线：

对于②&=一!G，b=〃=J力，故两向量共线；

23o

对于③s=6+/,b=3q—3a,

假设存在Aya=Ab=>4+。2=之(3g-3。2)

n(34—1)弓=(3>1+1)/,因为6，G是不共线向量，

故得到32-1=3/1+1无解.

故选：A.

21

【典例4】如图，设P为AABC内一点，且AP=gA3+yAC,则A4放的面积与A4BC的

面积之比等于().

p

【答案】A

【分析】

连接CP并延长交A3于D，由CP=AP-AC，求出CP，由CP,CO共线，可设CO=/ICP，

PD\

然后求出4力，再由ARAB共线可求得2,从而可得局，这也是所求两个三角形的面积

比.

【详解】

24

连接CP并延长交AB于。，则CP=AP-4C=gAB-《AC,

2424

设CO=/LCP=W4A3-w/lAC,则++a—

45

,**AD〃AB，1--A=0,2=—.

54

1PDi

:・DP=—DC,即——=-,

5CD5

SPD1

SMBCCD5

故选A.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，考查向量在平面几何中的应用.本题关键是设CD=4C户，这

PD

样可表示出A。，而ARAB共线，就可求得；I,从而得出五一

【典例5】在平行四边形A8CZ）中，E,F分别是BC,C。的中点，DE交AF于点、H,记A3、

8C分别为。，b,则（用a,b表示）.

24

【答案】-a+-b

55

【解析】如图，E,F分别为BC,CD的中点，

A,H,尸三点共线，.•.存在实数%,使

AH=^AF=^AD+DF^=^C+^AB^=ABC+^AB,VD,H,E三点共线，

存在〃，使£>〃=〃OE=〃（OC+CE）=〃（A3—；BC）,

/.AH=AD+DH=BC+p^AB-^BC^=〃AB+11一搭/。，

4=1-幺

72---24

.••根据平面向量基本定理得：《/,解得〃=—,，AH=—4+—尻故答案为:

A555

.2=；/

B

【名师点睛】利用平面向量基本定理解题的策略：

（1）先选择•组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组

合，再进行向量的运算.

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用

线段中点的向量表达式.

［即学即练11］四边形ABCD^,AB//CD,

NA=90,AB=2A£>=2DC,8c=3EC,AE=2AF,则下列表示正确的是（）

A.CB=--AB+ADB.AF=-AB+-AD

233

C.CF=-AB--ADD.BF^--AB+-AD

6333

【答案】BD

【分析】

利用向量的线性运算将CBAF，CF,8F用基底48和AO表示，与选项比较即可得正确选项.

【详解】

对于选项A：CB=CD+DA+AB=--AB+DA+AB=-AB+DA,故选项A不正确；

22

AF=；AE=g(A8+8E)=gA8+可］=：(|48-|可=gA8+gAO故选项

B正确；

CF=CD+DA+AF=--AB-AD+-AB+-AD=--AB--AD,故选项C不正确，

23363

11?1

BF=AF-AB=-AB+-AD-AB=——AB+-AD,故选项D正确：

3333

故选：BD

【即学即练12】已知正方形ABCD的边长为2,向量a,/7满足A8=2a，AD=2a+b)则

()

A.\h\=2\/2B.aLhC.a?b2D.(4a+Z?)±Z?

【答案】AD

【分析】

把A8，AO作为基底结合正方形性质即可.

【详解】

1UUUULUUUU11LUKIL

由条件可匕=4Z)-A8=BO，所以|=|比)|=2及，A正确；

a=^AB,与8。不垂直，B错误；

rriHIDutn

ab=-ABBD=-2,C错误；

2

rIULULIUUUUU!pl1

4a+b=AB+AD=AC＜根据正方形的性质有AC_L80，所以(4a+/?)_L。，D正确.

故选:AD

【点睛】

选择恰当的基底是解决问题的关键，注意特定图形的性质运用.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，向量4,e2,。的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a=鸡,则几+〃=

（）

A.-1B.3

C.1D.-3

【答案】A

【解析】根据图可知。=-3勺+（62+4）=-24+62,所以

2=—2,〃=10,/1+〃=—2+1=—1,故选A.

