苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2-2直线与圆的位置关系练习含答案

2.2直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系1.(教材习题改编)若点P(a,b)在圆O:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆O的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不能确定2.(2024福建福州第一中学期中)设m∈R,则直线l:mx+y-2m-1=0与圆x2+y2=5的位置关系为()A.相离B.相切C.相交或相切D.相交3.已知点M(-1,0),N(1,0),若某直线上存在点P,使得PM·PN=0,则称该直线为“相关点直线”.给出下列直线:①y=x+3;②y=43x;③y=2;A.①③B.②④C.②③D.①④4.(2024河北沧衡八校联盟期中)若曲线(x+3)(3x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,则m的取值范围是5.(2024河北石家庄部分学校期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(-2,0),N(1,0),动点P满足PMPN(1)求动点P的轨迹方程;(2)若直线l过点M,且点N到l的距离为1,求l的方程,并判断l与动点P的轨迹的位置关系.题组二直线与圆相切问题6.(2024江苏连云港七校期中)圆A:x2+y2-4x=0在点P(1,-3)处的切线l的方程为()A.x+3y+2=0B.x+C.x-3y+4=0D.x−7.(2024江苏淮安期初调研)已知动点P在直线3x+4y-10=0上,过点P作圆O:x2+y2=1的一条切线,切点为A,则PA的最小值为()A.1B.2C.8.(2024陕西渭南质检)过坐标原点O作圆(x-3)2+(y-4)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB=()A.49.(2024湖北荆州沙市中学月考)已知圆O1:x2+(y-2)2=1,圆O2:(x-3)2+(y-4)2=4,过x轴上一点P分别作两圆的切线,切点分别是M,N,当PM+PN取最小值时,点P的坐标为.

10.(2024江苏扬州中学期中)已知圆C经过A(1,4),B(5,0)两点,且在x轴上的截距之和为2.(圆在坐标轴上的截距指圆与坐标轴交点的横(纵)坐标)(1)求圆C的标准方程;(2)圆M与圆C关于直线x-y+1=0对称,求过点(3,0)且与圆M相切的直线方程.题组三圆的弦长与中点弦11.(教材习题改编)已知☉O的圆心是坐标原点O,且被直线x-3y+23=0截得的弦长为25,则A.x2+y2=4B.x2+y2=8C.x2+y2=12D.x2+y2=1612.已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=16,直线l过点P(2,3),且与圆C交于A,B两点,若点P为线段AB的中点,则直线l的方程为()A.x+3y-11=0B.3x+y-9=0C.x-3y+7=0D.3x-y-3=013.(2023湖南长沙第一中学等名校联考)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l过点A(1,1),且交圆C于P,Q两点,则弦长PQ的取值范围是()A.[2,2]B.[C.[2,22]D.[214.(2024江苏连云港赣榆期中)已知直线l:3x-4y+5=0与圆C:x2+y2-6x-2y+a+5=0相切.(1)求实数a的值及圆C的标准方程;(2)已知直线m:kx-y+2=0与圆C相交于A,B两点,若△ABC的面积为2,求直线m的方程.15.(2023江苏连云港赣榆智贤中学学情检测)在以下这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.①圆经过点C(3,4);②圆心在直线x+y-2=0上;③y轴被圆截得的弦长为8,且圆心M的坐标为整数.已知圆M经过点A(-1,2),B(6,3),且.

(1)求圆M的方程;(2)求以N(2,1)为中点的弦所在直线的方程.能力提升练题组一直线与圆的位置关系1.(2024湖南长沙第一中学月考)实数x,y满足x2+y2+2x=0,则y-A.0,43B.(-∞,0]C.-1,13D.(-∞,-1]2.(2023江苏淮安月考)已知A(a,0),B(a+3,0),直线x+3y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,则a的值为()A.-6B.-2或6C.2或-6D.-23.(多选题)(2024江苏南通如皋调研)已知曲线C:x=4yA.曲线C为y轴右边的半圆(含y轴上的点)B.若曲线C与直线l有且仅有一个公共点,则0<m≤4C.若曲线C与直线l有两个不同的公共点,则2-22<m≤0D.若曲线C与直线l没有公共点,则m>2+22或m<2-224.(2024安徽A10联盟期中)过直线l:x-y+4=0上任意一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点,记线段AB的中点为Q,则点Q到直线l的距离的最小值为.

