考研数三(1989-1998年)历年真题

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)

(1)曲线产x+s/x在点仁,1+曰处的切线方程是.

(2)幕级数£十二的收敛域是____________.

”=0\+1

(3)齐次线性方程组

AXj+x2+x3=0,

5+AX2+X3=0,只有零解,则Z应满足的条件是.

%+%+七=0

(4)设随机变量X的分布函数为

0,x<0,

F(x)=<Asinx,0<x<y,则4=，P«|x|7T

<—

6

⑸设随机变量X的数学期望E(X)=〃，方差D(X)=a2,则由切比雪夫(Chebyshev)不

等式，有「{|X-“23b}W.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内.)

⑴设/(力=2*+3*-2,则当xf0时()

(A)/(X)与X是等价无穷小量(B)/(x)与x是同阶但非等价无穷小量

(0/(x)是比x较高阶的无穷小量(D)/(x)是比x较低阶的无穷小量

(2)在下列等式中，正确的结果是()

(A)/⑴公=/(力(B)j#(x)=/(x)

(C)公=/(x)(D)djf(x')dx=f(x)

(3)设A为”阶方阵且同=0,则()

(A)A中必有两行(列)的元素对应成比例

(B)A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

(0A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

(D)A中至少有一行(列)的元素全为0

(4)设A和8均为“X〃矩阵，则必有()

(A)|A+B|=|A|+|用(B)A8=B4

⑹|明=网(D)(4+61=1+田|

(5)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件无为()

(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”

(0“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

三、计算题(本题满分15分,每小题5分)

(1)求极限lim(sin1+cos，).

xx)

Q2Z

(2)已知z=/(«,v),u=x+y,v=xy,且f(u,v)的二阶偏导数都连续.求----.

oxdy

⑶求微分方程y〃+5y'+6y=2e-x的通解.

四、(本题满分9分)

设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为

X

p=P(x)=10/5,

且最大需求量为6,其中x表示需求量，P表示价格.

(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)

(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)

(3)画出收益函数的图形.(3分)

五、(本题满分9分)

已知函数

x,0<x<1,

/(无)=/

2-x,1<x<2.

试计算下列各题：

2f4

f(2)S1=J,公;(2分)

(1)So=\抵;(4分)

JO

(3)S„=f(2n+2f(x-2n)e-xdx(n=2,3,…)；(1分)(4)S=£s“.(2分)

J2〃〃=0

六、（本题满分6分）

假设函数/（x）在［a,b］上连续,在勿内可导,且f\x）W0,记

1ex

b（x）=——J

x-aJu

证明在（a,份内,F（x）<0.

七、（本题满分5分）

已知X=AX+8,其中A

八、（本题满分6分）

设四=（1,1,1）,%=（L2,3）,%=（1,3,0.

（1）问当f为何值时,向量组四,%,a?线性无关？（3分）

（2）问当f为何值时,向量组a”/，线性相关？（1分）

（3）当向量组%,12，。3线性相关时，将表示为名和的线性组合•（2分）

九、（本题满分5分）

--122-

设4=2-1-2.

2-2-1

（1）试求矩阵A的特征值；（2分）

⑵利用⑴小题的结果,求矩阵E+A-1的特征值,其中E是三阶单位矩阵.（3分）

十、（本题满分7分）

已知随机变量X和丫的联合密度为

e~（x+y）,0<x<+oo,0<y<+oo,

于（x,y）=<

0,其它.

试求：⑴P{X<y}；（5分）（2）E（XY）.（2分）

十一、（本题满分8分）

设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次

观测值大于3的概率.

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)

(1)极限lim(J〃+3〃-.

71->00

(2)设函数/(x)有连续的导函数，/(0)=0J'(0)=b,若函数

f(x)+asinx

，xw0,

F(x)=<x

A,x=0

在x=0处连续，则常数A=.

(3)曲线y=/与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为.

%+工2=~ai，

(4)若线性方程组J/+七一4，有解,则常数q,a,,2,应应满足条件

x3+x4=-a3,

8+王=4

(5)一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为一，则该射手的命

81

中率为________•

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内.)

