苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2-3圆与圆的位置关系课件

1.代数法:设两圆的方程分别为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0),联立得方程组

消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下列表中的标准进行

判断.2.几何法:设两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,按下列表中的标准进行判断.2.3

圆与圆的位置关系知识点

圆与圆的位置关系及其判断位置关系外离外切相交内切内含图示

公共点个数01210Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|公切线条数43210知识辨析1.两圆方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交,对吗?2.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么?3.若两圆相切,则两圆有且仅有一条公切线吗?4.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若C1C2<r1+r2,则两圆相交吗?5.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若两圆没有公共点,则一定有C1C2>r1+r2吗?一语破的1.对.若方程组有两组解,则以这两组解为坐标的点是两圆的公共点,所以两圆相交.2.相切(即内切或外切).3.不是.若两圆内切,则两圆有且仅有1条公切线;若两圆外切,则两圆有3条公切线.4.不一定.当C1C2<r1+r2时,若C1C2>|r1-r2|,则两圆相交;若C1C2=|r1-r2|,则两圆内切;若C1C2<|r1-r2|,则

两圆内含.5.不一定.若两圆没有公共点,则两圆外离或内含,即C1C2>r1+r2或C1C2<|r1-r2|.1.几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两

圆的位置关系,这是在解析几何中常用的方法.2.代数法:将两圆的方程联立,得到方程组,解方程组,根据方程组解的组数判断两圆的位置关

系.定点1两圆位置关系的判断 关键能力定点破典例已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+4x=0.(1)当m=2时,判断圆C1和圆C2的位置关系;(2)是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.解析

(1)当m=2时,圆C1的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=9,则C1(2,-2),半径r1=3,圆C2的标准方程为(x+2)2+y2=4,则C2(-2,0),半径r2=2,∴圆心距d=

=2

,又r1+r2=5,r1-r2=1,∴r1-r2<d<r1+r2,∴圆C1和圆C2相交.(2)不存在.理由如下:圆C1的方程可化为(x-m)2+(y+2)2=9,则C1(m,-2),半径r1=3.由(1)知C2(-2,0),半径r2=2.假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,则圆心距d=

<3-2,即(m+2)2<-3,此不等式无解.故不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.1.两圆相切包括内切和外切,若只知道相切,则需分内切、外切两种情况讨论,再根据两圆的

圆心距与半径的关系列方程解决问题.2.求两圆公切线问题的关键(1)判断两圆的位置关系;(2)设公切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程,求出参数值得切线

方程;(3)可通过作图解决,画图要标准,做到“草图不草”.定点2两圆相切问题 典例已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为

.y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0解析

圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1;圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3,则O1O2=2

>r1+r2,所以两圆外离,两圆有四条公切线.当公切线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则有

解得

或

或

所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.当公切线的斜率不存在时,易知其方程为x=0.所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0.1.两圆的公共弦所在直线的方程的求法设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0).联立

①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就

是经过两圆交点的直线方程.故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线

的方程.当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程.定点3两圆的公共弦问题 当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方

程.2.两圆公共弦长的求法(1)代数法:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程;②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离;③利用勾股定理求出公共弦长.3.求经过两圆交点的圆的方程的方法一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)

交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),再由其他

条件求出λ即得圆的方程.典例已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在直线x-y-1=0上.(1)求圆C1的方程;(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.思路点拨

(1)由圆C1与y轴相切于(0,3),得圆心C1在直线y=3上,结合圆心C1在直线x-y-1=0上

求出圆心为(4,3).根据圆C1与y轴相切可得半径r=4,从而求出圆的方程.(2)由圆C1与圆C2的方程作差求出直线MN的方程,利用半弦长、半径、弦心距之间的关系求

出公共弦长.解析

(1)因为圆C1与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上,又因为圆心在直线x-y-1=0上,所以圆心为直线y=3与x-y-1=0的交点,联立

解得

可得圆心坐标为(4,3),又因为圆C1与y轴相切于点(0,3),故圆C1的半径r=4,所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.(2)由(1)知,圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,两式作差可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+3y-4=0,圆心C1(4,3)到直线2x+3y-4=0的距离d=

