高考数学解答题常考公式及答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板

题型一：解三角形

I、正弦定理:(R是AABC外接圆的半径)

..a

sinA=——

«=2/?sinA2R

变式①：­/>=2/?sinB变式②：-sinB=—变式③：«:/?:c=sinA:sinfi:sinC

-.厂2R

c=2Rs\nC

._c

sinC=——

2R

a2=b2+c2=2bccosA

222

2、余弦定理:b=a+c-2accosB变式:

c2=a2+b2-2abeosC

SL=C=：4c$inB

3、面积公式:

a=bcosC+ccosB

4、射影定理:h=acosC+ccosA(少用，

c=acosB+bcofiA

三角形的内角和等于180°,即A+8+C=;r6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

奇：一的奇数倍

sin(A+B)=sinCcos(A+6)=-cosC2

利用以上关系和诱导公式可得公式:sin(A+C)=sinB和•cos(4+C)=-cosB

sin(B+C)=sinA[cos(B+C)=-cos4偶：一的偶数倍

②tan。*

7、平方关系和商的关系：①sin^e+cos?”1

COS®

8、二倍角公式：①sin2£?=2sin6cos。

1+cos2。.2n1-COS26

②8s2®=cos2。一sin20=2cos2。-1=1-2sin20n降箱公式：cos20=$in-0=----------

2

③…言脸

8、和、差角公式:

sin(a+夕)=sinacos0+cosasin/?cos(a+/7)=cosacos/?-sinasin0

②

sin(6r-/7)=sincrcos/0-cos^sin0cos(a-J3')=cosacos+sinasin0

tana+tanp

tan(cr+£)=

1-tantztan/?

③

tana-tan/?

tan(a-/9)=

1+tanatan/?

a+h③小小

9、基本不等式：①而(a,bwR+)②ab&(a,bwR+)(a,bwR)

2

第1页共24页

注意：基本不等式•般在求取值范围或最值问题中用到，比如求A/WC面积的最大值时。

；■答题步骤:

①抄条件:先写出题目所给的条件；（但不要抄题目）

②写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理:

③有过程：写出运算过程;

④得结论：写出结论：（不会就猜一个结果）

⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所绘的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。

例］：（2016天津文）在A4BC中，内角4B、C所对应的边分别为a、b、c,已知“sin28=哥sinA.

⑴求B;

(2)若cosA=-,求si”。的值.

解：已知。sin28=V^〃sin八一碘El曲制特T

由正弦定理七二上二三;：？4

—蹲眼翳用他公式

sinAsinBsinC

sin249=2sin<9cos^*2霜船婴网的公寓

=>sin4-2sinBcosB=石sinBsinA

,/sinAwO.sin8w0中T邺8豳爵1

=>2cos8=石=>cosB=

2

Xv0<B</r故B=2.一遇喻愉

6

(2)已知cosA=g,

A+B+C=TT看超趣酣的射牌喇B的盛赛

例2：(2013江西理胜ABC41>角/、8、C所对的边分别为a、b、c,已知cosC+(cos4-石sin/)cos8=0.

(1)求角6的大小：

(2)若。+*1,求b的取值范围.

解：(1)已知cosC4-(cos/i-75sin/)cosR=0******糊SSlRl®翻独快一邂

=>-cos(A+B)+cosAcosB-5/3sin4cos6=0

=>-cosAcos8+sinAsinB+cosAosB-V3sinAcos8=0f盘港胭瞩簿浦骞

=>sin4sinif-73sinAcos6=0

,/sinAw0=>sin6=石cosB=>tan3=8n"=石

cos8

0<8<7rnB=g、******^酬勉能

(2)由余弦定理，得

b1=<72+c2-2zzccosB—鼻曲M的公式

2,c1

=(1~+(•—-一

,2-第曲酬瞰簿侬承

=(a+c)2-3ac

10、不常用的三角函数公式(很少用，可以不记哦”八)

(1)万能公式：

C912。

2tan—l-(an"—2tan-

①sin0=---------②cos®=---------------------飞③tan8=2

1+tan-1+tan一

22

(2)三倍角公式:

