高中数学人教B版2019必修 第二册 数据的直观表示

5.1.3数据的直观表示

教材分析

本节课是统计的第3节课，在学习了抽样方法和数据的数字特征的基础上，进一步学习怎么用

图表想象化的表示数据。统计图表的教学，可以分为三个层次：一是会读图表，能识别出主要

信息；二是能对图表中的信息进行组合，给出问题背景有关的解读；三是能根据场景设计和制

作合适的图表。本小节的统计图表，绝大多数学生以前都接触过，本节课的教学中，主要培养

学生对第二和第三层次的要求，借助真实的情境提出富有启发性的问题，并在分析数据特征的

基础上给出解决问题的方法.

教学目标与核心素养

考占

■J八、、教学目标核心素养

柱形图、折线图、扇形图、掌握柱形图、折线图、扇形直观想象、数据分析、数学

茎叶图及频率分布直方图图、茎叶图及频率分布直方运算

的绘制图的绘制过程

柱形图、折线图、扇形图、掌握柱形图、折线图、扇形直观想象、数据分析、数学

茎叶图及频率分布直方图图、茎叶图及频率分布直方运算

的信息读取和应用图的信息读取和应用

教学重难点

【教学重点】

柱形图、折线图、扇形图、茎叶图及频率分布直方图的绘制、信息读取和应用

【教学难点】

柱形图、折线图、扇形图、茎叶图及频率分布直方图的应用

教学过程

我们知道，从现实生活中得到的数据往往都是没有规律的、凌乱的，如果不加以整理，可能难

以看出数据的特征，也不利于有关信息的挖掘。因此，人们在呈现有关结果时，往往会对数据

进行整理，并用合适的图表形象化表示有关数据.

问题1：柱形图

情境与问题

2015年7月6日的《中国青年报》报道：“根据调查,有担当（76.3%）和踏

实（74.5%）的年轻人最被受访者欣赏.奋进（54.7%）、坚毅（54.1%）、有梦想

（50.2%）、有闯劲儿（40.1%）、沉稳（36.7%）、直率（34.6%）、幽默（33.4%）、

活泼（27.2%）、庄重（20.3%）、洒脱（20.0%）也是受访者欣赏的品质.”

你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗？

我们知道，柱形图（也称为条形图）可以形象地比较各种数据之间的数量关系，因此上述情境

与问题中的结果可以用柱形图表示，如图所示.

知识点1:柱形图（也称为条形图）可以形象地比较各种数据之间的数量关系.

一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或

者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.

例1.如图是华联商厦某个月甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量统计图，则甲、丙两种品牌彩

电该月的销售量之和为台.

【答案】75

【解析】由图可知，甲品牌该月的销售量为45台，丙品牌该月的销售量为30台，所以甲、丙

两种品牌彩电该月的销售量之和为75台.

【变式练习】

如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图•已知利润为收入与

支出的差，即利润=收入一支出，则下列说法正确的是（）

金・/万比

收

「一►月

A.利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元

B.利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元

C.收入最少的月份的利润也最少

D.收入最少的月份的支出也最少

【答案】D

【解析】

在［中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故力错误；

在8中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故8错误；

在。中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C

错误；

在〃中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故〃正确.

故选：D.

问题2：折线图

国家统计局网站显示，2011—2015年高中在校学生数信息如下.

年份2011年2012年2013年2014年2015年

高中在校学生数/万2454.822467.172435.88172400.47232374.3992

你能形象地表示上述数据,以便发现这几年高中在校学生数的变化趋势吗？

可以用折线图来表示上述情境与问题中的数据:

知识点2：一般地，如果数据是随吐回变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来

表示.

例2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至

2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，

下列结论正确的是（）

A月接待游客里（万人）

\II11111111111I1111i1111IiI1III1I1I1

0123456789101112123456789101112123456789101115

2017年2018年2019年

V/

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C.2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】ABD

【解析】

由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：

在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；

在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；

在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30,故C错误；

在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳,

故D正确.

【变式练习】

AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于AQI时称空气质量为“优

良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是（）

八AQI

QLA»t।।।।।।»11।

e钟3舟封四龄心的曲趴\0期日加

A.这12天的AQI的中位数是90

B.12天中超过7天空气质量为“优良”

C.从3月4日到9日，空气质量越来越好

D.这12天的AQI的平均值为100

【答案】C

【解析】

这12天的AQI指数值的中位数是95笑+9丝2=93.5,故A不正确；这12天中，空气质量为“优

良”的有95,85,77,67,72,92共6天，故B不正确；；

从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQ/指数值的平均值为110,故D

不正确.

