湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步含答案

第2章平面解析几何初步(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“a=1”是“直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知直线l的倾斜角为3π4,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数aA.0 B.1C.6 D.0或63.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是()A.(-2,+∞) B.-2,-C.-2,124.已知圆C1:(x-2)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆C2:(x+1)2+(y-2)2=4,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数r等于()A.7 B.3C.3或7 D.55.已知点A(-1,1),B(3,5),若点A,B到直线l的距离都为2,则直线l的方程不可能为()A.x-y+2-22=0 B.x-y+2+22=0C.y=3 D.x-y-1=06.过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1作两条切线,切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为()A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=07.直线kx-y+3-3k=0与曲线y=2+-x2+2x+3有两个不同的交点A.14,+∞ C.-34,148.设点M(3,3)在圆O:x2+y2=r2(r>0)外,若圆O上存在点N,使得∠OMN=π4,则实数r的取值范围是A.[3,22] B.[22,23)C.[6,22) D.[6,23)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()A.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y-yB.点(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为(2,2)C.直线2x-y+4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是4D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=010.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列结论正确的是()A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上B.存在圆Ck,经过点(3,0)C.存在定直线始终与圆Ck相切D.若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,则k∈211.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列判断正确的是()A.若圆C1与圆C2无公共点,则0<r<4B.当r=5时,两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0C.当r=2时,P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则|PQ|的取值范围为[2,8]D.当0<r<4时,过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线,则切线长相等12.设m∈R,过定点A的动直线l1:x+my=0和过定点B的动直线l2:mx-y-m+3=0交于点P,圆C:(x-2)2+(y-4)2=3,则下列说法正确的有()A.直线l2过定点(1,3)B.直线l2与圆C相交的最短弦长为2C.动点P的曲线与圆C相交D.|PA|+|PB|的最大值为5三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l:3x-4y+m=0与圆C交于A,B两点,且∠ACB=120°,则实数m的值为.

14.已知直线l1:xa+yb=1经过点P(1,2),且与直线l2:2x+y+m=0平行,则a+b=;若这两条平行线之间的距离为5,且l2不经过第一象限,则m=15.点B在y轴上运动,点C在直线l:x-y-2=0上运动,若A(2,3),则△ABC的周长的最小值为.

16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-2)2+(y-1)2=5,线段AB是圆C2:(x+4)2+(y+2)2=4的一条动弦,且|AB|=22,线段AB的中点为Q,则直线OQ被圆C1截得的弦长的取值范围是.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在以下这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.①圆经过点C(3,4);②圆心在直线x+y-2=0上;③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数.已知圆M经过点A(-1,2),B(6,3),且.