⑴设函数/(x)=x-tanx-/:则/(幻是()

(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数

(2)设函数/(幻对任意x均满足等式/(I+x)=af(x),且有了'(0)=上其中a/为非零常

数,则()

(A)/(X)在x=l处不可导(B)/(x)在x=l处可导，且/'⑴=a

(0/(X)在x=l处可导，且/'⑴=匕(D)/(处在x=l处可导，且/口)=时

(3)向量组4,a?，…,《线性无关的充分条件是()

(A)均不为零向量

(B)%,%，…,中任意两个向量的分量不成比例

(C)中任意一个向量均不能由其余s-l个向量线性表示

(D)名,%中有一部分向量线性无关

(4)设A,8为两随机事件，且3uA,则下列式子正确的是()

(A)P(A+6)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(0P(却A)=P(3)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

(5)设随机变量X和丫相互独立,其概率分布为

m-11

m-11

P[X=m]J_J_

22P{Y=m\1_1_

22

则下列式子正确的是()

(A)X=Y(B)p{x=y}=o(0p{x=y}=g⑻p{x=y}=i

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)

(1)求函数/(x)=frx-I-n--t---〃在区间［e,e2.］上的最大值.

Je厂一2/+1

(2)计算二重积分JJx”『公内，其中。是曲线y=4/和y=9x2在第一象限所围成的区

D

域.

(3)求级数£色字的收敛域.

^n~

(4)求微分方程y+ycos尤=(Inx)e-sinx的通解.

四、(本题满分9分)

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入

R(万元)与电台广告费用玉(万元)及报纸广告费用々(万元)之间的关系有如下经验公式：

R=15+14玉+32々一8玉龙2一2%：一1。¥.

(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

(2)若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设/(x)在闭区间［0,c］上连续，其导数/'(X)在开区间(0,C)内存在且单调减少；

/(0)=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式：/(a+0)W/(a)+/S),其中常数a、b

满足条件OWa匕Wc.

六、（本题满分8分）

已知线性方程组

西+9+七++工5=凡

3%+2X+x+x-3X=0,

<2345

x2+2X3+2X4+6毛=b,

5%+4X2+3X3+3X4—X5-2,

（1）a、。为何值时,方程组有解？

（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；

（3）方程组有解时，求出方程组的全部解.

七、（本题满分5分）

已知对于〃阶方阵A,存在自然数3使得N=0,试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆

矩阵的表达式（E为n阶单位阵）.

八、（本题满分6分）

设A是〃阶矩阵，4和4是A的两个不同的特征值，%,乂2是分别属于4和;I2的特征

向量.试证明+X?不是A的特征向量.

九、（本题满分4分）

从0,1,2,…,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

A=｛三个数字中不含。和5｝；A?=｛三个数字中不含。或5｝.

十、（本题满分5分）

一电子仪器由两个部件构成，以x和丫分别表示两个部件的寿命（单位:千小时），已知

X和V的联合分布函数为：

0,其他

（1）问x和y是否独立？

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.

十一、（本题满分7分）

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布,平均成绩为72

分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

［附表］

X00.51.01.52.02.53.0

①（X）

0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999

表中中（x）是标准正态分布函数.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)

(1)设2="皿1则必=.

(2)设曲线/(同=丁+5与g(x)=/z?+c都通过点(―1,0),且在点(―1,0)有公共切线,

贝!!〃=,b=,c=.

(3)设=则f")(x)在点x=处取极小值.

(0A、

(4)设A和B为可逆矩阵，X=为分块矩阵，则X-1=

(5)设随机变量X的分布函数为

0,x<—1,

0.4,—1<x<1,

F(x)=P{X<x}=^

0.8,1<x<3,

1,x>3.

则X的概率分布为.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)下列各式中正确的是

(A)lim(B)lim

V—s+

(C)lim(D)lim

(2)设2(〃=1,2,…)则下列级数中肯定收敛的是

⑷2%(B)£(—1)%.©工日(D)Z(-1)%；

(3)设A为〃阶可逆矩阵，/l是A的一个特征根,则A的伴随矩阵A*的特征根之一是()

-1

(A)r'|A|(B)A|A|(0A\A\(D)2|A|"

(4)设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()

(A)A与8不相容(B)A与8相容

(C)P(AB)=P(A)P(6)(D)P(A—6)=P(A)

⑸对于任意两个随机变量x和y,若E（xy）=E（x）z（y）MJ（）

（A）D（xy）=£>（x）z）（y）(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y)

（0x和y独立(D)x和y不独立

三、（本题满分5分）

（e*+e2*+…+

求极限lim，其中〃是给定的自然数.