①sin3。=3sin6—4sin3，②cos3。=4cos38-3cos6

题型二：数列

1、等差数列2、等比数列

①定义：①定义：皿=q

%

②通项公式：a=q+(〃-l)d=>a=a,+(n-m)d=>d旦二以②通项公式：。“=佝夕1=册=。/1”

nnnn-m

③前〃项和：S”=,M+若Id(大题小题都常考)③前”项和：S"="«-右)(常考)

l-g

S“="(%;%)(小题常考)S'=强二皿(可以不记哦”人)

1一夕

④等差中项：若A6、C成等差数列，则28=A+C④等比中项：若A8,C成等比数列，则铲=40

⑤性质：若m+n=p+4，则am+an=ap+aq⑤性质：若小+〃=p+g,则%=ap-aq

3、%与s,,的关系：«„=r'。'"二：注意：该公式适用于任何数列,常利用它来求数列的通项公式

区-S/J-I，〃之2

4、求数列通项公式的方法

(1)公式法：

①若已知-=〃和4|=4,则用等差数列通项公式4”=4|+(〃-1)</

②若已知&±L=q和为=°,则用等比数列通项公式%="闻"”

%

(2)品与S”的关系：即=[[«'"：；

,n>2

例3：数列｛%｝满足。]+3a2+3?。3+…+3"-%”=g，求%.

解：设S”=4]+3a2+32%■1-----=彳，则

(1)当〃=1时，C"=S]=；

(2)当心2时，3“=5+3。2+32%+・+3"-2册]+3>%“=5①

S"-i”产1+3%3+…+="■!■②

①得

3"%=；=%=:'击(n-2)网7帆了4mI，的的

(3)构造法：形如4/产尸%(P，夕为非零常数)构造等比数列4+1+2=双/+2)

例4：已知数列｛%>满足6.]=2。“+1»且q=l»求明.

解：已知。”+]=2a„+1>且q=1

构造J+2=2(4+A)Mg•镯调圈殿冽

=>an+l+A=2a„+2A=>an+l=2an+2

,•/=】f粉蟠的蝴或子用飒据.柳械瞰/

%+i+1=2(%+1)n""乜?=2

4n+1

令。”=a〃+1=仇=a1+1=2

-=>竺1=2=qn｛bn1

(4)累加法：形如册=%_]+/5)，且/(〃)可用求和，可用累加法

例5：已知数列｛%｝中，q=1"an=an_｝+2n>求an.

解：已知a〃=a„_1+2n

=-=2〃

a2-«|=2x2

a3-a2=2x3

«4=2x4

…=2x5-第喻雌蝌a睦地槐如m

%-1一册-2=2(“_l)

%一册-1=2〃

累加后.得

an-«|=2x(2+3+4+5+…+〃)

=2x(l+2+3+…+〃)-2

n(n+\)了誉蚓+2+3+…+”=

=2x-------22

2

=n2+n-2

(5)累乘法：形如马-=/(〃)，且f5)可用求积，可用累乘法

%-i

例6：已知数列(%)中，q=l,乌-=/-»求明.

%n+1

解：已知&=/_

味〃+]

«2__2«3_3a4_4册7_〃_]%_n

q3’424a35an_2n'%_】n+1

累乘后，得

第4页共24页

（6）取倒数法:形如a”（p,g为非零常数）则两边同时取倒数

P*+4

例7：已知数列｛勺｝满足品=

2a+1

n_!_=2味+1=2+1

解：已知册

册T

11c

=>----------=2

ME程是■渐咧的蚁

令'=-!-,则々

品

bn-bn_x=2=d=>{btJ}为等差数列

5、求数列前〃项和S”的方法

（1）公式法：除了用等差数列和等比数列前〃项和的公式外，还应当记住以下求和公式

〃(〃+1)

①1+2+3+…+”=

2

②1+3+5+…+(2/:-1)=n'@l2+22+32+…+”2」如+1)(2"+1)

6

③2+4+6+…+2〃=〃2+〃@13+23+33+--+/r;〃(〃+1)

（2）裂项相消法:

1I1

①—(Jn+k-->/«)

n(n+1)nn+1k

11,1④(2"-1；2"+1)二与+-备)

②

n(n+k)knn+k

例8：设等差数列｛%｝的前A项和为S“，且S4=4S2，a2„=2a„+\

（1）求数列｛%｝的通项公式:

（2）设勿=—,求数列｛〃｝的前“项和4,

册％+1

/!(?：-1)

