高中数学《正、余弦定理在实际中的应用》导学案

.F第遇「解；.加形_____________________________

DIYIZHANG1.2应用举例

第1课时正、余弦定理在实际中的应用

卜课前自主预习

1.基线

在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做理基线」一般来说，基

线越长，测量的精确度理越高.

2.仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，回把视线在水平线上方的角称为仰角,阴视

线在水平线下方的角称为俯角.如图(1).

3.方向角

从指定方向到暨目标方向线所成的水平角.如南偏西60。，即以正南方向为

始边，顺时针方向向西旋转60。.如图(2)所示.

4.方位角

指从正北方向圆按顺时针转到目标方向线所成的水平角.如方位角是45。,

指北偏东45。,即东北方向.

5.视角

观察物体的两端，视线张开的凶夹角,如图(3).

6.坡角与坡度

国坡面与水平面所成的二面角叫做坡角,坡面的胆铅直高度与因水平宽

度之比叫坡度如图(4).

视线

眼睛＜.a

物体

水平面

视线

(3)(4)

□自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打"X")

(1)仰角与俯角都是与铅垂线所成的角.()

(2)方位角的范围是(0,兀).()

(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离.()

答案(1)X(2)义(3)义

2.做一做

(1)如图所示，OA,的方向角各是.

(2)43两点间有一小山，选定能直接到达点A,B的点C,测得AC=60m,

BC=160m,ZACB=60°,则A,3两点间的距离为.

(3)身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李

明此时的仰角为30°,则该旗杆的高度约为米(精确到0.1).

(4)(教材改编P”例1)如图所示，A,8两点在一条河的两岸，测量者在A的

同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C,测出AC=60m,

NBAC=75°,ZBCA=45°,则A,8两点间的距离为.

答案(1)北偏东60。，北偏西30°(2)140m(3)13.2

(4)2(A/6m

AHAC

解析(4)NA8C=180。-75。-45。=60。，所以由正弦定理，得菽=麻，

nACsinC60Xsin45°

4==2()V6m.

AB~^B~sin60°

卜课堂互动探究

探究1两点间有一点不可达到的距离问题

例1(1)A,B两点之间隔着一座小山，现要测量A,B两点间的距离，选择

在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量AC=50m,BC=40m,B在C

北偏东45。方向上，A在C西偏北15。方向上，求A3的长；

(2)如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸

边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得NC4B=75。，ZCBA=45°,且

100米.求该河段的宽度.

解(1)依题意知NACB=120。，AC=50m,BC=40m,应用余弦定理得

AB=ylAC2+BC2~2ACXBCcosZACB

=^502+402-2X50X40Xcos120°

=10761,故45的长为isjlim.

(2)在△CAB中，ZACB=180o-75°-45o=60°,

.-x±,日A3BC

由正弦定理「卜a

smZACBsmZCAB

innx#---+--也—

丁门ABsinZCAB1UU4

于是BC=.大----

sinZ/A“CBn=----------

2

=岑(3啦+加).

于是河段的宽度为d—BCsinZCBA=乎(3啦+#)X乎=(咨50)(米).

［条件探究］把本例(1)中“经测量AC=50m,BC=40m”改为“经测量/

CAB=30°,BC=40m,,又如何求A,B之间的距离？

解解法一：ZACB=120°,ZCAB=30°,

AZCBA=30°,VBC=40m,.\AC=40m.

，AB?=AG+3d—2XACXBCcos120°

=402+402-2X40X40X(-

=4800,

.\AB=4()V3m.

解法二：由正弦定理，得

BC_________AB

sinZCAB=sin(45°+75°)*

40AB

sin30o=sinl20°,

AB=4(A/3m.

拓展提升

三角形中与距离有关的问题的求解策略

(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余

弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形,

再利用正、余弦定理求解.

(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析

所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解

决.

【跟踪训练1】如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向

南航行，在8处测得小岛A在船的南偏东30。，航行30海里后，在C处测得小

岛在船的南偏东45。，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

解在△ABC中，8C=30海里，8=30。，ZACB=\35°,

：.ZBAC=15°,

AC30AC

由正弦正理sinA-sinB'即pnsinl5°-sin3O°，

心上=——=

sin15°sin（45°-30°）

___________15_______________15

sin45°cos30°—cos45°sin300册—也

4

=15（加+啦）（海里）,

，A到直线BC的距离为J=ACsin45°=15（^3+1）^40.98海里＞38海里，所

以继续向南航行，没有触礁危险.

探究2两点都不能到达的两点间距离问题

例2如图所示，隔河看两目标A,B,但不能到达，在岸边选取相距小千

米的C,。两点，并测得NAC3=75。，ZBCD=45°,ZADC=30°,ZADB=45\A,

B,C,。在同一平面内），求两目标A,8之间的距离.

解在△ACO中，VZADC=30°,ZACD=120°,

：.ZCAD=3Q°,：.AC=CD=y/3.

在△BOC中，ZCBD=180o-45°-75o=60°,

由工时京用出urSsin75。#+&

由正弦定理，付8C-sin60O-2•

由余弦定理，得4加=AC2+BC2—2ACXBCXcosZBCA.

，45=小(千米).

故两目标A,8间的距离为小千米.

