高中数学人教A版2019选择性必修 第一册-教案：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 抛物线的简单几何性质 公开课教学设计课件资料

3.3.2抛物线的简单几何性质（2）

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》,

本节课主要学习抛物线的简单几何性质

《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。本节课是在

是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。

抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方

法.运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利

用好这部分教材进行教学.

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.掌握抛物线的几何性质及其简单1.数学抽象：抛物线的几何性质

应用.2.逻辑推理：运用抛物线的性质平行

B.掌握直线与抛物线的位置关系的3.数学运算：抛物线中的定值与定点问题

判断及相关问题.4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用

C.掌握抛物线中的定值与定点问

题.

重点难点

重点：抛物线的简单几何性质及其应用

难点：直线与抛物线位置关系的判断

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

抛物线四种形式的标准方程及其性质

yJ2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

标准方程

（P>O）（P>O）（P>O）（P>O）

1小

图形i-^—xJ6通过，回顾抛物

H4/

V线的几何性质及直

x10,y£

范围x<0,y©Ry>0,xGRy<0,xGR线与圆锥曲线的位

R

对称轴X轴x轴y轴y轴置关系，帮助学生整

理知识。发展学生数

2222

y=-2pxX=2pyx=-2py学抽象、数学运算、

标准方程y=2px

（P>O）（P>0）（P>O）（p>0）直观想象的核心素

F（”）养。

焦点坐标F（名,0）F（-4­°）F（O，T）

「包y=—与

准线方程22y2y=~2

顶点坐标0（0,0）

离心率e=l

二、直线与抛物线的位置关系

设直线1:y=kx+m,抛物线:y=2px5>>），将直线方程与抛物

222

线方程联立整理成关于x的方程kx^2（km-p）x+m=0.

（1）若kWO,当/为时,直线与抛物线相交,有两个交点；

当/小时,直线与抛物线相切,有一个切点；

当/<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.

⑵若左力,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物

线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共

点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

二、典例解析

例5.过抛物线焦点少的直线交抛物线于48两点，通过点

A和抛物

线顶点的直线交抛物线的准线于点〃求证：直线如平行于

抛物线

的对称轴.

叶

/

通过典例解析，

【分析】设抛物线的标准方程为：7=2加（p>0）.设/（为，综合运用抛物线几

何性质，进一步体会

Ji）,B（Xz，为）.直线力的方程为：y=—^-x—2X—型x，

X1YiV1数形结合的思想方

了

法。发展学生数学运

2

可得为=设直线46的方程为：my=x-E，与抛物线算，数学抽象和数学

为2

建模的核心素养。

的方程联立化为7-2加-万=0,

利用根与系数的关系可得vv=_2.可得为=%.即可证

yly2PD

明.

【解答】证明：设抛物线的标准方程为：〃=2px（p>0）.

设A（Xi,%）,B（莅，灰）.

直线物的方程为：yj^x—9x—至x，令户上，

X1YjYl2

了

2

可得yD—』一•

设直线力8的方程为：m尸x-史，

2

联立,11VX2,化为y2-2pm-B=0,

,y2=2px

A2Ay=

y1y2=-p-2~^~-•••勿=%・

...直线的平行于抛物线的对称轴.

例6.如图，已知定点B(见一矶8。1%轴于点。，M是线

段0B上任意一点，MD1%轴于点D,ME1BC于点E,

0E与MD相交于点P,求P点的轨迹方程。

解：设点P(x,y),M其中0W%Wa,则点E的坐标通过典型例题，提

为(a,m)升学生综合运用能

有题意，直线。B的方程为力，发展学生逻辑推

y—--X①理，直观想象、数学

a

抽象和数学运算的

因为点M小。3上，将点M的坐标代入①,得

核心素

m=--%,②

a

所以点P的横坐标》满足②

直线0E的方程为)/=?%③

因为点P在0E上，所以点P的坐标(%,y)满足③

n2

将②代入③，消去m得，%2=--y(0<x<a),

h

即P点的轨迹方程。

例6中，设点B关于y轴的对称点为A,则方程/=-^y(0<

fl

%<a),

对应的轨迹是常见的抛物拱AOB.抛物拱在现实生活中有许

多原型，如桥拱、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在天空中

划过的轨迹也是抛物拱一部分。

通过典型例题，

帮助学生掌握抛物

线中的定值与定点

问题，提升学生数学

建模，数形结合，及

定点。(1,0),且与直线x=T相切,设动圆圆心£的轨迹为曲

方程思想，发展学生

线C.

逻辑推理，直观想

(1)求曲线。的方程.

象、数学抽象和数学

⑵设过点A1,2)的直线1,1分别与曲线。交于A,8两点，

12

运算的核心素养。

直线/"的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线N8的斜率

12

为定值.

思路分析：(1)由抛物线的定义可知£的轨迹为以。为焦点，

以x=T为准线的抛物线；

(2)设/"的方程,联立方程组消元解出48的坐标，代入斜

12

率公式计算k.

AB

⑴解：丁动圆经过定点0(1,0),且与直线X=T相切，

,"到点。(1,0)的距离等于£到直线x=~\的距离，

."的轨迹是以2?(1,0)为焦点，以直线x=T为准线的抛物

线.