【名师点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合

的数学思想方法，属于基础题.根据题图，将。表示成4,02的线性和形式，由此求得力,〃的

值，进而求得丸+〃的值.

2.已知非零向量。4,。8不共线，5.2OP=xOA+yOB,若P4=248（/1eR）,则％V满足的

关系是（）

A.x+y-2=0B.2x+y-l=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

【答案】A

【详解】

由20P=xOA+yOB得OP=OA+]08,由PA=eR）得三点P,A,B共线，所以

-+-=1,即x+y-2=0,选A.

22

12

【点睛】向量共线：a/",bwO=m；l£R,4=劝，BA=AAC^OA=­-OB+——OC.

1+21+A

3.如图，在aABC中，设A3=a，AC=b，AP的中点为Q,BQ的中点R,CR的中点为

P，AP=ma+nh，则加，〃对应的值为（）

c

2411

7-，7-2-4-

Ac.B,

12D.13

6-,7-6-7-

试题分析：由题意可得AP=2QP,QB=2QR,A3=。=AQ+Q8=gAP+2QR,①

AC=\P+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+^\P-QR=^AP-QR=h,②

2404

由①②解方程求得AP=即加，〃对应的值为"，y

【考点】平面向量基本定理

4.如图四边形ABCD为平行四边形，AE=g/lB,。尸=；FC,若AF=/tAC+〃OE,则彳-〃

的值为（）

【答案】D

【分析】

选取为基底将向量AF进行分解，然后与条件对照后得到几-〃的值.

【详解】

选取AB,4。为基底，

则AF=AD+DF=-AB+AD,

3

^AF=AAC+^DE=A（AB++AD）+^\^AB-AD^=^+^AB+（A-^AD,

将以上两式比较系数可得几-〃=1.

故选D.

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选

择基底会给解题带来方便；

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

加减运算或数乘运算；

（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性.

--,.一＞o.一）

5.如图，在△ABC中，AN=§NC,尸是8N上的一点，若AP=〃?4B+§AC,则实数机的值为

（）

A.|B.1C.-D.3

39

【答案】C

【分析】

先根据共线关系用基底后已表示人,，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数机的

值.

【详解】

如下图，三点共线，，而〃丽，二丽.久丽，即万一15=%证-旃,

二/a・45+AN①，又,：AN=QNC,4c.4AN'

1+久1+/3

AP=niAB+-AC=mAB+-AC@^

99

对比①，②，由平面向量基本定理可得:

89

9

【点睛】

本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

6.在AABC中，。为边4c的中点，若=则（）

A.4=2,〃=一1B.2=-1,〃=2

C.2=-2,/z=lD.九=1,〃=2

【答案】C

【分析】

利用平面向量的线性运算，即可用基底表示AB，从而得到结果.

【详解】

因为AB=AC+CB=2DC-BC=2（BC-BD）-BC=-2BD+BC,

所以4=-2,〃=1,

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，考查用基底表示向量，考查推理能力，属于基础题.

7.如图，在△4BC中，D,E,尸分别为线段8C,AD,8E的中点，则AF=（）

B.-AB--AC

88

D.-AB+-AC

88

【答案】D

【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把A尸转化为AfiaiAC，得解.

【详解】

解：VAF=^AB+AE)

=-AB+-x-AD

222

=-AB+-x-(AB+AC]

242、>

=|AB+1AC,故选£>.

88

【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.

8.如图，在正方形ABCD中，尸是边CO上靠近D点的三等分点，连接8E交AC于点E,

BE^mAB+nAC,则加+〃的值是()

【答案】C

【分析】

由题意知，B,E,F三点共线，则=用BC和BA表示出BE,根据E,C,A三点共线，可

得到〃值，整理化简即可得到m和n值，从而可得答案.

【详解】

由题意如，B,E,F三点共线，/是边C。上靠近。点的三等分点，

贝ijBE=〃BF=〃(BC+1可=+：/.iBA,

又E,C,A一点共线则〃+§2〃=§5〃=1,即〃=(3,

贝IJ5E=3C+|BA=|(AC-A8)-|AB=-AB+|AC,

_32

所以m=-l,n=-,Sfcm+n=-y

故选C

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的简单应用，考查三点共线的应用，考查分析推理能力.

