湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-2双曲线课件

1.双曲线的定义平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨

迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫

作双曲线的焦距.2.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);

当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分

线.

3.2双曲线1|

双曲线的定义1.标准方程当焦点在x轴上时,

-

=1(a>0,b>0);当焦点在y轴上时,

-

=1(a>0,b>0).2.一般方程双曲线的一般方程为Ax2-By2=1,其中AB>0,当A>0,B>0时,焦点在x轴上;当A<0,

B<0时,焦点在y轴上.

2

|

双曲线的方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)图形

1.双曲线的简单几何性质3|

双曲线的简单几何性质性质范围x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±

xy=±

x离心率e=

,e∈(1,+∞)实轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫

作双曲线的实半轴长虚轴线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫

作双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)2.e=

=

=

>1,它反映了双曲线开口的大小,e越大,开口就越大.

1.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.它有如下性质:(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);(2)渐近线方程为y=±x,两条渐近线互相垂直;(3)实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e=

.2.距离双曲线

-

=1(a>0,b>0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a+c,到右焦点的最小距离为c-a.3.焦半径双曲线上一点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线

的焦半径,记r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)

-

=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.(2)

-

=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.1.已知平面上一点M到两个定点F1,F2的距离之差为常数2a(a>0,2a<|F1F2|),则点M

的轨迹是双曲线吗?不是,它表示双曲线的一支.当|MF1|-|MF2|=2a时,M的轨迹为焦点为F2的这一侧的

一支;当|MF2|-|MF1|=2a时,M的轨迹为焦点为F1的这一侧的一支.知识辨析2.双曲线和椭圆的标准方程中,a,b,c的关系相同吗?不相同.双曲线的标准方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a与b的大小关系不确定;椭圆的标

准方程中,a2=b2+c2,其中a>b>0.3.给定一个方程Ax2+By2=1,它一定表示双曲线吗?不一定.当AB<0时表示双曲线,当A>0,B>0,且A≠B时表示椭圆,当A=B>0时表示圆.

4.双曲线的焦点到其渐近线的距离是不是定值?是.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b,此结论在解小题时可直接应用.1.定义法1双曲线标准方程的求解根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出标准方程.2.待定系数法.其步骤如下:(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能.(2)设方程:根据焦点位置,设其方程为

-

=1(a>0,b>0)或

-

=1(a>0,b>0),焦点位置不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0).(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可.3.常见双曲线方程的设法(1)渐近线方程为y=±

x的双曲线方程可设为

-

=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果渐近线方程为Ax±By=0,那么双曲线方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).(2)与双曲线

-

=1(a>0,b>0)或

-

=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为

-

=λ(λ≠0)或

-

=λ(λ≠0).(3)与双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为

-

=λ(λ>0)或

-

=λ(λ>0),这是因为由离心率不能确定焦点位置.(4)与椭圆

+

=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为

-

=1(b2<λ<a2).

典例求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)以椭圆

+

=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,

);(2)过点P

,Q

,且焦点在坐标轴上;(3)渐近线方程为y=±

x,且经过点A(2,-3).解析

(1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2

.设双曲线的标准方程为

-

=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=8,由双曲线过点(3,

)得

-

=1,∴a2=3,b2=5.故所求双曲线的标准方程为

-

=1.(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.∵点P,Q在双曲线上,∴

解得

故双曲线的标准方程为

-

=1.(3)解法一:当焦点在x轴上时,设标准方程为

-

=1(a>0,b>0),则

=

.①∵点A(2,-3)在双曲线上,∴

-

=1.②①②联立,无解.当焦点在y轴上时,设方程为

-

=1(a>0,b>0),则

=

.③∵点A(2,-3)在双曲线上,∴

-

=1.④联立③④,可得a2=8,b2=32.∴所求双曲线的标准方程为

-

=1.解法二:由题意可设双曲线方程为

-y2=λ(λ≠0),∵A(2,-3)在双曲线上,∴

-(-3)2=λ,即λ=-8.∴所求双曲线的标准方程为

-

=1.1.双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.双曲

线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形

面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运

用.2.焦点三角形中常用的结论(1)设∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S=

=c|yP|.(2)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,P为双曲线右支上一点,则e=

.2双曲线的焦点三角形 

典例设F1,F2为双曲线

-

=1的左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=120°,则△F1PF2的面积为

3

.解析

由题意可得a=5,b=3,c=

,则F1(-

,0),F2(

,0),则|F1F2|2=136,||PF1|-|PF2||=10.由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°=

+3|PF1|·|PF2|=100+3|PF1|·|PF2|=136,∴|PF1|·|PF2|=12,∴△F1PF2的面积S=

|PF1|·|PF2|·sin120°=

×12×

=3

.1.焦点在x轴上和y轴上的双曲线的渐近线方程不同,注意区分.2.双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数.3.渐近线与离心率的关系:

=

,e=

.4.求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a,c(或

a,b或b,c)的关系式,结合c2=a2+b2进行求解.3双曲线的渐近线和离心率

典例已知双曲线

-

=1(b>0)上任意一点P到两条渐近线的距离之积等于3,则该双曲线的离心率等于

(D

)A.

B.

C.

D.

解析

易知双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±

x,即bx±

y=0.设P(x0,y0),则P到两条渐近线的距离之积为

·

=

,又

-

=1,即b2

-5

=5b2,所以

=3,所以b2=

,故双曲线的离心率e=

=

=

=

,故选D.一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①,双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)②.把①代入②,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)当b2-a2k2=0,即k=±

时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C相交于一点.(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±

时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点;Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点;Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点.4直线与双曲线的位置关系

典例

(1)已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数;(2)若直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=1交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积

为

,求实数k的值.思路点拨

(1)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与双曲线方程,得一元二次方程,根据根与系数的关

系得到x1+x2,x1x2,并求出k的范围,根据△AOB的面积为

列出等式,进而求解.解析

(1)联立

消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)①当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)只有一个解x=

.故k=±1时,直线与双曲线有一个公共点,此时直线l与渐近线平行.②当1-k2≠0,即k≠±1时,易得Δ=4(4-3k2),(i)令Δ>0,得-

<k<

且k≠±1,此时方程(*)有两个不相等的解,方程组有两组解,故直线与双曲线有两个公共点.(ii)令Δ=0,得k=±

,此时方程(*)有两个相等的解,故直线与双曲线只有一个公共点,此时直线l与双曲线相切.(iii)