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文档简介
.F第遇「解;.加形_____________________________
DIYIZHANG1.2应用举例
第1课时正、余弦定理在实际中的应用
卜课前自主预习
1.基线
在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做理基线」一般来说,基
线越长,测量的精确度理越高.
2.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,回把视线在水平线上方的角称为仰角,阴视
线在水平线下方的角称为俯角.如图(1).
3.方向角
从指定方向到暨目标方向线所成的水平角.如南偏西60。,即以正南方向为
始边,顺时针方向向西旋转60。.如图(2)所示.
4.方位角
指从正北方向圆按顺时针转到目标方向线所成的水平角.如方位角是45。,
指北偏东45。,即东北方向.
5.视角
观察物体的两端,视线张开的凶夹角,如图(3).
6.坡角与坡度
国坡面与水平面所成的二面角叫做坡角,坡面的胆铅直高度与因水平宽
度之比叫坡度如图(4).
视线
眼睛<.a
物体
水平面
视线
(3)(4)
□自诊小测
1.判一判(正确的打“,错误的打"X")
(1)仰角与俯角都是与铅垂线所成的角.()
(2)方位角的范围是(0,兀).()
(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离.()
答案(1)X(2)义(3)义
2.做一做
(1)如图所示,OA,的方向角各是.
(2)43两点间有一小山,选定能直接到达点A,B的点C,测得AC=60m,
BC=160m,ZACB=60°,则A,3两点间的距离为.
(3)身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方,目测该旗杆的高度,若李
明此时的仰角为30°,则该旗杆的高度约为米(精确到0.1).
(4)(教材改编P”例1)如图所示,A,8两点在一条河的两岸,测量者在A的
同侧,且B点不可到达,测量者在A点所在的岸边选定一点C,测出AC=60m,
NBAC=75°,ZBCA=45°,则A,8两点间的距离为.
答案(1)北偏东60。,北偏西30°(2)140m(3)13.2
(4)2(A/6m
AHAC
解析(4)NA8C=180。-75。-45。=60。,所以由正弦定理,得菽=麻,
nACsinC60Xsin45°
4==2()V6m.
AB~^B~sin60°
卜课堂互动探究
探究1两点间有一点不可达到的距离问题
例1(1)A,B两点之间隔着一座小山,现要测量A,B两点间的距离,选择
在同一水平面上且均能直线到达的C点,经测量AC=50m,BC=40m,B在C
北偏东45。方向上,A在C西偏北15。方向上,求A3的长;
(2)如图,某河岸的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸
边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得NC4B=75。,ZCBA=45°,且
100米.求该河段的宽度.
解(1)依题意知NACB=120。,AC=50m,BC=40m,应用余弦定理得
AB=ylAC2+BC2~2ACXBCcosZACB
=^502+402-2X50X40Xcos120°
=10761,故45的长为isjlim.
(2)在△CAB中,ZACB=180o-75°-45o=60°,
.-x±,日A3BC
由正弦定理「卜a
smZACBsmZCAB
innx#---+--也—
丁门ABsinZCAB1UU4
于是BC=.大----
sinZ/A“CBn=----------
2
=岑(3啦+加).
于是河段的宽度为d—BCsinZCBA=乎(3啦+#)X乎=(咨50)(米).
[条件探究]把本例(1)中“经测量AC=50m,BC=40m”改为“经测量/
CAB=30°,BC=40m,,又如何求A,B之间的距离?
解解法一:ZACB=120°,ZCAB=30°,
AZCBA=30°,VBC=40m,.\AC=40m.
,AB?=AG+3d—2XACXBCcos120°
=402+402-2X40X40X(-
=4800,
.\AB=4()V3m.
解法二:由正弦定理,得
BC_________AB
sinZCAB=sin(45°+75°)*
40AB
sin30o=sinl20°,
AB=4(A/3m.
拓展提升
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余
弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,
再利用正、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析
所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解
决.
【跟踪训练1】如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向
南航行,在8处测得小岛A在船的南偏东30。,航行30海里后,在C处测得小
岛在船的南偏东45。,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?
解在△ABC中,8C=30海里,8=30。,ZACB=\35°,
:.ZBAC=15°,
AC30AC
由正弦正理sinA-sinB'即pnsinl5°-sin3O°,
心上=——=
sin15°sin(45°-30°)
___________15_______________15
sin45°cos30°—cos45°sin300册—也
4
=15(加+啦)(海里),
,A到直线BC的距离为J=ACsin45°=15(^3+1)^40.98海里>38海里,所
以继续向南航行,没有触礁危险.
探究2两点都不能到达的两点间距离问题
例2如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距小千
米的C,。两点,并测得NAC3=75。,ZBCD=45°,ZADC=30°,ZADB=45\A,
B,C,。在同一平面内),求两目标A,8之间的距离.
解在△ACO中,VZADC=30°,ZACD=120°,
:.ZCAD=3Q°,:.AC=CD=y/3.
在△BOC中,ZCBD=180o-45°-75o=60°,
由工时京用出urSsin75。#+&
由正弦定理,付8C-sin60O-2•
由余弦定理,得4加=AC2+BC2—2ACXBCXcosZBCA.
,45=小(千米).
故两目标A,8间的距离为小千米.
