21.3.3　用一元二次方程解决几何图形问题

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第3课时用一元二次方程解决几何图形问题

一般图形问题1234567891011121.如图将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的

正方形，剩下部分折成一个无盖的盒子，若这个无盖盒子的底面积为

900cm2，则盒子的容积是(

C

)A.3600cm3B.4000cm3C.4500cm3D.9000cm3C【解析】设剪去的正方形边长为

xcm，根据题意，得(40－2

x

)2＝900，解得

x1＝5，

x2＝35(不符合题意，舍去)，则盒子的容积为900×5＝4500(cm3).1234567891011122.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2

的矩形绿地，并且长比宽多10m.设绿地的宽为

xm，则长为

⁠

m.根据题意，可列方程为

⁠.3.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积

是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是

cm2.(10＋

x

)

(10＋

x

)

x

＝900

9

第3题图123456789101112【解析】观察题图可得，小长方形的长是宽的3倍，一个小长方形的面

积为135÷5＝27(cm2).设小长方形的宽为

xcm，则长为3

xcm.则方程为3

x

·

x

＝27，解得

x1＝3，

x2＝－3(不合题意，舍去)，所以小正方形的面积为9cm2.1234567891011124.如图，要围一个矩形菜园

ABCD

，其中一边

AD

是墙，且

AD

的长不

能超过26m，其余的三边

AB

，

BC

，

CD

用篱笆，且这三边的和为40

m.有下列结论：①

AB

的长可以为9m；②

AB

的长有两个不同的值满足

菜园

ABCD

面积为168m2；③菜园

ABCD

面积的最大值为200m2.其中，

正确结论的序号是

⁠.第4题图①③

123456789101112

边框与甬路问题5.如图，在长为12m，宽为8m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中

阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77m2，则道路的

宽为(

A

)A.1mB.1.5mC.2mD.2.5m【解析】设道路的宽为

xcm，根据题意，得(12－

x

)(8－

x

)＝77，解得

x1＝1，

x2＝19(不符合题意，舍去).A1234567891011126.如图所示，有一矩形土地，该土地长为

x

米，宽为120米，建筑商将

它分成了甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形.现计划将甲建设成住宅

区，将乙建设成商场，将丙开辟为公园.若已知丙地的面积为3200平方

米，则矩形土地长为

米.160或200

123456789101112【解析】根据题意，得丙的长为(

x

－120)米，宽为120－(

x

－120)＝(240

－

x

)米；则可列方程为(

x

－120)(240－

x

)＝3200，解得

x1＝160，

x2＝

200.123456789101112

动点问题7.如图，在长方形

ABCD

中，

AB

＝5cm，

BC

＝6cm，点

P

从点

A

开始

沿边

AB

以1cm/s的速度向终点

B

移动，与此同时，点

Q

从点

B

开始沿

边

BC

以2cm/s的速度向终点

C

移动.如果

P

，

Q

分别从

A

，

B

同时出

发，当点

Q

运动到点

C

时，两点停止运动.设运动时间为

t

s

.(1)填空：

BQ

＝

cm，

PB

＝

cm(用含

t

的代数式表示)；2

t

(5－

t

)

123456789101112(2)当

t

为何值时，

PQ

的长度等于5cm？解：根据题意，得(2

t

)2＋(5－

t

)2＝52，解得

t1＝0，

t2＝2.即当

t

＝0或2时，

PQ

的长度等于5cm.123456789101112

8.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形

状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓

鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(

B

)BA.4.5米B.5米C.5.5米D.6米1234567891011129.某中学有一块长30米，宽20米的矩形空地，计划在这块空地上划出四

分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度，设

花带(黑色部分)的宽度为

x

米，则可以列出的方程为

⁠

⁠.(30－2

x

)(20－

x

)

12345678910111210.如图，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝6cm，

BC

＝8cm，点

P

从点

A

出发沿边

AC

以1cm/s的速度向点

C

移动，同时，点

Q

从点

C

出发沿边

CB

以2cm/s的速度向点

B

移动.当点

Q

到达点

B

时，点

P

同时停止运动.(1)当运动多少秒时，△

PCQ

的面积为8cm2；123456789101112

123456789101112(2)△

PCQ

的面积能否等于△

ABC

的面积的一半？若能，求出运动的时

间，若不能，请说明理由.

123456789101112∵Δ＝

b2－4

ac

＝(－6)2－4×1×12＝36－48＝－12＜0，

∴方程无解.∴△

PCQ

的面积不能等于△

ABC

面积的一半.12345678910111211.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房

墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙

的一边留一个1m宽的门，当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪

舍面积为80m2？123456789101112解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为

xm则平行于墙的一边的长为

(26－2

x

)m，根据题意，得

x

(26－2

x

)＝80.化简，得

x2－13

x

＋40＝0.解得

x1＝5，

x2＝8.当

x

＝5时，26－2

x

＝16＞12(舍去)；当

x

＝8时，26－2

x

＝10＜12，符合题意.答：当所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m时，猪舍面积为80m2.123456789101112

12.

如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺

设矩形地板，请解答下列问题：(1)在第

n

个图形中每一横行共有

块瓷砖，每一竖列共有

⁠

块瓷砖(用含

n

的代数式表示)；(

n

＋3)

(

n

＋2)

123456789101112(2)第

n

个图形中共有

块瓷砖(用含

n

的代数式表示)；(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了1806块瓷砖，求此

时

n

的值.(

n2＋5

n

＋6)

123456789101112解：由(2)得，第

n

个图形中共有(

n2＋