一叫nJ

四、（本题满分5分）

计算二重积分/="泌力，其中。是由x轴，y轴与曲线=1所围成的区

D

域，。>0,b>0.

五、（本题满分5分）

求微分方程xy朱=x2+V满足条件Rx=2e的特解.

六、（本题满分6分）

假设曲线4：y=l-x2（O<x<l）^x轴和y轴所围区域被曲线乙：y=a/分为面

积相等的两部分,其中“是大于零的常数,试确定。的值.

七、（本题满分8分）

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为Pi和凸；销售量分别为名和

名；需求函数分别为1=24-0.2月和%=1。-0.05必，总成本函数为C=35+40Q+%）.

试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？

八、（本题满分6分）

试证明函数/（%）=（1+-Y在区间（0,+8）内单调增加.

x

九、（本题满分7分）

设有三维列向量

问A取何值时，

（1）夕可由囚以2。3线性表示，且表达式唯一？

（2）夕可由q,a2，火线性表示，且表达式不唯一？

（3）不能由%,见。3线性表示？

十、（本题满分6分）

考虑二次型f=X；+4%2+4x；+2AX,X2-2^X3+4X2X3.问2取何值时，/为正定二

次型.

十一、（本题满分6分）

试证明〃维列向量组囚,线性无关的充分必要条件是

a；%a[a・T

2••囚见

Ta[a•

a2a]2••

D=H0,

a：%

优。2・

其中却表示列向量%的转置，i=l,2,■■；n.

十二、（本题满分5分）

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与

其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到

红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布.

十三、（本题满分6分）

假设随机变量X和y在圆域V+y2<r2上服从联合均匀分布.

（1）求x和y的相关系数°；（2）问x和丫是否独立?

十四、（本题满分5分）

设总体X的概率密度为

Aaxa~'e~^,x>0,

p(x;X)=<

0,x<0,

其中丸>0是未知参数，a>0是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本

,X2,…,X,,,求2的最大似然估计量2.

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1)设商品的需求函数为Q=100-5P,其中分别表示为需求量和价格，如果商品需

求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是.

(2)级数£\^一的收敛域为

(3)交换积分次序yjFf(x,y)dx=.

⑷设A为机阶方阵，5为〃阶方阵，且|A|=a,忸卜仇C=*，则.

⑸将。,。,民瓦/,",5等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的

概率为

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2cx

(1)设尸(x)=^f/⑺力，其中/(1)为连续函数，则limb。)等于()

Ja

X—ax—a

(A)a2(B)a2f(a)

(00(D)不存在

(2)当xfO时，下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？()

(A)x2(B)1-COSX

2

(0Vl-x-l(D)%—tanx

⑶设A为加x〃矩阵,齐次线性方程组Ar=0仅有零解的充分条件是)

(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关

(0A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关

(4)设当事件4与6同时发生时,事件C必发生,则)

(A)P(C)<P(A)+P(B)-1(B)P(C)>P(A)+P(B)-\

(0P©=P(AB)(D)P(C)=P(AU8)

(5)设〃个随机变量X「X2,…，X”独立同分布，D(XJ=/了[£x,,

-它则（）

（A）S是。的无偏估计量（B）S是。的最大似然估计量

（0S是。的相合估计量（即一致估计量）（D）S与X相互独立

三、（本题满分5分）

Incos(x-l)

XH1,

IT

设函数/(x)=1-sin—X问函数/（X）在X=1处是否连续？若不连续，修

1,X=1.

改函数在X=1处的定义使之连续.

四、（本题满分5分）

计算/=[arccote'公

五、（本题满分5分）

x

设2=5皿町）+夕（羽一），求----，其中9（M,U）有二阶偏导数.

ydxdy

六、（本题满分5分）

求连续函数/（x），使它满足fM+2,/⑴力=%2.

七、（本题满分6分）

求证：当x21时，arctanx--arccos2;=—.

2l+x24

八、（本题满分9分）

设曲线方程y=e7（xN0）.

