河南省信阳某中学2022-2023学年高一年级上册12月测试（二）数学试题（含答案解析）

河南省信阳高级中学2022-2023学年高一上学期12月测试

（二）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=｛（种）卜+、4296可，则A中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.无数个

2.若对于任意实数x,卜］表示不超过x的最大整数，例如［&］=1,［司=1,=-2,

那么“国=3”是中-y|<l"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知偶函数/（x）的定义域为R,当XG［O,M）时，〃X）=言，则/（工一1）<1的解

集为（）

5.已知定义在R上的奇函数满足“x-4)=-〃x),且在区间[0,2]上是增函数，

则()

A./(16)</(-17)</(18)B./(18)</(16)</(-17)

C./(16)</(18)</(-17)D./(-17)</(16)</(18)

6.若两个正实数x,y满足以+丫=孙且存在这样的x,y使不等式x+4〈苏+3机有

4

解，则实数加的取值范围是()

A.(-1,4)B.(-4,1)C.(一--4)=(1,+8)

D.(-<»,-3)=(0,+8)

7.若不等式iog2ll沁匕也•》(x-l)k)g23对任意x«F,l)恒成立，则实数a的范

围是()

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[0,+co)D.[l,+oo)

8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a(0<a<外的弧度数

为().

冗乃

A.—B.—C.\/3D.5/2

32

二、多选题

9.设函数/(x)=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是()

A.函数的定义域为RB.函数是增函数

C.函数f(x)的值域为RD.函数的图像关于直线x对称

10.已知函数=下列是关于函数y=/[〃x)]+i的零点个数的判断，

试卷第2页，共4页

其中正确的是（）

A.当4>0时，有3个零点B.当ZvO时，有2个零点

C.当4>0时，有4个零点D.当％<0时，有1个零点

11.已知正实数满足a+b=，/力+〃，则下列结论中正确的是（）

A.若"z=l,"=0,贝l]a/?N4

B.若，"=1,"=。，则a+644

C.若，"=0,〃=1,则」—+二-2.3+2夜

2a+bb+13

D.若m=1,九=一1,则〃+播+2

12.已知正数羽丁，2满足3*=4>=61则下列说法中正确的是（）

111°,2

A.-+—=-B.3x>4y>6zC.孙>2z~

x2yz

D.x+y>[^-+>/2z

三、填空题

13.函数y=的定义域为______.

•2X2-3X-2

14.设函数〃月=可三上在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则

（M+N-咪°”的值为.

sincos0

15.已知tan8=2,则

2sinJ+cos。

16.若函数/（幻=k1-1|（。>0,且在区间卬3（2；-1）|上单调递减,则实数

、L1

a的取值范围是

四、解答题

17.已知函数/（力=言|.

⑴判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；

（2）TxeR,不等式/（加+2）+/（2x-l）>0成立，求实数。的取值范围.

18.设函数尸的2-蛆-l.

（1）若对任意xGR,使得）<0成立，求实数机的取值范围；

(2)若对于任意xe[l,3],y<-,"+5恒成立，求实数相的取值范围.

19.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是

这种新材料的含量x(单位：克)的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当

0<x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：®y=ax2+hx+c.©y=k-ax

(a>0且。目)；③产出咋产(。>0且“片1)；其中A,a,b,c均为常数.当xN7时，

y其中m为常数.研究过程中部分数据如下表:

X(单位：克)02610......

-488......

y9

(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0Vx<7)关系的一个，并说明理由；

(2)求出y与x的函数关系式；

(3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳.

20.已知函数〃x)=3-2k>g2X,^(x)=log2x.

⑴求函数乃/(f)"(6)+2g(x)在[1,4]上的零点；

⑵若函数/?(x)=[/(x)+l}g(x)T在[1,4]上有零点，求实数人的取值范围.

21.已知函数7(刈=不二+。是奇函数.

2—1

(1)求。的值；

(2)若[/(x)—l}lnx<0,且x>l求x的取值范围.

22.已知函数〃x)=x+q-4,g(x)=fcr+3

⑴对任意的。44,6],函数|/(x)|在区间[1,向上的最大值为|〃，”)|,试求实数，”的取值

范围；

⑵对任意的aw[l,2],若不等式|/(3)|-『(々)|<8(3)-8(&)任意办,々且2,4](±<々)

恒成立，求实数k的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】利用列举法表示出集合A，即可判断；

【详解】解：A={(x,y)|x+yM29wN}={(0,0),(0』),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},

故集合A中含有6个元素；

故选：C

2.A

【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.

