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文档简介
河南省信阳高级中学2022-2023学年高一上学期12月测试
(二)数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知集合4={(种)卜+、4296可,则A中元素的个数为()
A.4B.5C.6D.无数个
2.若对于任意实数x,卜]表示不超过x的最大整数,例如[&]=1,[司=1,=-2,
那么“国=3”是中-y|<l"的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知偶函数/(x)的定义域为R,当XG[O,M)时,〃X)=言,则/(工一1)<1的解
集为()
5.已知定义在R上的奇函数满足“x-4)=-〃x),且在区间[0,2]上是增函数,
则()
A./(16)</(-17)</(18)B./(18)</(16)</(-17)
C./(16)</(18)</(-17)D./(-17)</(16)</(18)
6.若两个正实数x,y满足以+丫=孙且存在这样的x,y使不等式x+4〈苏+3机有
4
解,则实数加的取值范围是()
A.(-1,4)B.(-4,1)C.(一--4)=(1,+8)
D.(-<»,-3)=(0,+8)
7.若不等式iog2ll沁匕也•》(x-l)k)g23对任意x«F,l)恒成立,则实数a的范
围是()
A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[0,+co)D.[l,+oo)
8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角a(0<a<外的弧度数
为().
冗乃
A.—B.—C.\/3D.5/2
32
二、多选题
9.设函数/(x)=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是()
A.函数的定义域为RB.函数是增函数
C.函数f(x)的值域为RD.函数的图像关于直线x对称
10.已知函数=下列是关于函数y=/[〃x)]+i的零点个数的判断,
试卷第2页,共4页
其中正确的是()
A.当4>0时,有3个零点B.当ZvO时,有2个零点
C.当4>0时,有4个零点D.当%<0时,有1个零点
11.已知正实数满足a+b=,/力+〃,则下列结论中正确的是()
A.若"z=l,"=0,贝l]a/?N4
B.若,"=1,"=。,则a+644
C.若,"=0,〃=1,则」—+二-2.3+2夜
2a+bb+13
D.若m=1,九=一1,则〃+播+2
12.已知正数羽丁,2满足3*=4>=61则下列说法中正确的是()
111°,2
A.-+—=-B.3x>4y>6zC.孙>2z~
x2yz
D.x+y>[^-+>/2z
三、填空题
13.函数y=的定义域为______.
•2X2-3X-2
14.设函数〃月=可三上在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则
(M+N-咪°”的值为.
sincos0
15.已知tan8=2,则
2sinJ+cos。
16.若函数/(幻=k1-1|(。>0,且在区间卬3(2;-1)|上单调递减,则实数
、L1
a的取值范围是
四、解答题
17.已知函数/(力=言|.
⑴判断函数f(x)的奇偶性并加以证明;
(2)TxeR,不等式/(加+2)+/(2x-l)>0成立,求实数。的取值范围.
18.设函数尸的2-蛆-l.
(1)若对任意xGR,使得)<0成立,求实数机的取值范围;
(2)若对于任意xe[l,3],y<-,"+5恒成立,求实数相的取值范围.
19.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是
这种新材料的含量x(单位:克)的函数,且性能指标值越大,该产品的性能越好.当
0<x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:®y=ax2+hx+c.©y=k-ax
(a>0且。目);③产出咋产(。>0且“片1);其中A,a,b,c均为常数.当xN7时,
y其中m为常数.研究过程中部分数据如下表:
X(单位:克)02610......
-488......
y9
(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0Vx<7)关系的一个,并说明理由;
(2)求出y与x的函数关系式;
(3)求该新合金材料的含量x为多少时,产品的性能达到最佳.
20.已知函数〃x)=3-2k>g2X,^(x)=log2x.
⑴求函数乃/(f)"(6)+2g(x)在[1,4]上的零点;
⑵若函数/?(x)=[/(x)+l}g(x)T在[1,4]上有零点,求实数人的取值范围.
21.已知函数7(刈=不二+。是奇函数.
2—1
(1)求。的值;
(2)若[/(x)—l}lnx<0,且x>l求x的取值范围.
22.已知函数〃x)=x+q-4,g(x)=fcr+3
⑴对任意的。44,6],函数|/(x)|在区间[1,向上的最大值为|〃,”)|,试求实数,”的取值
范围;
⑵对任意的aw[l,2],若不等式|/(3)|-『(々)|<8(3)-8(&)任意办,々且2,4](±<々)
恒成立,求实数k的取值范围.
试卷第4页,共4页
参考答案:
1.C
【分析】利用列举法表示出集合A,即可判断;
【详解】解:A={(x,y)|x+yM29wN}={(0,0),(0』),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},
故集合A中含有6个元素;
故选:C
2.A
【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.