=

,所以两圆的公共弦长为2

=2×

=2

.易错警示

只有在两圆相交的前提下,求两圆公共弦所在的直线方程时,才能让两圆的方程

相减得公共弦所在的直线方程.隐圆问题有些与圆有关的题目中,题设条件没有明确给出圆的相关信息,而是隐藏在题目条件中,

因此在解决这类问题时,需要通过分析、转化已知条件发现圆的定义(或圆的方程),从而利用

圆的相关知识来求解,我们称这类问题为隐圆问题.破解隐圆问题最关键的是定隐圆,定隐圆一般有以下几种方法:①用定义定隐圆:利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆;②用垂直关系定隐圆:若动点P与两定点A,B的连线的夹角为直角,则可知动点的轨迹为圆(不

包括A,B两点).具体表现形式为kPA·kPB=-1.③用向量关系式定隐圆:两定点A,B,动点P满足

·

=0,确定隐圆.专题疑难突破足PA=λPB,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹就是阿波罗尼斯圆.除了上述五种方法外,还存在“四点共圆”模型,常见的有两种情形:一是四边形的对角互补;

二是共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(即同弧所对的圆周角相等).④用勾股定理定隐圆:两定点A,B,动点P满足PA2+PB2=AB2,确定隐圆.⑤用阿波罗尼斯圆定隐圆:在平面上给定相异的两点A,B,设点P与点A,B在同一平面内,且满典例1已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切

点分别为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为

.解析

由题意得圆M的半径为1,圆心为(a,a-4),圆O的半径为1,连接OP,OA,因为直线AP,BP均为圆O的切线,且∠APB=60°,所以OA=1,∠APO=30°,所以OP=2OA=2,根据圆的定义知点P在圆x2+y2=4上,记为圆E,因为点P既在圆E上,又在圆M上,所以圆E与圆M一定有公共点,所以2-1≤

≤2+1,解得2-

≤a≤2+

,所以实数a的取值范围是

.典例2在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化

时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为

.解析

解法一:由题意得直线l1经过定点(0,2),记为A,直线l2经过定点(2,0),记为B,且l1⊥l2,所以

点P在以AB为直径的圆上,记为圆C,则圆C的圆心为(1,1),半径r=

.因为圆心C到直线x-y-4=0的距离d=

=2

,所以点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为d+r=3

.解法二:当k=0时,易得点P(2,2),则点P到直线x-y-4=0的距离为2

;当k≠0时,解方程组

得两直线交点P的坐标为

,所以点P到直线x-y-4=0的距离d=

=

,显然当d取得最大值时k为正数,则有

=

≤

,当且仅当k=1时取“=”,所以

≤

=3

.综上可知,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3

.典例3已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足

·

=3,则实数a的取值范围是

.

[-2,1]解析

设M(x,y),则

=(-1-x,-y),

=(1-x,-y).因为

·

=3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2=4,表示圆.又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以两圆必有交点,所以2-1≤

≤1+2,即1≤

≤3,解得-2≤a≤1.典例4已知O为原点,A(2,0),B(-1,0),若MA=

MO,则MB的最大值为

.思路点拨

由题干条件知满足阿波罗尼斯圆的定义,利用其确定隐圆求最值.解析

设M(x,y),由MA=

MO,得(x-2)2+y2=2(x2+y2),即(x+2)2+y2=8,记为圆C.所以M在圆心为C(-2,0),半径r=2

的圆上.又BC=1,所以(MB)max=BC+r=1+2

.典例5在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上是否存在点P,

使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.解析

圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心C(2,0),半径为2.设P(x,y)满足PA2+PB2=12,则PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+(y-1)2=4,所以点P在圆心为(0,1),半径为2的圆上.因为|2-2|<

<2+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,即在圆C上存在点P,使得PA2+PB2=12,且点P的个数为2.素养解读直线与圆在实际生活中的应用问题,本质是把实际问题转化为数学问题,即数学建模.解

题的关键在于能够在实际问题的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数量关系,提

出数学问题,进而解决数学问题,运用的主要方法是解析法,即通过图形特点建立合适的平面

直角坐标系,用坐标和方程表示图形中的相关要素,选择合适的数学模型表达要解决的几何

问题,进而通过代数运算解决问题.在将实际问题通过解析法转化为数学问题的过程中,培养

学生数学建模的核心素养.学科素养情境破素养

在研究直线与圆的应用问题中培养学生数学建模的核心素养例题甲、乙两人同时从半径为3km的圆形社区中心出发,甲向正东方向走,乙向正北方向走.

甲出发不久,因有事改变前进方向,斜着沿切于社区周界的方向前进,后来恰好与乙相遇,甲、

乙两人的速度都一定,其比为3∶1,问甲、乙两人在何处相遇?典例呈现信息提取

关键信息信息提取半径为3的圆形社区圆的方程为x2+y2=9甲斜着