【详解】如果［x］=［H=〃,〃wZ,则有％=〃+44=〃+』2,4，&€［°，1)，

.-.\x-y\=|4-d21V1，所以［小3是—|<1的充分条件;

反之，如果|x-y|Vl,比如x=3.9,y=4.1,则有k一“0.2<1,

根据定义，国=3,卜］=4,国*国，即不是必要条件，

故卜］=m是卜-乂<1的充分不必要条件；

故选：A.

3.D

【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定/(x)的单调性，结合】可构造不等

式求得结果.

【详解】:〃X)==="(X+1)+3=T+-1-,\/(x)在［0,+向上单调递减，又“X)为

X+1X+1入+1

偶函数，

=,解得：或x>5，

.♦./(1)<1的解集为［«,3)1|(|,+℃).

故选：D.

4.A

【分析】利用X=2时y>o排除选项D,利用x=—2时y<0排除选项C,利用X时y<0

排除选项B,所以选项A正确.

答案第1页，共14页

【详解】函数y=的定义域为{小=±1}

产金=上>。，

当x=2时,可知选项D错误;

打-I*

(-2)-8八

当x=-2时，三=水］=强肛可知选项C错误;

当x=g时,

可知选项B错误，选项A正确.

故选：A

5.D

【分析】推导出函数〃x)是周期函数，且周期为8,以及函数f(x)在区间［-2,2］上为增函

数，利用函数的周期性和单调性可得出了(16)、/(-17)、/(18)的大小关系.

【详解】由题意可知/(x+8)=-/(x+4)=〃x),故函数〃x)是周期函数，且周期为8,

则〃16)=/(0),/(-17)=/(-1),/(18)=/(2),

因为奇函数〃x)在区间［0,2］上是增函数，则该函数在区间［-2,0］上也为增函数，

故函数〃x)在区间［-2,2］上为增函数，所以/(—1)</(0)<〃2),即

/(-17)</(16)</(18).

故选：D.

6.C

41v

【分析】依题意可得一+一=1,再利用乘“1”法及基本不等式求出X+：的最小值，即可得到

yx4

川+3m>4,解一元二次不等式即可.

41

【详解】解：因为x>0,y>0^4X+y=xy,所以一+—=1,

Vx

所以》+，=口+上］(±+，〕=2+竺+上22+2、^^=4,

4V4八yxjy4x

当且仅当4一x=+y，即y=4x=8时等号成立，

y4x

答案第2页，共14页

所以加2+3〃?>4,即(相+4)(〃1-1)>0,解得帆<T或/>1,

所以用的取值范围是(y,Y)5i,+e).

故选：C

7.B

【分析】利用对数函数的性质不等式，然后结合函数的单调性得出结论.

(详解】题设不等式化为log21+》bg231,即1+231,

1+2'"33"吗)+(|),

易知y=+(1)是减函数，x<l时，y<|+|=l,

所以由不等式+(|)在S,1)上恒成立得a<\.

故选：B

8.C

【分析】不妨设等边的外接圆的半径为2,根据图形所作的辅助线，可求出边长，再

根据弧长公式即可求出答案.

【详解】不妨设等边AABC的外接圆的半径为2,

取BC的中点£>,连接OO,0C,则NOC3=30。.

由垂径定理的推论可知，OD±BC,

在RtjDCD中，OD=g()C=l,:.CD=C，：.边长BC=26

设该圆弧所刻圆心角的弧度数为6,

则由弧长公式可得，=丝=6.

故选：C

【点睛】本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计

算方法是解决问题的关键.

答案第3页，共14页

9.AD

【分析】根据对数型复合函数的性质对选项逐一判断即可.

【详解】A正确，•••/—%+]=卜一；)+?>0恒成立，...函数〃》)的定义域为口；

B错误，函数/(x)=ln(f-x+1)在(；,+[上是增函数，在卜8,；]上是减函数；

C错误，由/_》+1=卜_£)-+:21可得〃刈=111(》2-犬+1)21弓，

.••函数〃x)的值域为In；,+8)；

D正确，函数〃x)的图像关于直线x对称.

故选:AD.

10.CD

【解析】令y=0得/[f(x)]=-l,利用换元法将函数分解为/(x)=/和/。)=-1,作

出函数/(X)的图象，利用数形结合即可得到结论.

【详解】令y=/[〃x)]+l=O,得/[〃x)]=T，设/(X)=t,则方程/卜(切=—1等价

为/1⑺=-1.

①若4>0,作出函数/(x)的图象如图：•./(八=-1,

.•.此时方程/G)=-1有两个根其中f2<0，0<Z/<l,由/(x)=攵<0，此时x有两解，

由f(x)=t£(0,I)知此时x有两解，此时共有4个解，

即函数y="(x)J+1有4个零点.

