湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-5-2圆的一般方程练习含答案

2.5.2圆的一般方程基础过关练题组一对圆的一般方程的理解1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外,则实数a的取值范围为()A.a<3B.a<-3C.54<a<3D.-53.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为.

4.已知AB为圆C:x2+y2-2x+2y-3=0的直径,点A的坐标为(0,1),则点B的坐标为.

题组二圆的一般方程的求解5.(2022湖南岳阳月考)过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的一般方程为.

6.(2022广东肇庆期末)在平面直角坐标系中,经过三点(0,1),(0,2),(1,3)的圆的方程为.

7.(2022湖南株洲月考)圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是.

8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为2,则圆的一般方程为.

题组三动点的轨迹问题9.已知点M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A.x2+y2=4B.x2-y2=4C.x2+y2=4(x≠±2)D.x2-y2=4(x≠±2)10.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A.x2+y2+6x+5=0B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=011.(2022湖南武冈二中月考)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,求点P的轨迹方程.12.(2022湖南衡阳月考)已知△ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.能力提升练题组一圆的一般方程的求解与应用1.(2021浙江丽水五校共同体阶段性考试)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为()A.5B.6C.5-1D.5+12.(2022湖南明德中学月考)已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为()A.7B.8C.9D.103.(2020江苏南京田家炳高级中学月考)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?题组二动点的轨迹问题4.已知点M(-3,4),若动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹是()A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点-955.(2021重庆八中月考)若平面内两定点A,B之间的距离为2,动点P满足|PB|=2|PA|,则tan∠ABP的最大值为()A.22B.1C.2D.6.(2021安徽阜阳太和一中月考)过点P(-5,0)作直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是.

7.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点(A,P,Q三点均不重合).(1)求线段AP的中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.

答案与分层梯度式解析基础过关练1.D圆的方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,故圆心坐标为-a2,a,r2=-∴-34a2-3a>0,解得-4<a<0,故该圆的圆心在第四象限2.D圆的方程x2+y2-2x-y-a=0可化为(x-1)2+y-122=a+54,因为点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外,所以(-1-1)23.答案9π解析圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是-k由圆的性质,知直线x-y+1=0经过圆心,∴-k2+1+1=0,解得∴圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为12∴该圆的面积为9π.4.答案(2,-3)解析由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心坐标为(1,-1).设B(x0,y0),又因为A(0,1),所以由中点坐标公式得x0+0=2,y0+1=-2,解得5.答案x2+y2-4x+6y-12=0解析将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+3)2=16,则圆心C的坐标为(2,-3),故所求圆的半径r=|CM|=(2+1)2+(-3-1)2=5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25,即6.答案x2+y2-3x-3y+2=0解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆过(0,1),(0,2),(1,3)三点,所以1+E+所以圆的方程为x2+y2-3x-3y+2=0.7.答案x2+y2-4x-4y-2=0解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标是-D由题意知-D2故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.8.答案x2+y2+2x-4y+3=0解析根据题意,得圆心坐标为-D2,-E2.∵圆心在直线x+y-1=0上,∴-D2-E2-1=0,即D+E=-2.∴D2+E2=20.②由①②可得D=2,E又∵圆心在第二象限,∴D故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.9.C设P(x,y),由条件知PM⊥PN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMP·kNP=-1,即yx+2·所以x2+y2=4,当P,M,N三点共线时,不能构成三角形,所以x≠±2,故所求轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2).10.C设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y),∵Q(3,0),∴x=x又∵点P在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+4y2=1,即x2+y2-3x+2=0,故选C.11.解析设P(x,y),圆(x-1)2+y2=1的圆心为B,则B(1,0),由题意得|PA|2+12=|PB|2,∴(x-1)2+y2=2.12.解析以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D的坐标为(x0,y0),∴2+x∵|AD|=3,∴(x0+2)2+y02将①代入②,并整理得(x+6)2+y2=36.∵点C不能在x轴上,∴y≠0.∴顶点C的轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).能力提升练1.D由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,因此圆心C的坐标为(-1,m),半径r=m2+4m+5=(m+2)2+1≥1,当且仅当m=-2时,圆心到坐标原点的距离d=(-1-0)2+(-2-0)2=5所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=5+1.故选D.2.C由题意知,圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示:作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小,否则,在x轴上另取一点S',连接S'P,S'P',S'Q.因为点P与点P'关于x轴对称,所以|SP|=|SP'|,|S'P|=|S'P'|,所以|SP|+|SQ|=|SP'|+|SQ|=|P'Q|<|S'P'|+|S'Q|=|S'P|+|S'Q|.故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=(1-7)3.解析(1)由题图可知A(40,40),B(20,0),设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则F=0,4所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.(2)易知D(-20,-203),船D的航线所在直线l的斜率为1,故直线l的方程为x-y+20-203=0,由(1),知圆C的圆心为C(10,30),半径r=1010,则圆心C到直线l的距离d=|10-30+20-203|2=106故该船有触礁的危险.4.C如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点的坐标为x2,y2,线段所以x2=又因为点N(x+3,y-4)在圆上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.当点P在直线OM上时,有x=-95,y=125或x=-215因此点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点-95,1255.B以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),∵|PB|=2|PA|,∴(x-1)整理,得x2+6x+y2+1=0,即(x+3)2+y2=8,即动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,22为半径的圆,当点P在如图所示的P1或P2位置时,tan∠ABP的值最大,最大值为22|PB|=6.答案[13-10,13+10]解析由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R),得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令2x-y-4=0,x-y-3=0,解得x=1,y=-2,所以直线过定点(1,-2),设定点为Q.由题意知,点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为C,易知C(-2,-1),半径r=(-5-1)2+(0+2)22=10,则7.解析(1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),x0≠2,则x=2+x02,又∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1(x≠2),故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(