（1）把曲线y=e-*,x轴，y轴和直线x=JC>0）所围成平面图形绕x轴旋转一周，

得一旋转体,求此旋转体体积V（J）;求满足V（a）=-limV（^）的a.

（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求

出该面积.

九、（本题满分7分）

设矩阵A与3相似，其中

*-200「'-100

A=2X2,B=020

31100y

（1）求X和y的值.

（2）求可逆矩阵P,使得pTAP=8.

十、（本题满分6分）

已知三阶矩阵BW0,且8的每一个列向量都是以下方程组的解:

X+2X2-2X3=0,

<2玉_々+4七=0，

3芯+x2-x3=0.

（1）求％的值；⑵证明恸=0.

十一、（本题满分6分）

0、

设A、B分别为机、〃阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否是正定矩阵.

10B）

十二、（本题满分7分）

假设测量的随机误差X〜7V（OJO2）,试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误差

的绝对值大于19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数

字）.

［附表］

21234567•••

e~A

0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001…

十三、（本题满分5分）

一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和

0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望

EX和方差DX.

十四、（本题满分4分）

设二维随机变量（x,y）的概率密度为

e~y,0<x<y,

f(x,y)=<

0,其他，

（i）求随机变量x的密度La）；（2）求概率p{x+y〈i}.

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

3X2+5.2

(1)limsin—

.r-»oo5x+3x

(2)已知y=/J，2]"'(尤)=arctan尢2,则色=

+clxx=()

001

(3)级数£fi岑n3Y-的和为

n=0乙

(4)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为.

(5)设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,则

X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

⑴设f，**0，则/(x)在点x=o处()

0,x=0,

(A)极限不存在(B)极限存在但不连续

(0连续但不可导(D)可导

⑵设“X)为连续函数，且=则广(X)等于()

(A)"(皿司+夕［口(B)+口

(C)-/(inJC)__y/f—(D)/(in

XXkXJ\XJ

(3)n阶方阵A具有〃个不同的特征值是4与对角阵相似的)

(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件

(0必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件

⑷假设事件4和8满足P(B|A)=1,则)

(A)A是必然事件(B)P(B|A)=0.

(0A^B(D)AuB

(5)设随机变量X的密度函数为°(x),且9(一x)=e(x).b(x)是X的分布函数，则对任

意实数。，有()

a

_1-C

(A)F(-a)=1J()(p(x)dx.(B)F(-tz)=-Jo

(0F(-«)=F(a)⑻F(-«)=2F(«)-1

三、(本题满分5分)

设z=/(x,y)是由方程z—y—x+xeRT=O所确定的二元函数，求dz.

四、(本题满分7分)

已知lim=「'4/e-2x公求常数。的值.

XT8Ja

五、(本题满分9分)

设某产品的成本函数为C=aq2+的+c,需求函数为4='(d-p),其中。为成本，q

e

为需求量(即产量)，〃为单价，a,"c,d,e都是正的常数，且d>乩求：

(1)利润最大时的产量及最大利润；

(2)需求对价格的弹性；

(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.

六、(本题满分8分)

假设：(1)函数y=/(x)(0〈x<+8)满足条件/(0)=0和04f(x)<e'-l；

(2)平行于y轴的动直线与曲线y=/(x)和y=e*-1分别相交于点《和P2;

(3)曲线)，=/(%)，直线与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P}P2的长度.

求函数y=/(x)的表达式.

七、(本题满分6分)

假设函数/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导,过点A(0"(0))与8(1J⑴)的直

线与曲线y=/(x)相交于点C(c,/(c)),其中0<c<l.

证明:在(0,1)内至少存在一点J，使/"(4)=0.

八、(本题满分10分)

人为何值时，线性方程组

玉+%2+也=4,

2

〈一玉+kx2+x3=k,

%—々+2光3=~4

有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.

九、(本题满分9分)

设二次型

/=无:+x；+x；+2axi%+2Px2忍+2%1%3

经正交变换X=P丫化成/=$+2$,其中X=(%,々,工产和丫=(X，%，％尸是三维列

向量，户是3阶正交矩阵.试求常数

十、(本题满分8分)

设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为

[3,

—X0<x<2,

f(x)=<8

0,其他.

3

(1)己知事件4=｛乂＞4和3=｛丫＞。｝独立，且P(AUB)=j求常数a.