9.如图，在四边形A8CO中，AB=3DC,E为边BC的中点，若A£=%48+〃AO,则/+〃=

()

【答案】C

【分析】

根据平面向量线性运算法则将AE用AB,AD表示，再结合平面向量基本定理即可得答案.

【详解】

连接AC,因为E为8c的中点，

所以AE」AB+'AC=■!■A8+,（A。+AC）」NB+LAD+lx1AB=2AB+'AO,

2222222332

又因为AE=AAB+,根据平面向量基本定理可得

217

义=工，〃=彳，于是几+〃=2•

3Zo

故选：C.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算及其平面向量的基本定理，属于基础题.

10.已知等边三角形ABC中，。是线段AC的中点，DE1AB,垂足为£F是线段的

中点，则OE=()

3535

A.——BD+-FCB.-BD--FC

8484

1313

C.-BD--FCD.——BD+-FC

8484

【答案】C

【解析】•.•尸是线段BD的中点，••.CF=L（CO+CB）=LC4+LCB=3BC.

2、'4244

•••£＞是线段AC的中点，（.+8右）.

.―一叫班一叫叫网+叫叫叱

令DE=兀BDtRFC，

则那-枭。=3助+8。）+q。A=4苦）加亭¥）”

.L"幺--=-+^,解得〃=一,，A=-,ADE=-fiD--FC,

"4-242244884

故选c.

【名师点睛】本题考查/平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念

及应用，属于中档题.求解时，先由中线向量定理得到cF=g（a5+cs）,

京5=g（84+BC）,再将CD，CB，说都用基底BABC表示，利用向量相等，求得关

系.

______2

11.已知。为AABC内一点，且有。A+OC=18C,则AO8C和AABC的面积之比为（）

11I2

C

A.6-B.-32-D.3-

【答案】C

【分析】

取AC中点，利用向量中线定理，得到中线与平行，三角形的面积比转化为边长比.

【详解】

设。是AC的中点，则0A+0C=20D，

2.

又因为OA+OC==BC,

3

2

所以20£>=§BC,8c=300，OD//BC-

ADBC℃

所以一S__J_

^AABCAC2

故选：C

【点睛】

本题主要考查向量基本定理，属于基础题.

12.如图所示，在，ABC中，AB=2,BC=3,NABC=60。，4。为8c边上的高，M为AO

的中点，若+则彳+〃的值为（）

【答案】D

【分析】

利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.

【详解】

因为在J8c中，AB=2,BC=3,ZABC=a）°,

AO为BC边上的高，所以在△A3。中，BD=-AB=\,

2

又BC=3,r.BD=-BC,

3

AD=AB+BD=^+-BCt

M为AO的中点，

:.AM=-AD=-AB+-BC,

226

AM=AAB+fjBC,:.A=—,/z=,

,2

故选：D.

题组B能力提升练

T1Tf1T

1.如图，在中，">=148,=BE和CD相交于点尸，则向量第等于（）

]T2T[T3T

A.—AB-\—ACB.-AB+-AC

7777

1-2-]—3T

C.—A8+—ACD.—AB+—AC

14141414

【答案】B

【分析】

过点厂分别作FM〃A8交AC于点M,作RV〃AC交AB于点N,由平行线得出三角形相

->]->—>1->T3T->1T

似,得出线段成比例，结合加行3AE=-AC,证出AM=—AC和AN=—AB,最后

277

由平面向量基本定理和向量的加法法则,即可得几和就表示后.

【详解】

解：过点F分别作FM//AB交AC于点M,作FN//AC交AB于点N,

—>i->->1—>

已知A£»=-A3.AE=-AC,

42

FN//AC,则△MFEAABE和ZXMC尸△ACD,

MFMEMFMC

则:---=-------=----

ABAEADAC

MFMC

MF2ME2ME4MC

即:~AB~AC且那AC，所以MF

ABACAC

3

则:MC=8ME,所以AM=-AC,

7

T3T

解得：AM=-AC

7f

同理根//AB,△A®尸△ABE和△'££)/XACD,

NFNB口NFND

n则l•——=——且——=——,

*AEABACAD

NFNBNFND1_

即：LACA3且AC，A5,所以NF=2-4ND,

24AC~AB~AB

则：NB=8ND,^AB-AN=S（AD-AN）,

所以48-4V=8（；A8-4NJ,即AB-4V=245-84V,

得：AN=-AB,

7

T1T

解得：AN=-AB,

7

四边形AMFN是平行四边形，

•••由向量加法法则，得/=A0+A卷，

T]f3T

所以AF=-AB+-4C.