题组二圆的切线与弦长问题5.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)已知圆C:(x-4)2+y2=16,点A是直线x-y+4=0上的一个动点,过点A作圆C的两条切线,切点分别为P,Q,则线段PQ的长度的取值范围是()A.[4,42)B.[26.(多选题)(2024江苏扬州高邮调研)已知直线l:x+y-5=0,圆C:(x-1)2+y2=2,若点P为直线l上的一个动点,则下列说法正确的是()A.直线l与圆C相交B.若点Q为圆C上的动点,则PQ∈[2,+∞)C.与直线l平行且被圆C截得的弦长为2的直线为x+y+2-5=0或x+y-2-5=0D.圆C上存在两个点到直线l的距离为37.(2023江苏宿迁泗阳实验高级中学调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4,则下列结论正确的是()A.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+10=0B.过点P作圆O的切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为x+2y-4=0C.过点P作圆O的切线,切点分别为M,N,则PM=3D.过点P的直线m与圆O相交于A,B两点,若∠AOB=90°,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y-10=08.(2024江苏盐城一中、大丰中学联考)已知圆C:(x-1)2+y2=1,直线l:y=k(x+1),若l与x轴交于点A,过l上一点P作圆C的切线,切点为T,且PA=2PT,则k的取值范围是.

9.(2023黑龙江双鸭山第一中学月考)直线ax+y-a-1=0与圆C:x2+(y-3)2=25交于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,设切线的交点为M,则点M的轨迹方程为.

10.(2024北京第三十五中学期中)已知圆C经过坐标原点O和点(2,2),且圆心在x轴上.(1)求圆C的方程;(2)直线l1经过点A(4,1),且l1与圆C相交所得的弦长为23,求直线l1的方程;(3)直线l2经过点A(4,1),且l2与圆C相切,求直线l2的方程.题组三直线与圆位置关系的综合应用11.(多选题)(2023江苏南京师范大学附属中学期中)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,1)射出,经x轴反射,下列结论正确的是()A.圆C关于x轴对称的圆的方程为x2+y2+4y+3=0B.若反射光线所在直线平分圆C的周长,则入射光线所在直线的方程为3x-2y-4=0C.若反射光线所在直线与圆C相切于A,与x轴相交于点B,则PB+BA=2D.若反射光线所在直线与圆C交于M,N两点,则△CNM面积的最大值为112.(2022广东广州育才中学期中)设m∈R,圆M:x2+y2-2x-6y=0,若动直线l1:x+my-2-m=0与圆M交于点A,C,动直线l2:mx-y-2m+1=0与圆M交于点B,D,则AC+BD的最大值是.