②若ZV0,作出函数/(x)的图象如图：•.",(/)=-1,...此时方程/G)=-1有一个根

h，其中0<勿<1,

由f(x)=t£(0,I),此时x只有1个解，即函数]+1有-1个零点.

故选：CD.

答案第4页，共14页

解决本题的关键，属于难题.

11.ACD

【分析】把"，”的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可.

【详解】解：当机="=0时，a+h=ab>14ab,

当且仅当a=6=2时取等号，解得而24,故A正确;

a+b=ab<(^\,当且仅当a=6=2时取等号,

解得。+匕24,故B错误;

当机=0,〃=1时，a+b=\,贝ij勿+/?+。+1=3,

「广一121(2。+/?+人+14。+2b+2b+2

所以-----+----=------------+-------------

2a+bb+13(2a+b力+1

lf3+±LL+±L^klf3+2e+144+2”_3+2夜当日仅当―一

312a+bb+\1一31\2a+bb+1)3'三乂2a+Z?b+l

时取等号，所以C正确,

当机=1,〃=T时，a+b=ab-\<^^-1,当且仅当a=%时取等号，

解得a+Z?220+2(舍负)，故D正确.

故选：ACD.

12.ACD

【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选

项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】正数x,y,z满足3*=4'=6=,设3*=4'=&=(>1),

答案第5页，共14页

则J=10g3，,y=10g4t,Z=log6t.

对于A，l+±=log,341ogz4=log,6=|,故A正确;

对于B,3x=31og3/,4y=41og/,6z=6Iog61,

3x31og/3,4I

v—=—^-=-log4<l,A3x<4y,

4y4logJ43

4y41og.r2,,I

•/7^=-----=-log6<l,，4y<6z,；.3x<4y<6z,故B错误;

6z610g6f34

对于c,由'=4+，-

>2—(x*2y),两边平方，可得町>2z:故C正确;

zx2y\2xy

1等+&Z(XH)，),故D正确.

对于D,由Ay>2z2,可得工+丁>2，^>2屿？=2夜2>

故选：ACD

13.-2'4

4-v2>0

【分析】根据函数解析式有意义，列出不等式组2--版-2/。’解不等式即可得答案•

4—r>011

【详解】解：由题意得、，"、八，解得—24x<—：或-彳<》<2,

2X2-3X-2^022

所以函数的定义域是-2,-；卜卜利.

故答案为：々-J卜卜;，2).

14.1

【分析】先将函数化简变形得/(月=小2+1,然后构造函数g(x)=±0,可判断g(x)

X+1X"+1

为奇函数，再利用奇函数的性质结合/(x)=g(x)+l可得V+N=2,从而可求得结果

【详解】由题意知，〃x)==^+l(xe［-2,2］),

设g(x)=］号，则/(x)=g(x)+l,

因为g(r)=q^=-g(x),

所以g(x)为奇函数，

g(x)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为0,

答案第6页，共14页

故M+N=2,

所以(〃+N_l)E=(2_l)M2

故答案为：1

15.-##0.2

5

【分析】分子分母同除以cos。，弦化切，进行求解.

■、乂〃力、八〜八Ei人…“口sinO-cos，tan，一12-11

【详解】分子分母同除以COS0得：云H罚=三雨=不存

故答案为：!

35

16.

416

【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.

【详解】函数y="i-l（a>0,且awl）的图象是将函数y="（a>0,且awl）的图

象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的,

故函数（。>0,且的图象恒过点（1,0）.当0<〃<1时，结合函数”X）

0＜。＜1

若函数/（x）在区间（a,32；T）3(21),35

上单调递减,则丁角牟得

246

2

当。>1时，结合函数“X）的图象:

答案第7页，共14页

若在区间.，空I二0］上单调递减，则,a<3（2：T）,无实数解.

\272

3（2”1）々

.2

综上，实数”的取值范围为.

（46J

解法二：

若1<"X<3（2aT）,则优T_1>0,所以/（X）=卜产一1|在区间［4,警-羽上单调递增，

不符合题意；

当0<a<l时，函数y=/T在区间a,3（2；T）J上单调递减,要使函数/'（x）=|“i-"在区间

（3（247-1）^1上

--—上单调递减，

则在区间a,3（2；T）上恒成立，

0<〃<1

35f35

所以解得土）.故实数〃的取值范围是

2

故答案为：（；，1•

146.

17.（1）/。）为奇函数，证明见解析

⑵（1,内）

答案第8页，共14页

【分析】（1）首先求出函数的定义域，再只要检验/（-X）与/（X）的关系即可判断；

（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的

不等式，然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解.