77

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.

2.（多选题）设“是已知的平面向量，向量。，b,e在同一平面内且两两不共线，其中真

命题是（）

A.给定向量。，总存在向量e,使°=6+（?；

B.给定向量b和C,总存在实数几和〃，使+〃c；

c.给定单位向量6和正数〃，总存在单位向量e和实数几，使。=〃7+MC；

D.若|a|=2,存在单位向量c和正实数4,〃，使。=助+“，则¥+3">6.

【答案】ABD

【分析】

利用平面向量基本定理依次判断，即得解

【详解】

对于选项A,给定向量4和人，只需求得其向量差£4即为所求的向量C,故总存在向量C,

^.a-b+C'故A正确；

对于选项B,当向量各，e和d在同一平面内且两两不共线时，向量万，e可作基底，由平

面向量基本定理可知结论成立，故B正确；

对于选项C,取a=(4,4),〃=23=(1,0)，无论4取何值，向量。都平行于x轴，而向量应

的模恒等于2,要使a=+成立，根据平行四边形法则，向量〃c的纵坐标一定为4,故

找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

对于选项D,,,[a]=(Xb+fic)1=A2+/Z2+2A/ZCOS<Z>,C>=4,又〃，C不共线，

/.A2+/Z2+2A/Z>4,即(Jl+〃)2>4,即/l+〃>2,

「34+3"N2,3"3"=2丁3"+“(当且仅当义=〃时等号成立)，

2折+“>2x3=6，得3'+3">6，故D正确

故选：ABD.

3.(多选题)已知M是一A8C的重心，。为BC的中点，下列等式成立的是()

A.AD=^AB+^ACB.MA+MB+MC=0

C.BM=-BA+-CDD.CM=-CA+-CD

3333

【答案】ABD

【分析】

作出示意图，由点M是《血的重心，。为BC的中点，得到E,F是AC,AB的中点，结合

向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

如图所示，因为点M是二ABC的重心，。为8C的中点，可得E,F是ACA8的中点，

由A£)=AB+8£)=A8+,8C=A8+L(AC-AB)=LA8+!AC,所以A正确；

2222

由。为BC的中点，根据向量的平行四边形法则，可得MB+MC=2MQ，

又由M是ABC的重心，根据重心的性质，可得|M4|=2|M£)|,所以■+2避)=3，

即M4+MB+MC=0，所以B正确；

22I|12

根据三角形重心的性质，可得BM=—BE=—x-(BA+BC)=—(助-2CD)=-BA—CD,

332333

所以C不正确；

221112

由重心的性质，=-CF=-x-(CA+CB)=-(CA+2CD)=-CA+-CD,

332333

所以D正确.故选：ABD.

D

4.（多选题）若点。是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且。P=4OB+/ca，n

GR）,则下列说法正确的有（）

A.若在〃=1且%>0,则点P在线段BC的延长线上

B.若在幺=1且2<0,则点P在线段8c的延长线上

C.若则点P在△08C外

D.若在〃<1,则点尸在△OBC内

【答案】BC

【分析】

根据向量的减法运算，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的

概念即可判断出每一项的正误.

【详解】

因为O尸=XOB+〃OC（Z

若2+〃=1且2>0,则OP=2O8+（1-2）OC=OC+2（OB-OC）,

故OP-OC=2（O8-OC）,即CP=4C8,又力>0,则点P在线段8C或其反向延长线上，A

错误；

若2+"=1且2<0,同上可得CP=/IC8，而2<（），则点。在线段8c的延长线上，B正确；

若2+">1,OP=AOB+（\-A}OC+^+^-\）OC,同上可得CP=/lCB+（；l+〃一l）OC,当

时，A+H-1>0,根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点尸在△O8C外，C正

确；

若2+"<1,不妨令2=0,〃=-1则0尸=_0。，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不

在