S〃=，必+d»an=a}+(/?-!)J

2-MMMf出咖I的番威.0«tt

4x3

S4=4«|+d—4al+6d

=>4«|+6d=4(2。]+d)

2x1

S2=2d,+—^―d=2a{+d

a=6+(2n-l)d=2[q+(〃-1)"]+1②

2n—费甯瘟叁或.鹿耀健

由①式，解得a1=l,d=2

EE先崂曲隽式.再硼值

(2)由(I)知：％=—1—=

4%+i(2〃-1)(2〃+1)22n-l2〃+1

n+A+打+…+如+2

（3）错位相减法：形如“％=等差x等比”的形式可用错位相减法

例9：设数列满足q=2,%川-%=33・

（1）求数列1%］的通项公式：

（2）令bn=n%,求数列g“）的前〃项和丁”.

解：（1）已知=2,%+|-册=3-2”,则卿a幽目解《檎6件

02=3-2

的一。2=3,2?

«4-4=3'2多

金―/_产3-22

%+|-%=3-2"

累加后，得

%+i-9=3(2+2?+2$+…+2")

w2(1-2")~~酣a号因则求和公寓s”=哈2

1-2"q

=-6(l-2n)=6-2fl-6

=册+1=6-2"-4=%=6-2"T—4.—蝌惭呼醒hb翻

n

(2)由(1)知：bn=nan=6n-2"-'-4n=3n-2-4n

7；=%+3+%+•••+,

=(3-l-2'-41)+(3-2-22-4-2)+(3-3-23-4-3)+--+(3n-2n-4n)

=3(1-2'+2-22+3-23+•••+w2w)-4(l+2+3+­••+/j)

记H”=1.21+2.22+3.23+-.+(“-1)2"7+小2"①

234nz,+,

2//n=l-2+2-2+3-2+.--+(/i-l)-2+M-2②—西蝴8盼继圾❸出醐时够比

（4）分组求和法:

例10：已知等差数列｛册）满足/=2,外+"4=8.

（1）若可,的，％成等比数列,求成的值；

（2）设d=4+2"”，求数列也｝的前”项和工.

解：⑴已知，=2,“2+%=8——幽嬲划播翻熟静

由an=«|+（n-l）t/.得%+%=（。1+㈤+（q+3d）=2al+4d=8

=q+2d=4="=1

nan=。1+(/»-l)J=z?+l.-TWiM阿善MIR或，喇Mt

9、基本不等式:

a2+b2

①朝等（,如心(4力€/?+)③刈V(a,bwR)

注意：基本不等式•般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。

h答题步骤：

①抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题H）

②写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前〃项和；

③有过程：写出运算过程：

④得结论：写出结论：（不会就一个结果）

⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能号到的公式。

AoA数列题型比较难的是放缩法

题型三：空间立体几何

I、线线关系

①线线平行：（很简单，基本上不考）

②线线垂直：先证明线面垂直，从而得到线线垂直。（常考）

方法：（D利用面与面垂直的性质，即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直；

（/7）利用线与面垂直的性质，即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例11：如图，在四楂锥P-A88中，底面A8C。是/£>AB=600且边长为a的菱形，侧面PAO是等边三角形,

且平面尸4。垂直于底面ABCQ，求证：ADLPB.

证明：取AD的中点为G,连接PG,BG,如图所示:

APAD是等边:角形nPGJ_AD

2、线面关系

①线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。方法：将直线平移到平面中，得到平面内的一条直线，只需证明它

们互相平行即可。•般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。（最常考，•定要掌握鸭）

②线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鸭）

方法：（力利用面与面垂直的性质；

（/7）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例12：如图所示，在长方体ABCD-AiBiGD】中，AAi=AD=a,AB=2a,E、F分别为CR、AD的中点.

（1）求证：DE平面BCE；

（2）求证：AF平面BDE.