故选C.

问题3：扇形图

情境与问题

2016年12月17日至21日期间,北京市空气质量呈现重度及以上污染水平.

经北京市政府批准，12月16日20时至21日24时,北京市启动了空气重污染红色

预警，期间实行了机动车“单双号”限行等措施.《中国青年报》社会调查中心联合

问卷网,对2002人进行了调查，得到了以下数据：647人非常支持.891人支持.

348人态度一般,116人不支持.

如果你是《中国青年报》的记者,你会怎样整理和报道这些数据？

为了清楚表示其中的规律以及四种态度的人数之间的比例关系，可以将原有的结果转化为表格,

并计算每一类型数据的百分比，如下表所示.

态度非常支持支持一般不支持

人数647891348116

所占比例32.3%44.5%17.4%5.8%

《中国青年报》的报道原文是：“民调显示，76.8%的受访者支持此次单双号限行，其中32.3%

的受访者非常支持，态度一般和不支持的分别占17.4%和5.8%".

更进一步，我们还可以用扇形图（也称为饼图、饼形图）来形象地表示这一结果.

不支持

非常

支持

32.3%

支持

44.5%

知识点3：扇形图（也称为饼图、饼形图）,可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的

比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.

例3.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图

（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）

什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类

①公益广告

②学校要求

③学校团委会宣传

35.33、

④垃圾分类运输环节得到改善

⑤设置分类明确的垃圾桶

A.回答该问卷的总人数不可能是100个

B.回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多

C.回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少

D.回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个

【答案】D

【解析】

对于选项4若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故

A正确，

对于选项6,由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故6正确，

对于选项C,由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故。正确，

对于选项〃由统计图可知，选择''公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%,故〃错误，

故选〃

【变式练习】

为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维

饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，

关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）

A.他们健身后，体重在区间［904g,100偌）内的人数不变

B.他们健身后，体重在区间［100kg,110例）内的人数减少了4人

C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于［90Ag,lOOAg）

D.他们健身后，原来体重在［110kg,120kg］内的肥胖者体重都至少减轻了10优

【答案】D

【解析】

对A,易得们健身后,体重在区间［90Ag,100例）内的人数占比均为40%,故A正确.

对B,体重在区间［100kg,110例）内的人数减少了50%-30%=20%,即20x20%=4人.

故B正确.

对C,因为健身后［80Ag,90Ag）内的人数占3（）%,［90Ag,lOOAg）内的人数占40%,故中位数位于

［90Ag,lOOAg）.故C正确.

对D,易举出反例若原体重在［110kg,120kg］内的肥胖者重量为110依，减肥后为109必依然满足.

故D错误.

故选：D

问题4：茎叶图

尝试与发现

某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比骞的得分情况如下：

甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；

乙：8,13,13,14,16,23,26,29,33,35,38,39,51.

这两组数据可以用图5-1-10来表示.

甲II乙

97661133589

I944

u。I

图5-1-10

你能说出上述图是怎样构造出来的吗？由图中可以得出甲、乙两名运动员得分

的哪些信息？

知识点4：茎叶图的中间像植物的茎，两边像植物茎上生长的叶子.茎叶.图中，所有的茎都竖

直排列，而叶沿水平方向排列.

解答：（1）由茎叶图可以看出：甲得分地最大值是50,最小值是12,中位数为35；乙得分的

最大值为51,最小值是8,中位数为26；

（2）甲的得分大多数集中在［30,40）,而且小于31分和大于39分的次数相差不多，因此可以

估计出甲的平均数在区间［30,40）,类似的可以估计出乙得分的平均数在［20,30）；

（3）甲得分的数据比较集中，乙得分的数据比较分散，两者的数据个数相等，因此可以看出：

甲得分的方差小于乙得分的方差.

例4.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列

说法簿送的是（）

A.甲得分的平均数比乙大B.甲得分的极差比乙大

C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位数和乙相等

【答案】B

【解析】

79+88+82+82+93+91

对于甲，%=。85.8；

6

72+74+81+89+96+99―

对于乙，----------------------»85.2,

故A正确；

甲的极差为93-79=14,乙的极差为99-72=27,故3错误；

对于甲，方差S；々26.5,

对于乙，方差际。106.5,故C正确；

甲得分的中位数为坦f送=85,乙得分的中位数为名答=85,故。正确.