【详解】如果[x]=[H=〃,〃wZ,则有%=〃+44=〃+』2,4,&€[°,1),
.-.\x-y\=|4-d21V1,所以[小3是—|<1的充分条件;
反之,如果|x-y|Vl,比如x=3.9,y=4.1,则有k一“0.2<1,
根据定义,国=3,卜]=4,国*国,即不是必要条件,
故卜]=m是卜-乂<1的充分不必要条件;
故选:A.
3.D
【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定/(x)的单调性,结合】可构造不等
式求得结果.
【详解】:〃X)==="(X+1)+3=T+-1-,\/(x)在[0,+向上单调递减,又“X)为
X+1X+1入+1
偶函数,
=,解得:或x>5,
.♦./(1)<1的解集为[«,3)1|(|,+℃).
故选:D.
4.A
【分析】利用X=2时y>o排除选项D,利用x=—2时y<0排除选项C,利用X时y<0
排除选项B,所以选项A正确.
答案第1页,共14页
【详解】函数y=的定义域为{小=±1}
产金=上>。,
当x=2时,可知选项D错误;
打-I*
(-2)-8八
当x=-2时,三=水]=强肛可知选项C错误;
当x=g时,
可知选项B错误,选项A正确.
故选:A
5.D
【分析】推导出函数〃x)是周期函数,且周期为8,以及函数f(x)在区间[-2,2]上为增函
数,利用函数的周期性和单调性可得出了(16)、/(-17)、/(18)的大小关系.
【详解】由题意可知/(x+8)=-/(x+4)=〃x),故函数〃x)是周期函数,且周期为8,
则〃16)=/(0),/(-17)=/(-1),/(18)=/(2),
因为奇函数〃x)在区间[0,2]上是增函数,则该函数在区间[-2,0]上也为增函数,
故函数〃x)在区间[-2,2]上为增函数,所以/(—1)</(0)<〃2),即
/(-17)</(16)</(18).
故选:D.
6.C
41v
【分析】依题意可得一+一=1,再利用乘“1”法及基本不等式求出X+:的最小值,即可得到
yx4
川+3m>4,解一元二次不等式即可.
41
【详解】解:因为x>0,y>0^4X+y=xy,所以一+—=1,
Vx
所以》+,=口+上](±+,〕=2+竺+上22+2、^^=4,
4V4八yxjy4x
当且仅当4一x=+y,即y=4x=8时等号成立,
y4x
答案第2页,共14页
所以加2+3〃?>4,即(相+4)(〃1-1)>0,解得帆<T或/>1,
所以用的取值范围是(y,Y)5i,+e).
故选:C
7.B
【分析】利用对数函数的性质不等式,然后结合函数的单调性得出结论.
(详解】题设不等式化为log21+》bg231,即1+231,
1+2'"33"吗)+(|),
易知y=+(1)是减函数,x<l时,y<|+|=l,
所以由不等式+(|)在S,1)上恒成立得a<\.
故选:B
8.C
【分析】不妨设等边的外接圆的半径为2,根据图形所作的辅助线,可求出边长,再
根据弧长公式即可求出答案.
【详解】不妨设等边AABC的外接圆的半径为2,
取BC的中点£>,连接OO,0C,则NOC3=30。.
由垂径定理的推论可知,OD±BC,
在RtjDCD中,OD=g()C=l,:.CD=C,:.边长BC=26
设该圆弧所刻圆心角的弧度数为6,
则由弧长公式可得,=丝=6.
故选:C
【点睛】本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式,理解以上知识和计
算方法是解决问题的关键.
答案第3页,共14页
9.AD
【分析】根据对数型复合函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】A正确,•••/—%+]=卜一;)+?>0恒成立,...函数〃》)的定义域为口;
B错误,函数/(x)=ln(f-x+1)在(;,+[上是增函数,在卜8,;]上是减函数;
C错误,由/_》+1=卜_£)-+:21可得〃刈=111(》2-犬+1)21弓,
.••函数〃x)的值域为In;,+8);
D正确,函数〃x)的图像关于直线x对称.
故选:AD.
10.CD
【解析】令y=0得/[f(x)]=-l,利用换元法将函数分解为/(x)=/和/。)=-1,作
出函数/(X)的图象,利用数形结合即可得到结论.
【详解】令y=/[〃x)]+l=O,得/[〃x)]=T,设/(X)=t,则方程/卜(切=—1等价
为/1⑺=-1.
①若4>0,作出函数/(x)的图象如图:•./(八=-1,
.•.此时方程/G)=-1有两个根其中f2<0,0<Z/<l,由/(x)=攵<0,此时x有两解,
由f(x)=t£(0,I)知此时x有两解,此时共有4个解,
即函数y="(x)J+1有4个零点.