13.(2024江苏泰州靖江高级中学期中)已知M(x,y),A(1,2),B(-2,-1),且MA=2MB,点Q(-2,2).(1)求MQ的最大值和最小值;(2)求y-2(3)求y-x的最大值和最小值.14.(2023江苏南通如皋中学综合测试)已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上,该圆与直线3x-4y+7=0相切,且截y轴所得的弦长为23,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,O为坐标原点,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析2.2直线与圆的位置关系基础过关练1.C因为点P(a,b)在圆O:x2+y2=1内,所以a2+b2<1,设圆心O到直线ax+by=1的距离为d,则d=1a2+b2.C直线l的方程可化为m(x-2)+y-1=0,由x-2=0,又22+12=5,即点A在圆x2+y2=5上,所以过点A的直线l与圆相交或相切.故选C.3.B由题意可知,点P的轨迹是以坐标原点为圆心,1为半径的圆,其方程是x2+y2=1.解法一:把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,则Δ=9-4×4=-7<0,∴直线与圆相离,∴直线y=x+3不是“相关点直线”.同理,通过联立直线和圆的方程,可得直线y=43x,y=2x+1与圆相交,直线y=2与圆相离,所以②④符合题意.故选B解法二:圆心(0,0)到直线y=x+3,即x-y+3=0的距离为|0-0+3|2=322同理,通过比较圆心到直线的距离与半径的大小,可得直线y=43x,y=2x+1与圆相交,直线y=2与圆相离.所以②④符合题意.故选B解题关键点P在直线上且PM·PN=0,说明点P也在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切,4.答案-∞,-145解析因为曲线(x+3)(3x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m所以直线x+3=0,3x-y-2=0均与圆x2+(y-m)2=m2相交,且两直线的交点(-则3<|m|,|3×0-m-2|5.解析(1)设P(x,y),由PMPN=2得(x+2)2故动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4.(2)圆(x-2)2+y2=4的半径r=2,圆心坐标为(2,0),设为C,显然直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,点N到l的距离为|k+2k所以l的方程为y=±122(x+2),即x±2所以圆心C到l的距离为|2+2|12+(±26.A解法一:易知切线斜率存在,设切线l的方程为y+3=k(x-1).易知圆心A(2,0),半径r=2,所以A到l的距离d=|k所以k=-33,即切线l的方程为x+3y+2=0.故选A解法二:将圆A的方程化为标准形式为(x-2)2+y2=4,易知点P(1,-3)在圆A上,则在点P处的切线l的方程为(x-2)(1-2)-3y=4,化简得x+3y+2=0.规律总结本题解法二用到以下结论:若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.这个结论在解小题时可以直接应用.7.C由题可知圆心O(0,0),半径r=1,设P(x0,y0),则3x0+4y0-10=0,即y0=10-3x故PA=OP则当x0=65时,PA取得最小值,为1故选C.8.A解法一:圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为(3,4),半径r=1,记M(3,4).连接OM,AM,BM(图略),则OM=32+42=5,OA=52-12=26,所以S△AOM=12解法二:易得直线AB的方程为(0-3)(x-3)+(0-4)×(y-4)=1,即3x+4y-24=0.圆心(3,4)到直线AB的距离为|3×3+4×4-24|32+42=方法技巧本题解法二中求直线AB的方程时,用到了以下结论:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.9.答案(1,0)解析如图所示:设P(t,0),则PM+PN=P=t=(t取A(0,-3),B(3,2则PM+PN=PA+PB≥AB,当且仅当A,P,B三点共线时,取等号,此时kAB=23-(-310.解析(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),令y=0,得x2+Dx+F=0,则x1+x2=-D=2(x1,x2为圆C与x轴交点的横坐标),得D=-2,则圆C的方程为x2+y2-2x+Ey+F=0.将A(1,4),B(5,0)代入可得1+16-2+4解得E所以圆C的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.