苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-1-1椭圆的标准方程课件

平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆,两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距.第3章圆锥曲线与方程3.1

椭圆知识点1

椭圆的定义3.1.1

椭圆的标准方程知识点2

椭圆的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系a2=b2+c2

点P(x0,y0)与椭圆

+

=1(a>b>0)的位置关系:(1)点P在椭圆上⇔

+

=1;(2)点P在椭圆内部⇔

+

<1;(3)点P在椭圆外部⇔

+

>1.知识点3

点与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断一般地,联立直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)与椭圆

+

=1(a>b>0)的方程,得

整理,得到一个关于x(或y)的一元二次方程.知识点4

直线与椭圆的位置关系位置关系Δ的取值交点的个数相交Δ>02相切Δ=01相离Δ<002.弦长公式设直线l:y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2=

|x1-x2|=

·

或P1P2=

|y1-y2|=

·

(k≠0).知识拓展1.若动点M与定点F(c,0)之间的距离和它到定直线l:x=

的距离之比是常数

(0<c<a),则动点M的轨迹叫作椭圆,定点为椭圆的一个焦点.2.已知定点A(-a,0),B(a,0),若直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-

,则点M的轨迹是椭圆(不包含点A、B).知识辨析1.平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆吗?2.椭圆

+

=1(a>b>0)和椭圆

+

=1(a>b>0)的焦点虽然不同,但都满足a2=b2+c2,这种说法正确吗?3.椭圆的标准方程可以写成mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式,反过来,若一个方程是mx2+ny2=1(m>0,

n>0)的形式,它一定表示椭圆吗?一语破的1.不一定.当常数大于两定点之间的距离时,点的轨迹是椭圆;当常数等于两定点之间的距离

时,点的轨迹是线段;当常数小于两定点之间的距离时,点的轨迹不存在.2.正确.焦点无论是落在x轴上还是y轴上,都满足a2=b2+c2,且a>b,a>c.3.不一定.若m=n,则该方程表示的图形是圆.

1.定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.2.待定系数法求椭圆的标准方程(1)求椭圆的标准方程,一般是先“定性”,即判断焦点所在的坐标轴,再“定量”,即确定a,b

的值.(2)求a,b的值时可利用条件直接求出,也可用待定系数法设出相应的标准方程,然后计算.如果明确椭圆的焦点在x轴或y轴上,那么设所求的椭圆方程为

+

=1或

+

=1(a>b>0).如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2

=1(m>0,n>0,m≠n).定点1椭圆标准方程的求解关键能力定点破典例求符合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点

;(2)焦点在坐标轴上,且经过A(

,-2)和B(-2

,1)两点.思路点拨

(1)定性:设椭圆的方程为

+

=1(a>b>0)

定量:求a,b的值

求椭圆的标准方程.(2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

待定系数法求椭圆的标准方程.解析

(1)由题意知,椭圆的焦点在y轴上,∴设椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0).由椭圆的定义,知2a=

+

=2

,即a=

.又c=2,∴b2=a2-c2=6.∴所求椭圆的标准方程为

+

=1.(2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵A(

,-2)和B(-2

,1)两点在椭圆上,∴

即

解得

∴所求椭圆的标准方程为

+

=1.

1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.关于椭圆的焦点三角

形问题,通常利用椭圆的定义,并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解.2.焦点三角形的常用结论(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知F1

=P

+P

-2PF1·PF2·cos∠F1PF2.(3)设P(xP,yP),则焦点三角形F1PF2的面积为c·|yP|=

PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan

.定点2椭圆的焦点三角形问题典例已知点P是椭圆

+

=1上的点,点F1,F2是椭圆的两个焦点,若△F1PF2中有一个角的大小为

,则△F1PF2的面积为

.

3

或6

解析

由椭圆方程知a=5,b=3,则c=

=4.若∠F1PF2=

,则

=b2tan

=9tan

=3

;若∠PF1F2=

,设PF1=m,则PF2=2a-m=10-m,由余弦定理得P

=P

+F1

-2PF1·F1F2cos∠PF1F2,即(10-m)2=m2+64-8m,解得m=3,∴

=

PF1·F1F2·sin∠PF1F2=

×3×8×

=6

;同理可得,当∠PF2F1=

时,

=6

.综上所述,△F1PF2的面积为3

或6

.

1.求相交弦的长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点的坐标,用两点间的距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程,消元,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,设两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据弦长公式AB=

|x1-x2|

,结合根与系数的关系求弦长.2.与椭圆中点弦有关的三种题型及解法(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线和椭圆方程构成方程组,消去x(或y)得到一元二

次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)利用点差法求直线斜率或方程:利用弦的端点在椭圆上,将端点坐标分别代入椭圆方程,然定点3直线与椭圆的相交弦问题后作差,得到中点坐标和直线斜率的关系,即若椭圆方程为

+

=1(a>b>0),直线与椭圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,且弦AB的中点为M(x,y),则

①-②,整理得a2(

-

)+b2(

-

)=0,所以

=-

·

=-

·

.这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系,从而使问题得以解决.(3)利用共线法求直线方程:设椭圆

+

=1(a>b>0)与直线AB的一个交点为A(x,y),另一个交点为B,如果弦AB的中点为P(x0,y0),那么利用中点坐标公式可得B(2x0-x,2y0-y),则有

+

=1,

+

=1,两式作差即可得所求直线的方程.其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法,点差法中体现的设而不求思想还可以用于

解决对称问题.典例已知椭圆

+

=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.(1)当直线l的斜率为

时,求线段AB的长度;(2)当P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.思路点拨

(1)求出直线方程

联立直线与椭圆的方程,得方程组

解方程组得交点坐标

由两点间距离公式求得弦长.(2)设A,B的坐标

利用“点差法”求出kAB

得出直线l的方程.解析

(1)由已知可得直线l的方程为y-2=

(x-4),即y=

x.由

得x2-18=0,解得x=±3

.设A(xA,yA),B(xB,yB),不妨令xA=3

,xB=-3

,则A

,B

,所以AB=

=3

,所以线段AB的长度为3

.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

两式相减,得

+

=0,整理,得kAB=

=-

.又P(4,2)是线段AB的中点,所以