②若ZV0,作出函数/(x)的图象如图:•.",(/)=-1,...此时方程/G)=-1有一个根
h,其中0<勿<1,
由f(x)=t£(0,I),此时x只有1个解,即函数]+1有-1个零点.
故选:CD.
答案第4页,共14页
解决本题的关键,属于难题.
11.ACD
【分析】把",”的相应值代入,结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可.
【详解】解:当机="=0时,a+h=ab>14ab,
当且仅当a=6=2时取等号,解得而24,故A正确;
a+b=ab<(^\,当且仅当a=6=2时取等号,
解得。+匕24,故B错误;
当机=0,〃=1时,a+b=\,贝ij勿+/?+。+1=3,
「广一121(2。+/?+人+14。+2b+2b+2
所以-----+----=------------+-------------
2a+bb+13(2a+b力+1
lf3+±LL+±L^klf3+2e+144+2”_3+2夜当日仅当―一
312a+bb+\1一31\2a+bb+1)3'三乂2a+Z?b+l
时取等号,所以C正确,
当机=1,〃=T时,a+b=ab-\<^^-1,当且仅当a=%时取等号,
解得a+Z?220+2(舍负),故D正确.
故选:ACD.
12.ACD
【分析】将已知条件转化为对数的形式,利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选
项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】正数x,y,z满足3*=4'=6=,设3*=4'=&=(>1),
答案第5页,共14页
则J=10g3,,y=10g4t,Z=log6t.
对于A,l+±=log,341ogz4=log,6=|,故A正确;
对于B,3x=31og3/,4y=41og/,6z=6Iog61,
3x31og/3,4I
v—=—^-=-log4<l,A3x<4y,
4y4logJ43
4y41og.r2,,I
•/7^=-----=-log6<l,,4y<6z,;.3x<4y<6z,故B错误;
6z610g6f34
对于c,由'=4+,-
>2—(x*2y),两边平方,可得町>2z:故C正确;
zx2y\2xy
1等+&Z(XH),),故D正确.
对于D,由Ay>2z2,可得工+丁>2,^>2屿?=2夜2>
故选:ACD
13.-2'4
4-v2>0
【分析】根据函数解析式有意义,列出不等式组2--版-2/。’解不等式即可得答案•
4—r>011
【详解】解:由题意得、,"、八,解得—24x<—:或-彳<》<2,
2X2-3X-2^022
所以函数的定义域是-2,-;卜卜利.
故答案为:々-J卜卜;,2).
14.1
【分析】先将函数化简变形得/(月=小2+1,然后构造函数g(x)=±0,可判断g(x)
X+1X"+1
为奇函数,再利用奇函数的性质结合/(x)=g(x)+l可得V+N=2,从而可求得结果
【详解】由题意知,〃x)==^+l(xe[-2,2]),
设g(x)=]号,则/(x)=g(x)+l,
因为g(r)=q^=-g(x),
所以g(x)为奇函数,
g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,
答案第6页,共14页
故M+N=2,
所以(〃+N_l)E=(2_l)M2
故答案为:1
15.-##0.2
5
【分析】分子分母同除以cos。,弦化切,进行求解.
■、乂〃力、八〜八Ei人…“口sinO-cos,tan,一12-11
【详解】分子分母同除以COS0得:云H罚=三雨=不存
故答案为:!
35
16.
416
【分析】利用指数函数的图象变换,分类讨论,根据单调性建立不等式求解即可.
【详解】函数y="i-l(a>0,且awl)的图象是将函数y="(a>0,且awl)的图
象向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到的,
故函数(。>0,且的图象恒过点(1,0).当0<〃<1时,结合函数”X)
0<。<1
若函数/(x)在区间(a,32;T)3(21),35
上单调递减,则丁角牟得
246
2
当。>1时,结合函数“X)的图象:
答案第7页,共14页
若在区间.,空I二0]上单调递减,则,a<3(2:T),无实数解.
\272
3(2”1)々
.2
综上,实数”的取值范围为.
(46J
解法二:
若1<"X<3(2aT),则优T_1>0,所以/(X)=卜产一1|在区间[4,警-羽上单调递增,
不符合题意;
当0<a<l时,函数y=/T在区间a,3(2;T)J上单调递减,要使函数/'(x)=|“i-"在区间
(3(247-1)^1上
--—上单调递减,
则在区间a,3(2;T)上恒成立,
0<〃<1
35f35
所以解得土).故实数〃的取值范围是
2
故答案为:(;,1•
146.
17.(1)/。)为奇函数,证明见解析
⑵(1,内)
答案第8页,共14页
【分析】(1)首先求出函数的定义域,再只要检验/(-X)与/(X)的关系即可判断;
(2)首先判断函数的单调性,再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的
不等式,然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解.