拓展提升
求距离问题的注意事项
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,
则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【跟踪训练2】如图所示,为了在一条河上建一座桥,施工前先要在河两岸
打上两个桥位桩A,B,若要测算A,8两点之间的距离,需要测量人员在岸边定
出基线8C,现测得BC=50米,NA3C=105。,ZBCA=45°,则A,8两点的距
离为米.
A
答案5M
解析在△ABC中,BC=50米,ZABC=105°,ZBCA=45°,:.ZBAC=
180°—NABC—NBC4=180°—105。一45。=30。.
由正弦定理,得一无"=一^^「,
sinN3cAsmZBAC
.BCsinNBCA50><sin45。
,,AB=sinZBAC=sin30°
50X乎
=j—=5的米).
2
探究3测量高度问题
例3如图所示,在山顶铁塔上8处测得地面上一点A的俯角为a,在塔底
C处测得A处的俯角为△已知铁塔8C部分的高为h,求山高CD.
解在△ABC中,ZBCA=90°+/3,ZABC=90°~a,4BAC=a-B,ACAD
AC_________BC
根据正弦定理,得sinNABC=sinNBAC'
AC_BC
sin(90°—a)sin(a—/?),
BCcosakcosa
AC=
sin(a—p)sin(a一夕)
/?cosasin£
在Rt^ACO中,CD=ACsin/C4O=ACsin4=
sin(a—j6)
ZzcosasinQ
即山的高度为
sin(a一份'
拓展提升
1.解决实际问题时,通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形,先解够
条件的三角形,再利用所得结果解其他三角形.
2.测量高度的方法
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题,由于不能直接通过解直角三角
形解决,可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决.
【跟踪训练3】如图,测量河对岸的塔高48时,可以选与塔底8在同一
水平面内的两个测点。与D现测得NBCO=a,NBDC=0,CD=s,并在点C
测得塔顶A的仰角为仇求塔高AR
解在△BC。中,VZBCD=a,ZBDC=^,
/CBD=it—a—B,
工干口、占/,口BCCD
由正弦定理,何~/「an,
sinZBDCsinZCBZ)
CDsinZBDC・《
•R「=------------ssin
sinZCBDsin(a+份'
在RtAAfiC中'AB=BCtanZACB=~^^.
探究4测量角度问题
例4如图所示,在海岸A处发现北偏东45。方向,距A处(小一1)海里的B
处有一艘走私船,在A处北偏西75。方向,距A处2海里的。处的我方缉私船,
奉命以1即海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,
从B处向北偏东30。方向逃窜.问:缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私
船?并求出所需时间.
解设缉私船应沿CD方向行驶r小时,才能最快截获(在。点)走私船,则
海里,80=107海里.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=/1B24-AC2-2ABXACCOSA=(^/3-1)2+22-2(V3-1)X2XCOS1200=6,
海里.
..BC_AC
乂•sinA-sinNABC'
.ACXsinA2Xsin1200仍
..smZABC=—反—=—南一=2-
AZABC=45°,...B点在C点的正东方向上,
:.ZCBD=90°+30°=120o.
在△BC。中,由正弦定理,得
BD________CD
sinZBCD=sinZCBD'
./八BDXsinZCBD1Or-sin12001
..sinZBCD=CD=1Mt,
:.ZBCD=30°,
二缉私船应沿北偏东60。的方向行驶.
又在△BCD中,ZCBD=120°,ZBCD=30°,
:.ZD=30°.
:.BD=BC,即l(k=&,../=嚼小时七15分钟.
二缉私船应沿北偏东60。的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分
钟.
拓展提升
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并
在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得
的结果转化为实际问题的解.
拓展提升
【跟踪训练4]某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出求救信号,
如图,我海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在方位角为45。,距离为10
海里的C处,并测得货船正沿方位角为105。的方向,以10海里/小时的速度向前
行驶,我海军护航舰立即以1即海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和
靠近货船所需的时间.
解设所需时间为,小时,在△ABC中,根据余弦定理,有A4=AC2+3G
-2ACXBCcosl20°,可得(12。2=l()2+(]0r)2-2X10X10rXcosl20。,
整理得21—1=0,解得,=i或尸e(舍去)•
故护航舰需1小时靠近货船.
此时BC=10,
又AC=10,所以NCA8=30°,
所以护航舰航行的方位角为75°.
涕犍济1-------------------
f---------------------1
[规律小结]
1.解三角形应用题的步骤
(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的
关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形的模型.
(3)选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中的单位、近似计算
要求.
2.解三角形在实际测量中的常见问题
(1)距离问题
可
个不
到一
达点
可到
一个
转
角
边解三
角和一
距已知两
离
间的距
到达点
形问题
离化
问
题
转
间的
点之
的两
到达
不可
,进
问题
边长
角形
求三
尼
距离
问题
第一类
化为
而转
度问题
(2)高
度问题
(3)角
弦
或余
弦值
的正
求角
定理
余弦
理和
弦定
用正
内利
角形
在三
就是
角度
测量
的角.
出所求
需要得
再根据
值,
策略
题的
决问
3.解
策略
问题
量高度
(1)测
先
因此
题,
的问
间中
是空
往往
问题
高度
测量
化:
的转
面”
“平
”向
“空间
三角
解直角
用“
,利
问题
平面
化为
题转
间问
.将空
平面
在的
段所
求线
好所
要选
想.
解题思
细规划
,仔
角形
有三
析所
面分
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