2

.：曲线。的方程为yNx.

⑵证明：设直线1的方程为尸A(x-l)2

1

丁直线1,1的斜率存在,且倾斜角互补，

12

的方程为尸-A(xT)+2.

2

联立得方程组”中“)+2，消元得

U=4x,

行-(22-W4)x+(k2)2小.

设4吊,”)，则出安=年誉.

KK

同理,设BU,⑥，可得1+：”

kz

・，2k2+8-8k-8

•♦El/'否莅卜2一卜.

"

%”-[A(XiT)+2]-[3(莅T)+2]Z(xi+苞)-2A-k-2^k.

%l-%2

.：直线46的斜率为定值T.

定值与定点问题的求解策略

1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化

简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.

2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法：(1)通过方程判

断；(2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线

上；(3)利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定

值,再求出另一个变量为定值；(4)转化为三点共线的斜率相

等或向量平行等.

2

跟踪训练1.已知抛物线的方程是yNx,直线/交抛物线于

A,8两点,设力(x,y),B(x,y).

1122

(1)若弦47的中点为⑶3),求直线1的方程；

⑵若yy=-12,求证:直线/过定点.

12

解：⑴因为抛物线的方程为/NX,则有无秃幺的因为

弦四的中点为⑶3),所以为W莅.

两式相减得比-董NXI~4X2,

所以0=」=|,

xi-x2yi+y23

所以直线1的方程为_7-34(、-3),即W'乩

(2)当1的斜率存在时,设1的方程为y=kx+b,代入抛物线方

程，整理,得ky-4y-fAb=Q,%%丹=T2"=-3A,

k

1的方程为y=kxTk=k〈x®,过定点⑶0）.

当1的斜率不存在时,yy=-12,则x=x=3,1过定点（3,0）.

1212

综上"过定点（3,0）.

三、达标检测

1.若抛物线/=2x上有两点8且N8垂直于x轴，若恒引通过练习巩固本

=2短，则抛物线的焦点到直线四的距离为（）节所学知识，通过学

1111生解决问题，发展学

A'2B'4C'6D，8

生的数学运算、逻辑

【答案】A[线段组?所在的直线的方程为x=l,抛物线的

推理、直观想象、数

焦点坐标为2,ol则焦点到直线48的距离为1—4=[]

学建模的核心素养。

2.若直线x—尸2与抛物线/=4x交于N,8两点，则线段

的中点坐标是_____.

[x-y=2

【答案】（4,2）[由z,得8x+4=0,设力（西，

Ji）>6（北，必），贝U石+莅=8,%+%=Xi+吊一4=4,故线

段4?的中点坐标为（4,2）.]

3.设直线y=2x+6与抛物线/=4x交于/,8两点，已知

弦48的长为火后，求6的值.

[y=2x-\-b,

【答案】由「,消去乃得4f+4（6—l）x+8=

L/=4X,

0.

由4>0,得设力（X，/）,6（x2，%）.

,g

则nX1+&=1-6,x^——.

\x1—x2\=N（X1+怒）2—4豆苗=41—24

/.AB\=11+22XI—泾=/一2b=3邓,「.I—25=9,

即Z?=—4.

4.过抛物线j2=2px的顶点0作两条互相垂直的弦交抛物线

于A、B两点。

(1)求证:A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值

(2)证明：直线AB过定点；

解：设A(X,%),B(质,为),中点P(两,％)

⑴左一区左一&

(1)KOA一，KOB~

X]x2

•:OA±OB

AbAAbB=_l荀用+%必=0

V7i2=2pxi,

22

4=2p吊力~•*~+1172=0

2p2p

,:%wo,必wo

%K=-4P2而豆=4p2

(2)Vy；=2pxi,%2=2p莅(y-y2)(%+%)=2p(荀-莅)

.Ji-y_2

••2—P•.•R.a,-—2P

J1+J2%+%

•••直线AB：j—jj=———(x—Xj)

.2px2px.

••y-1Ji

Ji+%%+y2

._2Pxy2-2px+yy

••y—r1112

%%%+%

•；y：=2px»%%=-4p2

.2px-4p2

••y=+

%%%+%

.2p/

••y=--------(x-2p)

J1+J2

AAB过定点(2p,0).

2

5.如图，已知直线/:片2x"交抛物线yNx于4,8两点,试在

抛物线/如这段曲线上求一点月,使△为6的面积最大,并求

出这个最大面积.

思路分析:先求出弦长〃£/,再求出点尸到直线力方的距离,从

而可表示出△为8的面积,再求最大值即可.

.2（4,4）,8（1,-2）,

（方法1）设尸（芯,④为抛物线力如这段曲线上一点，d为点P

到直线N3的距离，

则有声部=旧醇如4k表/（%-1）对.

.："磋[9一（％-1）2].

从而当Jo-1时，（Xax35Siax]XX3V5=

因此,当点P的坐标为Q,l）时,APAB的面积取得最大值,最

大面积为f.

4

（方法公由沅黑，解得仁:，或O

设点尸的坐标为（4R4力，

丁点尸（4备4b）在抛物线AOB这段曲线上，.：-2〃1里得

2

由题意得点尸（4德4方）到直线AB的距离公隼|匕1