故选：B.

【变式练习】

高三（2）班在一次数学考试中，对甲、乙两组各12名同学的成绩进行统计分析，两组成绩的茎

叶图如图所示，成绩不少于90分为及格，现从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样

本，则不及格分数应抽个.

甲乙

257789

36886789

2491235

68101

46II0

【答案】3

【解析】

由茎叶图知，甲、乙两组共24名同学中，成绩不及格的有12人

分层抽样的抽取比例为占=：

244

；•不及格的分数应抽取,xl2=3

故正确答案为3

问题5：频数分布直方图与频率分布直方图

〔墨整feiMb-------------------------

以下是某学校全体学生一次政治考试的成绩.

768388897267888590877465867188

908290817876757886797173827690

778183779394847077898384687459

778689788676858369818490857679

808274648984887370849288827386

698468707382848266688275727479

826770817789778976737979728388

697870747476757788928086848571

678065827883886483857991807790

818263877075827491668067609081

768190686888888276919072668285

707082768284838069839061746979

806168886984748262867967799180

778379898976708069717376859087

738666808185886687917181916374

778476868472887580928674727578

9076868886

（1）能否直接用前面提到过的图来表示上述数据？为什么？

（2）怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况（比如指出哪个分数段的

分数比较多，哪个分数段的分数比较少）？

因为我们关心的是数据的大致分布情况，因此可以事先确定出几个区间，然后统计落在每一个

区间内的数的个数，最后将统计的结果用图示表示.

（1）找出最值，计算极差

上述成绩的最小值是59,最大值是94,因此极差为35.

（2）合理分组，确定区间

数据共有245个，可以分为8T2组，这里取8组，并且按照从55分开始，组距为5确定计数

区间，即区间为[55,60）,[60,65）,…,[85,90）,[90,95]

（3）整理数据

逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数（称为区间对应的频数），并求出频数与数据个

数的比值（称为区间对应的频率），如下表所示（频率精确到0.01）

分组区间个数累计频数频率

[55,60)—10.00

[60,65)正F80.03

[65,70)正正正正正250.10

[70,75)正正正正正正正下380.16

[75,80)正正正正正正正正正一460.19

[80,85)正正正正正正正正正正正下580.24

[85,90)正正正正正正正正正1460.19

[90,95]正正正正下230.09

(4)作出有关图示

根据上述整理后的数据，可以作出频数分布直方图与频率分布直方图，分别如图所示。

频率

碓

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01yr*分数

5055606570758085909510050556065707580859095100

知识点5：1.频数分布直方图与频率分布直方图的画法:

(1)找出最值，计算极差；(2)合理分组，确定区间；

⑶整理数据；(4)作出有关图示.

2.频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方

图的纵坐标是关京，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组

数对应的频率,从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为上

知识点6：将每个矩形上面一边的中点用线段连接起来可以得到频数分布折线图和频率分布折

线图.

注：为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际

意义的.

例5.为了了解学生的课业负担，甲、乙两所学校分别抽取了200名在校生，了解他们完成作

业所需的时间，并分别作出频数分布直方图如图所示，其中分组的区间都为

[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3],记甲学校所得数据的中位数为x,乙学校所得数据的中位数

为y,判断x与y的相对大小.

(2)

解:由图(1)可以看出,xe[2,2.5),由图(2)可以看出，ye[1.5,2)

因此：x>y

例6.某射击运动员依次社稷训练的成绩可以整理称如图所示的统计图表，试计算这次成绩的

平均数与方差.

解：设运动员共射击了n次，则由图可知，射中7环与10环的次数为0.2n,射中8环与9环

的次数为0.3n,因此平均数为:

0.2〃x7+0.3〃x8+0.3〃x9+0.2〃xlO

=0.2x7+0.3x8+0.3x9+0.2x10=8.5

n

类似的，可以算出方差为:

0.2x(7-8.5)2+0.3x(8-8.5)2+0.3x(9-8.5)2+0.2x(10-8.5)2=1.05

【变式练习】

1.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下

数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人

被定义为“非微信达人”.已知“非微信达人”与