(2)由(1)知圆心C(1,0),设M(a,b),∵M(a,b)与C(1,0)关于直线x-y+1=0对称,∴a+12-b2若过点(3,0)的直线斜率不存在,则方程为x=3,此时圆心M到直线x=3的距离为3+1=4,满足题意;若过点(3,0)且与圆M相切的直线斜率存在,设其方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心M到直线kx-y-3k=0的距离为|-4k-2|k所以切线方程为34综上,所求直线的方程为x=3或3x-4y-9=0.11.B原点到直线x-3y+23=0的距离d=设☉O的半径为r,则2r2-d2=2r2-3=25,解得r=2212.B解法一:由已知得C(-1,2),所以kCP=3-22+1因为P(2,3)为弦AB的中点,所以CP⊥AB,所以kAB=-3,所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故选B.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+1)2+(y1-2)2=16①,(x2+1)2+(y2-2)2=16②,因为P(2,3)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=6,所以①-②整理得y2所以直线l的斜率为-3,所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故选B.13.D圆心C(2,0),半径r=2,因为(1-2)2+12=2<4,所以点A(1,1)在圆内.当l过圆心C时,弦长PQ取最大值4,当l⊥AC时,圆心C到l的距离最大,为AC=(2-1)2+(0-1)2=2,此时弦长PQ取最小值,为214.解析(1)将圆C的方程化为标准形式,得(x-3)2+(y-1)2=5-a,故圆心C(3,1),半径为5-a因为l与圆C相切,所以|3×3-4×1+5|3所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)设圆心C到直线m的距离为d,则AB=24-d2,所以S△ABC=12AB·d=d4-d2=2,解得d=2所以直线m的方程为x+y-2=0或x-7y+14=0.15.解析选条件①.(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意得5-所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(2)由(1)知圆心M(3,-1),则直线MN的斜率kMN=1+12-3故弦所在直线的斜率k=-1k所以弦所在直线的方程为y-1=12(x-2),即y=1选条件②.(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意得5-所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(2)同条件①.选条件③.(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意得5-D因为y轴被圆所截得的弦长为8,所以方程y2+Ey+F=0有两个不等的实数根y1,y2,且|y1-y2|=(y1+y由ⓐⓑ可得D=-6,E=2,F=-15或D=-20649又因为圆心M的坐标为整数,所以D=-6,E=2,F=-15.故圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(2)同条件①.能力提升练1.Cx2+y2+2x=0可化为(x+1)2+y2=1,y-令y-1x-1=t,化简得tx-y+1-t=0,所以问题转化为直线tx-y+1-t=0与圆(x+1)2即|1-2t|t2+1≤1,解得0≤t≤43,所以-1≤y-12.B设P(x,y),由PB=2PA可得(x-a-3)2+y2=4(x-a)2+4y2,整理可得(x-a+1)2+y2=4,故点P的轨迹是以(a-1,0)为圆心,2为半径的圆.直线x+3y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,等价于直线x+3y=1与圆(x-a+1)2+y2=4相切,则|a-1+0-1|1+3=2,解得a=-2或a=6.3.AC将x=4y-y2变形得x2=4y-y2,即x2+(y-2)2=4(x≥易知直线l的斜率为1,如图所示.l与曲线C有一个交点有两种情况:①l位于l1与l2之间(包括l1不包括l2),若l位于l1,则l过点(0,4),此时4=0+m,得m=4;若l位于l2,则l过原点,此时0=0+m,得m=0,所以0<m≤4.②l与曲线C相切,则|0-2+m|2=2,解得m=2+22又m为l在y轴上的截距,所以m=2-22.综上,当l与曲线C有且仅有一个公共点时,0<m≤4或m=2-22,B错误.当l与曲线C有两个公共点时,l位于l2与l3之间(包括l2不包括l3),故2-22<m≤0,C正确.当l与曲线C没有公共点时,l位于l1上方或l3下方,故m>4或m<2-22,D错误.故选AC.4.答案(-1,1);2解析设P(x0,y0),则y0=x0+4,由题意可得直线AB的方程为(x0-0)(x-0)+(y0-0)·(y-0)=4,即x0x+y0y=4,又y0=x0+4,∴直线AB的方程为x0(x+y)+4y-4=0,故直线AB过定点(-1,1).