苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1-5平面上的距离课件

平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2=

.1.5

平面上的距离知识点1

两点间的距离对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则x0=

,y0=

.知识点2

中点坐标公式1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离d=

.2.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不全为0,C1≠C2)间的距离d=

.注:应用两条平行直线间的距离公式时,两条平行直线的方程需为一般式,且x,y的系数对

应相等.知识点3

点到直线的距离知识辨析1.求解直线外一点到直线的距离,除了利用点到直线的距离公式之外,还可以用什么方法?2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可以写成

吗?3.直线l1:x+y-3=0与l2:3x+3y-1=0之间的距离d=

=

,对吗?一语破的1.还可以看作求直线外一点到直线上任意一点的距离的最小值,利用两点间距离公式化为一

元函数求最小值.2.不可以.要将直线方程化为一般式,即kx-y+b=0,则点P(x0,y0)到直线的距离为

.3.不对.应用两条平行直线间的距离公式时,应先将方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即l1:3x+3y-9=0,故两直线间的距离d=

=

.平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离为P1P2=

.注:两点间的距离公式与两点的先后顺序无关,即公式既可以写成P1P2=

,也可以写成P1P2=

,利用此公式可以实现几何问题与代数问题的相互转化.

特别地,当直线P1P2平行或重合于坐标轴时距离公式仍然成立,但一般我们用下列方法求距

离:当直线P1P2平行或重合于x轴时,P1P2=|x2-x1|;当直线P1P2平行或重合于y轴时,P1P2=|y2-y1|.定点1平面上两点间的距离公式 关键能力定点破典例著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔离分家万事修.”事实上,有很多代数问

题可以转化为几何问题加以解决,如:

可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得

-

的最大值为

.解析

-

=

-

,可转化成x轴上一点P(x,0)到点M(1,2)的距离与到点N(0,1)的距离之差.PM-PN≤MN=

=

,当且仅当M,N,P三点共线时等号成立,所以

-

的最大值为

.方法技巧

代数式

可以看作点(x,y)到定点(a,b)的距离;代数式

可以看作x轴上的点(x,0)到定点(a,b)的距离;代数式

可以看作y轴上的点(0,y)到定点(a,b)的距离.应用点到直线的距离公式时的注意事项(1)当点在直线上时,点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.(2)点到直线的距离公式对于直线的一般式方程中A=0或B=0的情况仍然适用.(3)在应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式.定点2点到直线的距离 1.当直线的方程为一般式时,可利用两平行线间的距离公式,其步骤如下:

解题时必须注意两直线方程中x,y的系数要对应相等,若不相等,则先将系数化为相等,再

代入公式求解.定点3两条平行线之间的距离2.当直线的方程为斜截式,即l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=

.3.利用化归思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线

的距离.典例已知斜率存在的两直线l1与l2,直线l1经过点(0,3),直线l2经过点(4,0),且l1∥l2.(1)若l1与l2之间的距离为4,求两直线的方程;(2)若l1与l2之间的距离最大,求最大距离,并求此时两直线的方程.思路点拨

(1)设两直线的斜率均为k,得出l1,l2的一般式方程,然后由条件建立方程求解;(2)当l1,l2与经过(0,3),(4,0)两点的直线垂直时,距离最大,然后根据两点连线的斜率得出直线l1,l2的斜率,进而求出两直线方程.解析

(1)由l1与l2的斜率都存在且l1∥l2,可设两直线的斜率均为k,得l1的方程为y=kx+3,即kx-y+

3=0,l2的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.又直线l1上的点(0,3)到直线l2的距离d=

=4,所以16k2+24k+9=16k2+16,所以k=

.所以l1:7x-24y+72=0,l2:7x-24y-28=0.(2)当l1,l2与经过(0,3),(4,0)两点的直线垂直时,距离最大,最大距离为(0,3),(4,0)两点间的距离,

为5,因为两点连线的斜率为-

,所以直线l1,l2的斜率为

,所以l1:4x-3y+9=0,l2:4x-3y-16=0.1.点关于点的对称求点P1(x1,y1)关于点P2(x2,y2)的对称点P(x,y)时,可由中点坐标公式得

则有

2.点关于直线的对称(1)点P(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)对称的点为P'(x2,y2),则可根据直线PP'垂直