【详解】（D解：函数f（x）为奇函数，证明如下：

函数/（司=:3的定义域R,

因为“一力=汽=三“A力

所以/（X）为R上的奇函数；

（2）解：因为〃x）==二=1-三，因为f（x）=l+e*在定义域上单调递增，且r（x）=l+e，>l,

e+11+e

又丫=、在（1,内）上单调递增，

所以f（x）在R上单调递增，

则不等式/（改2+2）+/（2x-l）>0恒成立，即/（62+2）>-/（2》-1）恒成立，

即/（加+2）>/（l-2x）恒成立，

所以52+2>l-2x恒成立，即以2+2*+1>0恒成立，

fa>0

所以A彳/n'解得〃>1，

[A=4-4a<0

所以”的范围为（l,+°o）.

18.（1）（-4,0]

（2）（«昌

【分析】（1）由如A/nx-lvO,对任意x£R恒成立，利用判别式法求解；

A

（2）由当无£[1,3]时，尸加+5恒成立，转化为m-----对x£[l,引时恒成立求解.

广一x+1

【详解】（1）解：要使/nf-m-lvO,对任意/ER恒成立，

若"2=0,显然一1<0,满足题意;

m<0

若，*0,则

=+4/n<0

解得~4v〃?v0

综上，-4<^t<0,即a的取值范围是（-4,0].

答案第9页，共14页

(2)当3］时,产加+5恒成立,

即当3］时，m(f-x+l)・6<0成立.

因为%2-x+l=(x_g)+|>0,且-x+l)-6<0,

所以〃2〈二----7，

厂一X+1

66

■y=-----------=-----------------z

因为函数f-x+1］.1］+3在［1,3］上的最小值为

所以只需根<。即可，

即实数机的取值范围为,8,g).

19.⑴模型①；

-X2+8X-4,0<X<7

x-8

⑵1闿I,x>7

(3)当x=4克时产品的性能达到最佳.

【分析】(1)根据题中数据结合条件即得；

(2)结合待定系数法，代入数据运算即得；

(3)按04x<7,xN7分类，结合指数函数、二次函数的性质分别求最值，进而即得.

【详解】(1)模型①最能反映y和x(0<x<7)的关系，

由题可知x=0时，y=T,显然模型③不合题意，

若为模型②>=贝iJ&=T,y=-4a'<0不合题意，

故模型①最能反映y和x(0<x<7)的关系；

(2)当04x<7时，y=ax2+bx+c,(a*0),

由X=O,y=-4可得c=T,

由x=2,y=8得4a+2Z?=12,

由x=6,y=8得36。+66=12,

解得a=-1,b=8,

所以y=-f+8x-4；

答案第10页，共14页

当x?7时,>=(；),

由x=10,y=1,可得曾j'」，

解得加=8,即有y=(；).

-X2+8X-4,0<X<7

综上，可得y旧心7

(3)当0〈x<7时，y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,

即有x=4时，性能指标值取得最大值12；

当XN7时，y=(；)单调递减，

所以当x=7时，性能指标值取得最大值3；

综上可得，当x=4克时产品的性能达到最佳.

20.⑴x=2

⑵[0,2].

【分析】(1)通过换元法将复合函数转化为以「为自变量的二次函数，整理之后求出令函数为

0的”直，求出对应x值即为其零点；

(2)求出/z(x)=0时&的表达式，通过换元法用f表示为,根据f的取值范围判断人的取值范围

即可.

【详解】(1)由/(x2)./(«)+2g(x)=0,得(3-4摩2力(3—log2X)+21og2X=0.

令ylog^x,因为xe[l,4],所以问0,2],

则原式可转化为(3-旬(3-/)+2/=0,化简为4/-⑶+9=0,

9

解得r=l或f(舍去)，所以1呜%=1,所以x=2,

即函数y=/(x*/(6)+2g(x)在[1,4]上的零点为x=2.

答案第11页，共14页

2

(2)/?(x)=(4-21og2x)-log2=-2(log2x-l)+2-^,

令FlogzX,因为xe[l,4],所以fe[0,2],

令/i(x)=O,W*=-2(/-l)2+2,

因为fe[0,2],所以-2(f-l)2+2e[0,2],即实数火的取值范围为[0,2].

21.(1)a=—；

(2)(log23,+oo)

【分析】(1)根据=⑴，列出方程即可求得答案；

(2)由x>l,得lnx>0,所以"然后逐步转化即可得到答案.

【详解】(1)•.•/(X)是奇函数，且定义域为{x|xeR,x*0},

/(-1)=-/(D,即^^+〃=-(1+〃)，