2023-2024学年山西省朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析）

2023-2024学年山西省朔州市部分学校九年级第一学期第二次月考数学试卷一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（）A．表达式为y＝x2+4x+5 B．图象开口向下 C．图象与x轴有两个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（）A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同 C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（）A．＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．＝28 D．x（x﹣3）＝286．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（）A．30° B．25° C．40° D．50°7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（）A． B．3 C．2 D．38．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2026 B．2024 C．2022 D．20209．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：①abc＞0，②当﹣3＜x＜1时，y＞0，③4a+2b+c＞0，④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．正确的个数是（）x…﹣4﹣﹣1…y…﹣0…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是：．12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为．13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积．14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（16分）解方程（1）（x+2）2﹣25＝0（2）x2+4x﹣5＝0（3）x2﹣5x+6＝0（4）2x2﹣7x+3＝0．17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；（2）在图2中．①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；②请直接写出：点B到AC的距离为．18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．（1）求矩形花坛的宽是多少米；（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当△CMN为等腰直角三角形时，点N的坐标为．

参考答案一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根【分析】先求出Δ，判断x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系，得出两根之积为﹣1，可知两根异号．解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，设x2﹣2x﹣1＝0的两根为α，β，则αβ＝﹣1，∴α与β异号，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（）A．表达式为y＝x2+4x+5 B．图象开口向下 C．图象与x轴有两个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将（0，5）代入解析式求解．解：∵抛物线顶点坐标为（2，1），∴y＝a（x﹣2）2+1，将（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1得5＝4a+1，解得a＝1，∴y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，∴x＜2时，y随x增大而减小，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（）A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同 C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平【分析】列表得出所有等可能结果数，再根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出答案．解：由题意，列表如下：石剪布石（石，石）（石，剪）（石，布）剪（剪，石）（剪，剪）（剪，布）布（布，石）（布，剪）（布，布）由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的有3种结果，乙获胜的有3种结果，所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（）A．＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．＝28 D．x（x﹣3）＝28【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，＝28．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（）A．30° B．25° C．40° D．50°【分析】利用切线的性质证明∠AOC＝60°，再证明∠B＝∠OAB＝30°即可．解：如图，连接OA．∵AC是切线，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝60°，∴∠B＝∠OAB＝30°．故选：A．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的性质．7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（）A． B．3 C．2 D．3【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，根据垂径定理可计算出AE、CE，根据勾股定理可表示出OA、OC，进而计算出CD．解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝6，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝3，∴CE＝3﹣2＝1，设OE＝x，在Rt△OAE中，OA2＝x2+9，在Rt△OCE中，OC2＝x2+1，∵CD⊥OC，∴CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，∴CD＝（舍负）．故选C．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理，解题关键是熟知垂径定理．8．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2026 B．2024 C．2022 D．2020【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝3，a+b＝﹣1，将其代入即可求出结论．解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，∴b＝﹣a﹣1，∴a2﹣b+2022＝a2﹣（﹣a﹣1）+2022＝a2+a+1+2022＝3+1+2022＝2026．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2＜x≤4时，y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：①abc＞0，②当﹣3＜x＜1时，y＞0，③4a+2b+c＞0，④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．正确的个数是（）x…﹣4﹣﹣1…y…﹣0…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】观察图表可知，开口向下，a＜0，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣与x＝﹣时，y值相等，得出对称轴为直线x＝﹣1，即可得出b＜0，在根据图象经过点（1，0），得出c＞0由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x＝2，y＜0即可判断③；根据抛物线的对称性求得点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），即可判断④．解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，∴a＜0，开口向下，∵对称轴为直线x＝＝﹣1，∴b＜0，∵图象经过点（1，0），∴c＞0，∴abc＞0，故说法正确；②∵对称轴为直线x＝﹣1，∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∵a＜0，开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；③当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故说法错误；④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线x＝﹣1是解题的关键．二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是：．