证明：(1)已知AAi=AD=mAB=2mE为CiDi的中点D,E

/.DE=EC=6a=DE2+EC2=CD2

DELEC①

M

又•••BC_L面CDD£=>BC上DE②

BCECulfliBa,且8Cc£C=C

而面3CE=OE_L面BCE

（2）连接EF,连接AC交BD于点M如图所示：

E呜AC,

AM=-AC=>EF//AM=>四边形AMEf为平行四边形

2=

AC学］G

3、面面关系

①面面平行：只需证明第•个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。

②面面垂直：只需证明有一条直线垂直于一个平面，而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。（常考）

例13：如图，在港锥V-ABC中，平面VABJ_平面ABC,△VAB为等边三角形，AC_LBC且AC=BC,O,

M分别为AB,VA的中点.求证：平面MOC_L平面VAB.

h答题模板：

①作辅助：需要作辅助线的一•定要在图中作出辅助线，如取的中点为E：

②布"说明：需要在图上连线时一定要有说明，如连接N8两点如图所示；

③抄条件：写出证明过程，并将条件圈出；

④再说明：说明线与面的关系，如ABu面ABC,而瓦'二面ABC；

⑤得结论：得出结论，证毕：

⑥写多分：第二问不要不写，能写多少写多少，哪怕是抄题目的条件。

文科常考锥体体积公式：％体=；Sh

理科常考二面角的余弦值：cosa=」*其中n和沅为两个平面的法向量

I万I向

点到平面的距离公式（理科）：设平面的法向量为万，A为该平面内任意一点，则点P到平面的距离为：d=丝三

1«1

八。八总之第二问一定要多写，多写多得分

例14：（2018全国卷文）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,且N6AF=/CW=90°.

（1）证明：平面PAB平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90\且四棱锥P-ABCD的体积为§,求该四极锥的侧面积.

证明：(1)\ZBAP=ZCDP=9ffFP零出■目的田味件

\ABLAP

[CD1PD

又•••AB//C&=^AB1PDfe郴礴im出家

AP,PDu面R4D,HADr\PD=D

而面PA。…融峨㈱触幅般羸

=面PA。

又vABu面E46n面48_L面.

(2)过P点作PM工人。，垂足为点M,如图所示:

AB±面尸4O=>AB±PM

•••PM1AD

=>PM工ftiiABCD

设朋="，则AD=&,PM=春。

■■Vp-ARCO=[sh=[ABADPM=[ai

AM'=(-2,1,1),8%=(-2,-1.1)

hW=0|-2x+y+2=0

取

=Q\-2x-y+z=01=(102)

而面CDM'的法向量取为DA=(2,0,0)

h腐_1X2+0X0+2X0_1_75

222222克第和蜘k

网向-7l+0+2-V2+0+0-石一7

=>sina=vl-cos2a=1-

题型四：概率与统计

I、茎叶图

①平均数：5=,($+%+4+…+芍)

n-

②极差=最大值-最小值注：极差越小，数据越集中

2222

③方差：5=-^[(-tj-X)+(X2-X)+-+(Xn-X)]注：方差越小，数据波动越小，越稳定

④标准差：$-工)2+(必-5)2+•••+(/-7尸］

例16：(2018全国川卷理)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用

第种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如

下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(I)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由：

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数加，并将完成生产任务所需时间超过血和不超过川的工人

将愤人不而的削■方.

超过m不超过m

第，章生产方式

第二章生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

解：(】)工作效率的高低看两种生产方式的平均工作时间，分别为:

第一种生产方式：X,=l-x(68+72+76+…+92)=8%min)

20

第二种生产方式弋X2=—x(65+65+66+---+90)=74.7(min)

2、频率分布直方图

①众数：最高小长方形的中间值

②中位数：小长方形面积之和为0.5的值

③频率=概率=组距、鬃=小长方形的面积

组距

④所有小长方形的面积之和等于1

⑤平均数：每个小长方形的中间值x相应小长方形的面积，然后将所得的数相加

例17：(2019全国III卷文)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小就随机

分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的

溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试

验数据分析得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值：

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同•组中的数据用该组区间的中间值为代表).

解：(1)频率分布直方图的小矩形面积表示概率.