于l,及线段PP'的中点在l上列方程组,即

解出x2,y2即可.定点4常见的对称问题 ①点(x0,y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为(x0,-y0);②点(x0,y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0,y0);③点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0);④点(x0,y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0,-x0);⑤点(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点为(2m-x0,y0);⑥点(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点为(x0,2n-y0).3.直线关于点的对称求直线关于点对称的直线方程的方法:方法一:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,

再由两点式求出直线方程.方法二:在已知直线上取一点,求出该点关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由(2)点关于直线对称的常用结论:点斜式得到所求直线的方程.方法三:由平行直线系,结合两条平行线间的距离公式求得.4.直线关于直线的对称已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2对称的直线方程:(1)若l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0

,然后在l1上找一点P(x,y),求出点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再将(x',y')代入A1x+B1y+m=0,即可解出m;(2)若l1与l2相交,则先求出l1与l2的交点N,然后在l1上确定一点M(不同于交点N),找出点M关于l2

的对称点M',由点N,M'即可确定所求直线的方程.典例已知直线l:x+2y-2=0,试求:(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于l对称的直线l2的方程;(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.解析

(1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0),线段PP'的中点为M,则M在直线l上,且PP'

⊥l.所以有

解得

故点P'的坐标为

.(2)解法一:由

得

即直线l与l1的交点为(2,0),记N(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设B关于直线l的对称点为B'(x1,y1),则

解得

即B'

,所以直线l2的斜率kNB'=

=7,所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.解法二:由于直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,因此l2上任一点P1(x,y)关于l的对称点P'1(x',

y')一定在直线l1上.由

得

把(x',y')代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,故l2的方程为7x-y-14=0.(3)设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2)

一定在直线l上.由

得

将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0.方法技巧

关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称

点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通

过这两个条件列方程组求解.1.在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法(1)当两定点A,B在l的异侧时,如图①,连接AB,线段AB交l于点P,此时AB与l的交点P到两定点

的距离之和最小,为线段AB的长.在l上任取一点P',则P'A+P'B≥AB.(2)当两定点A,B在l的同侧时,如图②,作点A关于l的对称点A',连接A'B交l于点P,此时点P到两

定点的距离之和最小.定点5对称在求最值中的应用 2.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法(1)当两定点A,B在直线l的同侧时(A,B连线与l不平行),如图③,连接BA并延长,交直线l于点P.

此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为线段AB的长.在l上任意取一点P’,则有|P'B-P'A|≤AB.(2)当两定点A,B在直线l的异侧时,如图④,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'(BA'所在直线

与l不平行)并延长,交l于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大,最大值为线段A'B的

长,即|PB-PA|=|PB-PA'|=A'B.在l上任取一点P',则有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B.典例已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M,(1)使|MA-MB|的值最大;(2)使MA+MB的值最小.思路点拨

(1)由题设求出B关于l的对称点C(m,n),再根据|MA-MB|=|MA-MC|≤AC即可求最大

值,由此得直线AC的方程,与l的方程联立得交点M的坐标.(2)利用两点间线段最短,即可求最小值,即(MA+MB)min=AB,由此得直线AB的方程,与l的方程

联立,得交点M的坐标.解析

(1)若C(m,n)为B关于直线l的对称点,则BC的中点

在直线l上,所以

得

则C(3,3),由MB=MC,则|MA-MB|=|MA-MC|≤AC,要使|MA-MB|的值最大,只需A,C,M共线,则|MA-MB|max=AC=

.此时直线AC的方程为

=

,即2x+y-9=0,由

解得

所以M(2,5).即在直线l:3x-y-1=0上存在点M(2,5),使|MA-MB|的值最大,最大值为

.(2)要使MA+MB的值最小,只需A,B,M共线,则(MA+MB)min=AB=5.易得直线AB的方程为

=

,即3x+4y-16=0.由

解得

即在直线l:3x-y-1=0上存在点M

,使MA+MB的值最小,最小值为5.学科素养情境破素养

在利用直线系方程证明平面几何问题的过程中培养学生数学抽象的核心素养素养解读直线系是指具有某种共同性质的直线的集合,在解析几何中,常见的直线系有平行直线

系、垂直直线系、在两坐标轴截距满足一定关系的直线系、过定点的直线系等,利用直线系

方程解决有关问题,可以把握研究对象的数学特征,将直线的几何性质与方程的代数特征结

合起来,进一步理解数学结论的一般性,感悟通性通法的数学原理及其中蕴含的数学思想,有

助于培养学生数学抽象的核心素养.典例呈现例题在△ABC中,BC<AC,M是边AB的中点,过点A,B分别作