(1)求圆M的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(12分)等腰直角△ABC的直角为∠C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB的中点D的坐标.19.(12分)已知△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2).(1)求点A和点B的坐标;(2)过点C作直线l,分别与x轴、y轴的正半轴交于点M,N,求△MON(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线l:x+y-1=0上,圆M:(x-3)2+(y-4)2=8.(1)求圆N的标准方程,并判断圆M与圆N的位置关系;(2)直线MN上是否存在点B,使得过点B分别作圆M与圆N的切线,切点分别为T,S(不重合),满足|BS|=2|BT|?若存在,求出点B的坐标,若不存在,请说明理由.21.(12分)如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长;(2)当|OM|为多少时,圆形保护区的面积最大?22.(12分)已知点P1(-5+1,0),P2(5+1,0),P3(1,1)均在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案与解析1.A由直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直,可得a(a+3)+(-1)×4=0,即a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4,∴“a=1”是“直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直”的充分不必要条件.故选A.2.C由题意得直线l的斜率为tan3π4=-1,直线l1的斜率为-1-2a-3,因为直线l与l1平行,所以-1-2a3.C由题意得1+1+1-1+k>0,1+1-4k>0,解得4.C由题意知圆C1与圆C2内切或外切,因为|C1C2|=(-3)所以r-2=5或r+2=5,所以r=7或r=3,故选C.5.D由题意得直线AB的斜率为5-13-(-1)=1.当直线l与直线AB平行时,设直线l的方程为x-y+m=0,点A到直线l的距离为|m-2|2=2,解得m=2±22,直线l的方程为x-y+2-22=0或x-y+2+22=0.当直线l过AB的中点(1,3)时,若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-1),整理得kx-y+3-k=0,点A到直线l的距离为|2-2k|k2+1=2,解得k=0,直线l的方程为y=3;若直线l的斜率不存在6.B因为PC垂直平分AB,所以弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=1的公共弦,而以PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y-322=134.根据两圆的公共弦的求法,可得弦AB所在直线的方程为(x-1)2+y-3227.C由kx-y+3-3k=0得k(x-3)-y+3=0,则直线过定点C(3,3),由y=2+-x2+2x+3得(x-1)2+(y-2)2=4(y≥2).如图所示,当直线与半圆相切时,圆心(1,2)到直线的距离d=|当直线过点A(-1,2)时,-k-2+3-3k=0,解得k=14由于直线与曲线有两个不同的交点,故-34<k≤14,8.D如图所示,由题意得,当∠OMN的最大值大于或者等于π4时,一定存在点N,使得∠OMN=π4,当MN与圆相切时,∠OMN取得最大值,此时,sin∠OMN=|ON||OM|=|ON|23≥22,解得r=|ON|≥6,又M(3,3)在圆外9.BC当x1=x2或y1=y2时,方程不成立,故A错误;点(1,3)和点(2,2)连线的斜率k=3-21-2=-1,与直线x-y+1=0垂直,并且两点到直线x-y+1=0的距离均为22,所以点(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为(2,2),故B正确;直线2x-y+4=0与两坐标轴的交点坐标分别是(-2,0)和(0,4),所以直线2x-y+4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×2×4=4,故C正确;当直线过原点时,设其方程为y=kx,代入(1,1),得k=1,所以直线方程是y=x,当直线不过原点时,设其方程为xa+ya=1,代入(1,1),得1a+1a=1,解得a=2,此时直线方程是x2+y210.AC圆心Ck(k,k)的轨迹为直线y=x,即无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上,A正确;圆Ck中,当x=3,y=0时,(3-k)2+k2=4⇔2k2-6k+5=0,因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0,所以关于k的方程无实数根,B错误;选取直线l:x-y±22=0,圆心Ck(k,k)到直线l的距离d=|k-k±22|12+(-1)2=2,即直线l与圆Ck相切,C正确;到原点距离为1的点的轨迹是单位圆O:x2+y2=1,当圆O与圆Ck相交时满足条件,此时|OCk|=2|k|∈(1,3),得k11.BCD圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0)的圆心为C2(3,-4),半径为r,则|C1C2|=(0-3)2+(0+4)2=5.若圆C1与圆C2无公共点,则只需|C1C2|<|r-1|或|C1C2|>r+1,解得r>6或0<r<4,故A错;若r=5,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=25,由x2+y2=1与(x-3)2+(y+4)2=25两式作差,可得两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;若r=2,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,此时|C1C2|=5>2+1=3,所以圆C1与圆C2外离,又P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,所以|C1C2|-(1+2)≤|PQ|≤|C1C2|+1+2,即2≤|PQ|≤8,故C正确;当0<r<4时,两圆外离,记直线6x-8y+r2-26=0上任意一点为M(x0,y0),则6x0-8y0+r2-26=0,所以|MC1|=x02+y02,|MC2|=(x0-3)2+(y0+4)2=x02+y02-612.ABC由题意得直线l1过定点A(0,0),直线l2过定点B(1,3),所以A正确;由圆的方程可得圆心C(2,4),半径r=3,所以圆心C到直线l2的距离d=|2m-4-m+3|1+m2=|m-1|1+m2,所以弦长为2r2-d2=22+2mm2+1=22+2m+1m∈[2,22)∪(22,23],即弦长的最小值为2,故B正确;因为两条直线始终互相垂直,P是两条直线的交点,所以PA⊥PB,可得P的轨迹为圆,设为圆Q,则圆心为Q12,32,半径r'=|AB|2=102,因为|CQ|=2-122+4-322=342∈(r-r',r+r'),两圆相交,所以C13.