设Q(x,y),M(-1,1),由MQ·整理得点Q的轨迹方程为x+因为点-12,所以直线l与圆x+所以点Q到直线l的距离的最小值为325.C如图,根据切线的性质可知PQ=2PD,PQ⊥AC,PC⊥PA.易知圆心C(4,0),半径r=4.所以PC=4,PA=AC又S△APC=12PC·PA=12AC所以PD=PC·PAAC又点C(4,0)到直线x-y+4=0的距离d=82所以AC≥d=42,所以0<4AC所以42≤PQ=81-4AC2<8.6.BD易知圆心C(1,0),半径r=2.对于A,圆心C(1,0)到直线l:x+y-5=0的距离d=|1+0-5|2对于B,圆C上的点到l的最小距离为d-r=2,故PQ∈[2,+∞),B正确.对于C,设与l:x+y-5=0平行的直线方程为x+y+m=0(m≠-5),记为l',则圆心到直线l'的距离d'=r2-222故直线l'为x+y+2-1=0或x+y-2-1=0,C错误.对于D,由于圆C上的点到直线l的最小距离为d-r=2,最大距离为d+r=32,2<322故选BD.7.D易知圆心O(0,0),半径r=2.对于A,当直线的斜率不存在时,其方程为x=2,圆心O到直线的距离d=2=r,所以直线x=2是过点P的圆的切线;当直线的斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,∴圆心O到直线的距离d=|-2k+4|k∴过点P的圆的切线方程为x=2或3x-4y+10=0,故A错误.对于B,易知直线MN的方程为(2-0)·(x-0)+(4-0)·(y-0)=4,即x+2y-2=0,故B错误.对于C,∵OP=22对于D,易知AB=22,∴圆心到直线m的距离d'=2,显然直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k'(x-2),即k'x-y-2k'+4=0,∴d'=|-2k∴直线m的方程为x-y+2=0或7x-y-10=0,故D正确.故选D.8.答案-解析由题意得A(-1,0),圆心C(1,0),半径r=1,设P(x0,y0),则PT=PC因为PA=2PT,所以(x0+1则点P的轨迹方程为x2-6x+y2-1=0,即(x-3)2+y2=10,表示圆心为(3,0),半径为10的圆,所以存在PA=2PT,即直线l与圆(x-3)2+y2=10有交点,所以|3k-0+k|k2+1≤10,整理得k2故k的取值范围为-159.答案x-2y-19=0解析由ax+y-a-1=0易知该直线过定点(1,1),圆C:x2+(y-3)2=25的圆心为C(0,3),设M(x,y),A(m,n),N(1,1),则CA=(m,n−3),由于CA⊥AM,AN⊥CM,因此CA·化简得mx+ny-3y+3n=m2+n2,mx+ny-x-3n-y+3=0,两式相减得x-2y+6n-3=m2+n2①,(得到两动点坐标的关系式)又因为A(m,n)在圆x2+(y-3)2=25上,所以m2+n2-6n=16②,(相关动点坐标满足的关系式)将②代入①可得x-2y-19=0,故点M的轨迹方程为x-2y-19=0.解题模板本题求动点的轨迹方程,由直线方程为ax+y-a-1=0易知该直线过定点(1,1),与圆C:x2+(y-3)2=25交于A,B两点,所以A,B两点都是动点,多动点问题通常利用代入法求轨迹方程,一般步骤为设所求动点为(x,y),相关动点为(x1,y1),将动点(x1,y1)满足的关系式代入动点(x,y)与(x1,y1)满足的坐标关系式,消去x1,y1,得到动点(x,y)满足的关系式,即动点(x,y)的轨迹方程.10.解析(1)设圆心C的坐标为(a,0),依题意得|a|=(a即a2=a2-4a+8,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(2)由题意知圆心C到直线l1的距离为22由题意知l1的斜率存在.设直线l1的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,则|-2k+1|k∴直线l1的方程为4x-3y-13=0或y-1=0.(3)由(1)知圆心C(2,0),半径r=2.①当l2的斜率不存在时,方程为x=4,则圆心C到直线l2的距离d=2=r,此时直线l2与圆C相切,符合题意;②当l2的斜率存在时,设其方程为y-1=k1(x-4),即k1x-y-4k1+1=0,则圆心C到l2的距离d=|-2k1+1|k12+1=r=2,解得k1综上,直线l2的方程为x-4=0或3x+4y-16=0.11.ABD对于A,由圆C的方程知圆心C(0,2),半径r=12∴圆C关于x轴对称的圆的圆心为(0,-2),半径为1,∴所求圆的方程为x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,A正确;对于B,∵反射光线所在直线平分圆C的周长,∴反射光线所在直线经过圆心C(0,2),∴入射光线所在直线经过点(0,-2),设为C',∴kC'P=1+22∴入射光线所在直线的方程为y=32x-2,即3x-2y-4=0,B正确对于C,易知反射光线所在直线经过点P(2,1)关于x轴的对称点(2,-1),设为P',∴PB+BA=P'B+BA=P'A.∵P'A=P'对于D,设∠CMN=θ0<则圆心C(0,2)到反射光线所在直线的距离d=sin