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．解：设方程x2﹣mx+n＝0的两根为﹣1和3，∴﹣1+3＝m，﹣1×3＝n，∴m＝2，n＝﹣3，∴该方程为x2﹣2x﹣3＝0，故答案为：x2﹣2x﹣3＝0．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为．【分析】根据抛物线y＝x2的性质，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，P即为所求．解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，则P就是使△PAB的周长最小时．∵B、B′关于y轴对称，∴PB＝PB′，∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，∴此时△PAB的周长最小，∵B（3，9），∴B′（﹣3，9），∵A（1，1），设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，∴P点的坐标为（0，3）．∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键．13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积．【分析】根据条件证得△OBE≌△CDE，由此可知．解：连接OC，交BD于点E，如图所示，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠OBD＝30°，∴∠OEB＝∠CED＝90°，∴BE＝DE，在△OBE和△CDE中，，∴△OBE≌△CDE（ASA），∴，故答案为：6π．【点评】本题主要考查圆中的综合应用，重点是利用三角形全等进行阴影面积的转化．14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页，∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为＝．故答案为．【点评】本题主要考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是．【分析】连接BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，推出CB＝BP+CP＝AP+CP，AC+AP+CP＝AC+BC，根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，根据解析式求得A、B、C的坐标，即可求得AC和BC，求出AC、BC的长即可求得△APC的周长最小值．解：如图，连接BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，∴CB＝BP+CP＝AP+CP，∴AC+AP+CP＝AC+BC，根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，抛物线y＝﹣x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝﹣2；令x＝0，解得y＝3，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，在Rt△AOC中，有AC＝＝＝，在Rt△BOC中，有BC＝＝＝5，∴△APC的周长的最小值为：+5，故答案为+5．【点评】本题考查二次函数综合题、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物与x轴的交点，勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用对称解决最短问题，属于中考题．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（16分）解方程（1）（x+2）2﹣25＝0（2）x2+4x﹣5＝0（3）x2﹣5x+6＝0（4）2x2﹣7x+3＝0．【分析】（1）先变形得到（x+2）2＝25，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．解：（1）（x+2）2＝25，x+2＝±5，所以x1＝﹣7，x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，2x﹣1＝0或x﹣3＝0，所以x1＝，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开方法解一元二次方程．17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；（2）在图2中．①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；②请直接写出：点B到AC的距离为．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）①利用数形结合的思想解决问题即可．②利用三角形面积公式求解即可．解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，解得h＝2，解法二：求出AC′边上的高即可．由图象可知，AC′边上的高为2，故AC边上的高为2．故答案为：2．【点评】本题考查﹣旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结论；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种，再由概率公式求解即可．解：（1）李老师获得的积分是2分的概率最大，为＝；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种，∴李老师前两局积分之和恰好是4分的概率为．【点评】本题考查了用树状图法求概率、概率公式等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．（1）求矩形花坛的宽是多少米；（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．【分析】（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，根据阴影铺设地砖的面积是1125平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工（400﹣y）平方米，根据所需工程款＝甲工程队所需工程款+乙工程队所需工程款，结合完成此工程的工程款不超过42000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，整理得：x2+15x﹣100＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．答：矩形花坛的宽是5米．（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，解得：y≥300．答：至少要安排甲队施工300平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，由此即可得出开口方向，对称轴以及顶点C的坐标，进一步根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）令y＝0，利用因式分解法可求出二次函数图象与x轴的交点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线开口系数，对称轴为直线x＝2，顶点C的坐标为（2，﹣1），∴当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（或点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0））．∴AB＝3﹣1＝2，∴S△ABC＝×2×|﹣1|＝1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的三种性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点A、B的坐标．21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；（2）连接BC，OB，OC，OA，BC与OA相交于点D，∵△ABC是等腰三角形，腰AB＝10cm，∴AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∴BD＝，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，∴∠BAD＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝5，∠BOA＝60°，∴∠BAC＝2∠BOA＝120°，∴弧BC的长为．答：弧BC的长为．【点评】本题主要考查圆心的确定以及求弧长，解题的关键是利用垂径定理以及三角函数确定圆心角的度数．22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．【分析】（1）利用圆周角定理得到∠DEA＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CED＝∠CAD，最后利用等式的性质即可得到∠CEA＝∠CAB；（2）通过∠C＝90°说明∠CFA+∠FAC＝90°，再根据同角的余角相等得到∠CAB＝∠CFA即可．解：（1）如图②，∵AD是⊙O直径，∴∠DEA＝90°．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°．∴∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，即∠CEA＝∠CAB，∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；（2）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC，∵AF是直径，∴∠ACF＝90°，∴∠CFA+∠FA