拓展提升

求距离问题的注意事项

(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量,

则把未知量放在另一确定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

【跟踪训练2】如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸

打上两个桥位桩A,B,若要测算A,8两点之间的距离，需要测量人员在岸边定

出基线8C,现测得BC=50米，NA3C=105。，ZBCA=45°,则A,8两点的距

离为米.

A

答案5M

解析在△ABC中，BC=50米，ZABC=105°,ZBCA=45°,：.ZBAC=

180°—NABC—NBC4=180°—105。一45。=30。.

由正弦定理，得一无"=一^^「,

sinN3cAsmZBAC

.BCsinNBCA50><sin45。

,,AB=sinZBAC=sin30°

50X乎

=­j—=5的米）.

2

探究3测量高度问题

例3如图所示，在山顶铁塔上8处测得地面上一点A的俯角为a,在塔底

C处测得A处的俯角为△已知铁塔8C部分的高为h,求山高CD.

解在△ABC中，ZBCA=90°+/3,ZABC=90°~a,4BAC=a-B，ACAD

AC_________BC

根据正弦定理，得sinNABC=sinNBAC'

AC_BC

sin(90°—a)sin(a—/?),

BCcosakcosa

AC=

sin(a—p)sin(a一夕)

/?cosasin£

在Rt^ACO中，CD=ACsin/C4O=ACsin4=

sin(a—j6)

ZzcosasinQ

即山的高度为

sin(a一份'

拓展提升

1.解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解够

条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形.

2.测量高度的方法

对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角

形解决，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决.

【跟踪训练3】如图，测量河对岸的塔高48时，可以选与塔底8在同一

水平面内的两个测点。与D现测得NBCO=a,NBDC=0,CD=s,并在点C

测得塔顶A的仰角为仇求塔高AR

解在△BC。中，VZBCD=a,ZBDC=^,

/CBD=it—a—B，

工干口、占/,口BCCD

由正弦定理，何~/「an，

sinZBDCsinZCBZ)

CDsinZBDC・《

•R「=------------ssin

sinZCBDsin(a+份'

在RtAAfiC中'AB=BCtanZACB=~^^.

探究4测量角度问题

例4如图所示，在海岸A处发现北偏东45。方向，距A处（小一1）海里的B

处有一艘走私船，在A处北偏西75。方向，距A处2海里的。处的我方缉私船,

奉命以1即海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，

从B处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私

船？并求出所需时间.

解设缉私船应沿CD方向行驶r小时，才能最快截获（在。点）走私船，则

海里，80=107海里.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2=/1B24-AC2-2ABXACCOSA=(^/3-1)2+22-2(V3-1)X2XCOS1200=6,

海里.

..BC_AC

乂•sinA-sinNABC'

.ACXsinA2Xsin1200仍

..smZABC=—反—=—南一=2-

AZABC=45°,...B点在C点的正东方向上，

：.ZCBD=90°+30°=120o.

在△BC。中，由正弦定理，得

BD________CD

sinZBCD=sinZCBD'

./八BDXsinZCBD1Or-sin12001

..sinZBCD=CD=1Mt，

：.ZBCD=30°,

二缉私船应沿北偏东60。的方向行驶.

又在△BCD中，ZCBD=120°,ZBCD=30°,

：.ZD=30°.

：.BD=BC,即l(k=&,../=嚼小时七15分钟.

二缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分

钟.

拓展提升

测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并

在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得

的结果转化为实际问题的解.

拓展提升

【跟踪训练4]某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，

如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45。，距离为10

海里的C处，并测得货船正沿方位角为105。的方向，以10海里/小时的速度向前

行驶，我海军护航舰立即以1即海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和

靠近货船所需的时间.

解设所需时间为，小时，在△ABC中，根据余弦定理，有A4=AC2+3G

-2ACXBCcosl20°,可得(12。2=l()2+(］0r)2-2X10X10rXcosl20。，

整理得21—1=0,解得，=i或尸e(舍去)•

故护航舰需1小时靠近货船.

此时BC=10,

又AC=10,所以NCA8=30°,

所以护航舰航行的方位角为75°.

涕犍济1-------------------

f---------------------1

［规律小结］

1.解三角形应用题的步骤

(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的

关系.

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型.

(3)选择正弦定理或余弦定理求解.

(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算

要求.

2.解三角形在实际测量中的常见问题

(1)距离问题

可

个不

到一

达点

可到

一个

转

角

边解三

角和一

距已知两

离

间的距

到达点

形问题

离化

问

题

转

间的

点之

的两

到达

不可

，进

问题

边长

角形

求三

尼

距离

问题

第一类

化为

而转

度问题

(2)高

度问题

(3)角

弦

或余

弦值

的正

求角

定理

余弦

理和

弦定

用正

内利

角形

在三

就是

角度

测量

的角.

出所求

需要得

再根据

值，

策略

题的

决问

3.解

策略

问题

量高度

(1)测

先

因此

题，

的问

间中

是空

往往

问题

高度

测量

化：

的转

面”

“平

”向

“空间

三角

解直角

用“

，利

问题

平面

化为

题转

间问

.将空

平面

在的

段所

求线

好所

要选

想.

解题思

细规划

，仔

角形

有三

析所

面分