由题意，得

a+0.2Q+0.15=0.70n斫。.35

根据“各小矩形的面积之和等于1”，得

0.05+6+0.15+0.35+0.20+0.15=1=>M).1O

期梅平为指的醴孙.俎

3、线性回归方程

壮答题模板:

第12页共24页

（1）设方程：先假设回归方程为卞=八+6:

（2）抄公式：写出公式3=号----------.a=y-bx（不管题目有没有给，都要写出来哦AOA）

力--应2

1=1

（3）求各值：求出①工=■!•（3+均+均+…+/），②》=,（丫1+丫2+巧+…+%）……没时间计算就把式子列出来

nn

③gux=X]M+*2y2+*3,3+…+4+»④gx；=城+岩+君+…+....没时间计算就把式子列出来

M1-1

（4）得瓦：代入公式求出£和。：

（5）写方程：写出回归方程：

（6）写多分：第二问也不难，一般给你X让你估计歹的值，直接带公式0K!八。人

i=；x(l+2+3+4+5+6+7)=3.86

卞=3x(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.30

n

=1x2.9+2x3.3+3x3.6+4x4.4+5x4.8+6x5.2+7x5.9=134.4

I=I

Y/?=1i2+22+32+42+52+62+72=140

/-I

=[)_134.4-7x3.86x4.30_18.2140

=)―_I40-7X3.862--35.7028=0.51，a=y-bi=4.30—0.51x3.86=2.33

故线性回归方程为：y=0.5k+2.33.

田L，b心JUHH1El'kA•出士

第13页共24页

题型五：圆锥曲线

1、椭圆（以焦点在X轴上的为例）

⑥准线：…Q

①定义：PFi+PF=2a

2C

②标准方程：捻+/=1

⑦通径：|Afl|=—

a

③离心率：e=—⑧长轴长；=

a

④固定关系:a2=b2+c2⑨短轴长：忸同=»

⑤焦距：忸闻=勿

例20：（2018北京卷文）已知椭圆M：W+[=l（a>/>>0）的离心率为逅，焦距为2亚，斜率为*的直线/

ah3

与椭圆M有不同的交点A,B.

（1）求椭圆M的方程：

（2）若t=l,求]AB|的最大值：

（3）设PL2O），直线PA与椭圆M的另•个交点为C,直线PR与椭圆M的另•个交点为D,若C,D和

o（-2」）共线，求*.

44

解：（1）已知椭圆的标准方程为£+£=i-T费撇矍卿献耀

e=^=-y*忻尸2卜2c=2拒2Z我触翦臃蜘I

=c=y[2,a=VJ

va2=b2+c2=>b=\la2-c2=1馨翻

故椭圆的方程为[+）2=1.

（2）由题意，设AB所在的直线方程为y=h+b,4（演5）,8（电,打），则小一嵬察鳏S5直勰力解

y=x+b

\2=4/+侬+3户一3=0—整直触岫㈤

—+/=1Ml

、3

b3bc劝2-3

X]+=——=---,X]X>=—=------

~a2~a4

△=庐-4^ic=(6b)2-4-4(3/>2-3)=-12b2+48>0=>0^b2<4

IA6|=Jl+J.J5+、2)2-4X/2=M'J(一日)2-4•3"-4H=J-汐+6晚

因此当且仅当。2=0即）=0时，I叫的值最大，且0鼠”=几.

>!-0_J1

⑶设C（孙乃）*则3

七一(一2)X,+2

.M所在的直线方程为：y-0=k(x+2)=>y=-^-(x+2)

一的融庶牌

再+2TUmI

y=—^—(x+2)

X]+2

=>3(x+2)2/+(z+2)2(/-3)=0…制*凰HS的露I

x2,,

一+v~=1

3

.C(_7X]+12.刀)

4xj+74x,+7

同理可得，当当,产二)

4X2+74X2+/

又•.•<?、C、。在同一直线上，因此

V|2^__J

4A-1+744.V+74

2=>4yl-4Xj-7=4y2-4x-7=>-y=z-x

7所+1277必+127222

4xj+744均+74

⑥渐进线：y=±-7

①定义：\PFi-PF2\=2a

⑦通径：|AB|=—

⑧实轴长：\A^A2\=2a

⑨虚轴长：\B}B2\=2b

⑤焦距：\F]F2\=2C

例21：已知C：£-[=1(。>0/>0)的两个焦点居(-2,0)、5(2.0),点A(3,五)在双曲线上

a-/

(1)求双曲线C的方程：

(2)记O为坐标原点，过点Q(02)的直线/与双曲线C交于不同的两点E,F,若A£O尸的面积为2应，求

直线/的方程.

解：(1)已知双曲线的标准方程为=则EE制邪编E卿9嫡式子

由题意得一2,点g历在双曲线上=摄-察