答案3或-7解析圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径R=2,由∠ACB=120°,知C到AB的距离d=Rcos60°=1,所以|6-4+m|32+14.答案6;1解析∵l1过点P(1,2),∴1a+2b=1①,∵l2的斜率为-2,且与l1平行,∴-ba=-2②,由①②可得a=2,b=4,∴a+b=6,∴l1:x2+y4=1,即2x+y-4=0,∴m+45=5,解得m=1或m=-9.当m=-9时,l15.答案58解析设A关于y轴的对称点为M,A关于l:x-y-2=0的对称点为D,∴|MB|=|BA|,|AC|=|CD|,连接MD交直线l于点C,交y轴于点B,则△ABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|,∴当M,B,C,D四点共线时,△ABC的周长最小.易知M(-2,3).设点D(x,y),则y-3x-2×1=-1,x+22-y+316.答案[32,25]解析由题意得圆C1的圆心为C1(2,1),半径r1=5,圆C2的圆心为C2(-4,-2),半径r2=2.由弦长|AB|=22可得,圆心C2到直线AB的距离d=r22-|AB|22=4-2=2,即|C2Q|=2,所以点Q的轨迹方程为(x+4)2+(y+2)2=2.设直线OQ与圆Q相切的直线为y=kx,则|-4k+2|1+k2=2,解得k=1或k=17,当直线为y=x时,圆心C1到直线的距离d1=|2-1|12+12=22,弦长为2r12-d12=25-12=32;当直线为y=17x,17.解析(1)选条件①.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得5-D+2E解得D所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)选条件②.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得5-D+2E解得D所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)选条件③.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得5-D因为圆截y轴所得弦长为8,所以方程y2+Ey+F=0有两个不等的实数根y1,y2,且|y1-y2|=(y1+即E2-4F=64,(ii)(3分)由(i)(ii)可得D=-6,E=2,F=-15或D=-20649,E=-747,F=又因为圆心M的坐标为整数,所以D=-6,E=2,F=-15,故圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)(2)由(1)知圆心M的坐标为(3,-1),弦的中点为N(2,1),弦的斜率k=-1kMN=-2-31-(-1)=1所以弦所在的直线方程为y-1=12(x-2),即y=12x.(1018.解析(1)顶点C到斜边AB所在的直线的距离d=|0+2×(-1)-8|12+22=10所以|AB|=2d=45,(4分)故△ABC的面积S=12×|AB|×d=12×45×25=20.(6(2)由题意知,CD⊥AB,又因为kAB=-12,所以kCD=2,(7分所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0,(9分)由x+2y-8=0,2x所以点D的坐标为(2,3).(12分)19.解析(1)易知点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上,且在∠A的平分线所在的直线y=0上,解方程组x-2y+1=0,y=0,得因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2,因为点C的坐标为(1,2),所以直线BC的方程为2x+y-4=0.(4分)因为kAC=1,所以kAB=-kAC=-1,所以直线AB的方程为x+y+1=0,解方程组x+y+1=0,2x+(2)依题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0),则Mk-2k,0所以S△MON=12·k-2=12·4-k-4k当且仅当-k=-4k,即k=-2时取等号,所以(S△MON)min=4,此时直线l的方程是2x+y-4=0.(12分20.解析(1)由题意知,圆心N也在直线x=0上,联立x+y∴N(0,1),易知圆N的半径rN=2,∴圆N的标准方程为x2+(y-1)2=2.(3分)∵M(3,4),且|MN|=(3-0)2+(4-1rM+rN=22+2=32=|MN|,∴圆M与圆N外切.(6分)(2)存在.∵N(0,1),M(3,4),∴直线MN的方程为x-y+1=0,设B(a,a+1),由|BS|=2|BT|可知,|BS|2=4|BT|2,即|BN|2-2=4(|BM|2-8),所以|BN|2=4|BM|2-30,即a2+(a+1-1)2=4[(a-3)2+(a+1-4)2]-30,(9分)整理得a2-8a+7=0,解得a=1或a=7,∴B(1,2)或B(7,8),当B的坐标为(1,2)时,点B为圆N与圆M的公切点,此时T,S,B重合,不符合题意.∴存在点B(7,8),满足|BS|=2|BT|.(12分)21.解析(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.由条件知,A(0,60),C(170,0),kBC=-tan∠BCO=-43又因为AB⊥BC,所以kAB=34.(2分设点B的坐标为(a,b),则kBC=b-0a-170=-43,kAB=b-60解得a=80,b=120.所以|BC|=(170-80)因此新桥BC的长为150m.(