(2)求1T的数学期望.

X2

十一、(本题满分8分)

假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(f)服从参数为力的泊松分

布.

(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率0.

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

r2X+\X\

(1)[---^dx=

J-22+X2

X

已知八”L则舟(­x)

e"+/=cosx确定y为x的函数，则心■=.

(3)设方程

dx

一0q0L0

004L0

(4)设4=MMMM，其中a；H0,i=1,2,L,n,则A7=_____________

000L凡[

00L0

(5)设随机变量X的概率密度为

[2x,0<x<l,

/w=b,其他，

以y表示对X的三次独立重复观察中事件jXW共出现的次数,则P{Y=2}=

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

----Y*IY*_L_1

(1)曲线y=arctan——-——的渐近线有

(x+l)(x-2)

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

⑵设常数2〉o,而级数£收敛,则级数£(-1)"卜」()

"=in=iyjn2+A

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与4有关

(3)设A是矩阵，。是〃阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵8=AC的秩为(，则

()

(A)r>rt(B)r<r]

(0r=rt(D)r与4的关系由C而定

(4)设0<P(A)<l,0<P(B)<l,P(A|B)+P(乖)=1,则()

(A)事件A和3互不相容(B)事件A和8相互对立

(0事件4和B互不独立(D)事件A和8相互独立

⑸设X1,Xz，L,X”是来自正态总体的简单随机样本，又是样本均值，记

1〃__1〃___

S；X)2,S；」f(X,-X)2,

»-l,=In,=|

1fl1n

s；=—-〃尸，£=一t氏一〃尸,

H-l7i〃汽

则服从自由度为〃-1的f分布的随机变量是)

X—〃

(A)

5

y/n-l

(0公与卫X-〃

(D)t=

X

yJn忑

三、(本题满分6分)

计算二重积分JJ(x+y)力力，其中£)=^(x,^)|X2+y2Wx+y+1}.

D

四、(本题满分5分)

设函数y=y(x)满足条件<求广义积分『yMdx.

五、(本题满分5分)

-1%//、2V2X_4Xd2f

己知/(%,y)=JTarctan--y~arctan—,求——.

xydxdy

六、(本题满分5分)

设函数/(x)可导,且/(0)=0,F(x)=「武力/一/)力，求燃学

七、(本题满分8分)

已知曲线y=“4(a>0)与曲线y=ln«在点(%,％)处有公共切线,求:

(1)常数。及切点(%,为)；

(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V,.

八、(本题满分6分)

假设/(x)在［a,+oo)上连续，/"(x)在(a,长。)内存在且大于零,记

F（X）=---------------（X>Q）,

x-a

证明厂（幻在（a,yO）内单调增加.

九、（本题满分11分）

设线性方程组

"23

%+axx2+4£=%，

x,+a2x2+〃；刍二域，

尤］+a3x2+afx3=a；,

x,+a4x2+a*3=a；.

⑴证明：若q,%，%，出两两不相等，则此线性方程组无解;

⑵设q=%=Z,々=%=-乂女/0），且已知笈，A是该方程组的两个解,其中

写出此方程组的通解.

十、（本题满分8分）

'oor

设A=尤1y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件.

100

十一、（本题满分8分）

假设随机变量X”*2,X3,X4相互独立,且同分布

p{x.=0}=0.6,P{x.=l}=o.4（z=1,2,3,4）,

xx

求行列式乂='2的概率分布.

X3X4

十二、（本题满分8分）

假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（",l）,内径小于10或

大于12的为不合格品，其余为合格品,销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损.已知销

售利润T（单位:元）与销售零件的内径X有如下关系：

-1,X<10,

T=<20,104X412,

-5,X>12.

问平均内径〃取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设/(x)=F，则/(")(尤)=__________.

1+x

⑵设z=xyf(—),/(w)可导，则xz'x+yz；=.

x

⑶设了'(Inx)=1+x,贝ij/(x)=.

‘100、

⑷设A=220,A*是A的伴随矩阵，则(A*)T=.

、345,

(5)设X1,X2,…,X,,是来自正态总体N(〃Q2)的简单随机样本，其中参数〃和〃未知,

记'=2fX,打=f(X,-又产，则假设%：〃=0的，检验使用统计量t=

〃/=1/=1

二、选择题(本题共5