【详解】(D解:函数f(x)为奇函数,证明如下:
函数/(司=:3的定义域R,
因为“一力=汽=三“A力
所以/(X)为R上的奇函数;
(2)解:因为〃x)==二=1-三,因为f(x)=l+e*在定义域上单调递增,且r(x)=l+e,>l,
e+11+e
又丫=、在(1,内)上单调递增,
所以f(x)在R上单调递增,
则不等式/(改2+2)+/(2x-l)>0恒成立,即/(62+2)>-/(2》-1)恒成立,
即/(加+2)>/(l-2x)恒成立,
所以52+2>l-2x恒成立,即以2+2*+1>0恒成立,
fa>0
所以A彳/n'解得〃>1,
[A=4-4a<0
所以”的范围为(l,+°o).
18.(1)(-4,0]
(2)(«昌
【分析】(1)由如A/nx-lvO,对任意x£R恒成立,利用判别式法求解;
A
(2)由当无£[1,3]时,尸加+5恒成立,转化为m-----对x£[l,引时恒成立求解.
广一x+1
【详解】(1)解:要使/nf-m-lvO,对任意/ER恒成立,
若"2=0,显然一1<0,满足题意;
m<0
若,*0,则
=+4/n<0
解得~4v〃?v0
综上,-4<^t<0,即a的取值范围是(-4,0].
答案第9页,共14页
(2)当3]时,产加+5恒成立,
即当3]时,m(f-x+l)・6<0成立.
因为%2-x+l=(x_g)+|>0,且-x+l)-6<0,
所以〃2〈二----7,
厂一X+1
66
■y=-----------=-----------------z
因为函数f-x+1].1]+3在[1,3]上的最小值为
所以只需根<。即可,
即实数机的取值范围为,8,g).
19.⑴模型①;
-X2+8X-4,0<X<7
x-8
⑵1闿I,x>7
(3)当x=4克时产品的性能达到最佳.
【分析】(1)根据题中数据结合条件即得;
(2)结合待定系数法,代入数据运算即得;
(3)按04x<7,xN7分类,结合指数函数、二次函数的性质分别求最值,进而即得.
【详解】(1)模型①最能反映y和x(0<x<7)的关系,
由题可知x=0时,y=T,显然模型③不合题意,
若为模型②>=贝iJ&=T,y=-4a'<0不合题意,
故模型①最能反映y和x(0<x<7)的关系;
(2)当04x<7时,y=ax2+bx+c,(a*0),
由X=O,y=-4可得c=T,
由x=2,y=8得4a+2Z?=12,
由x=6,y=8得36。+66=12,
解得a=-1,b=8,
所以y=-f+8x-4;
答案第10页,共14页
当x?7时,>=(;),
由x=10,y=1,可得曾j'」,
解得加=8,即有y=(;).
-X2+8X-4,0<X<7
综上,可得y旧心7
(3)当0〈x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,
即有x=4时,性能指标值取得最大值12;
当XN7时,y=(;)单调递减,
所以当x=7时,性能指标值取得最大值3;
综上可得,当x=4克时产品的性能达到最佳.
20.⑴x=2
⑵[0,2].
【分析】(1)通过换元法将复合函数转化为以「为自变量的二次函数,整理之后求出令函数为
0的”直,求出对应x值即为其零点;
(2)求出/z(x)=0时&的表达式,通过换元法用f表示为,根据f的取值范围判断人的取值范围
即可.
【详解】(1)由/(x2)./(«)+2g(x)=0,得(3-4摩2力(3—log2X)+21og2X=0.
令ylog^x,因为xe[l,4],所以问0,2],
则原式可转化为(3-旬(3-/)+2/=0,化简为4/-⑶+9=0,
9
解得r=l或f(舍去),所以1呜%=1,所以x=2,
即函数y=/(x*/(6)+2g(x)在[1,4]上的零点为x=2.
答案第11页,共14页
2
(2)/?(x)=(4-21og2x)-log2=-2(log2x-l)+2-^,
令FlogzX,因为xe[l,4],所以fe[0,2],
令/i(x)=O,W*=-2(/-l)2+2,
因为fe[0,2],所以-2(f-l)2+2e[0,2],即实数火的取值范围为[0,2].
21.(1)a=—;
(2)(log23,+oo)
【分析】(1)根据=⑴,列出方程即可求得答案;
(2)由x>l,得lnx>0,所以"然后逐步转化即可得到答案.
【详解】(1)•.•/(X)是奇函数,且定义域为{x|xeR,x*0},
/(-1)=-/(D,即^^+〃=-(1+〃),
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