高考高中数学第14炼 函数的切线问题

第14炼函数的切线问题

一、基础知识：

(一)与切线相关的定义

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲

线在点A的切线。

(1)此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为

一个动态的过程，让切点A附近的点向A不断接近，当与A距离非常小时，观察直线A3是否稳定在一

个位置上

(2)判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数y=Y在(-1,-1)处的

切线，与曲线有两个公共点。

(3)在定义中，点B不断接近A包含两个方向，A点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无

论从哪个方向接近，直线A3的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A处的切线。对于一个

函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y=|x|在(0,0)处，通过观察图像可知，当无=()左边的

点向其无限接近时，割线的极限位置为y=—尤，而当尤=0右边的点向其无限接近时，割线的极限位置

为＞=%，两个不同的方向极限位置不相同，故y=|x|在(0,0)处不含切线

(4)由于点8沿函数曲线不断向A接近，所以若/(x)在A处有切线，那么必须在A点及其附近有定义

(包括左边与右边)

2、切线与导数：设函数y=/(x)上点A(x°，〃Xo))，/(x)在A附近有定义且附近的点

8(/+Ax,/(x0+Ax)),则割线AB斜率为：

k一/(x()+—)--仇)_/Go+词一〃/)

(x0+Ax)—x0Ax

当3无限接近A时，即Ar接近于零，.••直线AB到达极限位置时的斜率表示为：

一］"区+3一遍，

即切线斜率，由导数定义可知：『忠心坟匕八瑜。故/'(/)为"X)在

4(玉),/(%))处切线的斜率。这是导数的几何意义。

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点:

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极

限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在

导数

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子丁=国

在（0,0）处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，

观察极限位置是否相同即可

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：

y=也在（0,0）处不可导

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切

线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数。

（二）方法与技巧：

1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）

与切点，在利用点斜式写出直线方程

2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A的横坐标与,因为与可“一点两代”，代入

到原函数，即可得到切点的纵坐标了（%）,代入到导函数中可得到切线的斜率/'（%）=左，从而一点一

斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。

3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点己知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求

出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标（后,%）,再考虑利用条件解出核心要素

X。，进而转化成第一类问题

4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用△=（）求出参数值

进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像

为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：y=>J\-x2（图像为圆的

一部分）在（g,亭）处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析

式表示，像焦点在y轴的抛物线，可看作y关于x的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此

方法也为解析几何中处理焦点在y轴的抛物线切线问题的重要方法）

5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。”在某点处的切线”意味着该点即为切点，而

“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行

分类讨论了。

二、典型例题

例1：求函数/(x)=e"(3x_2)在x=l处的切线方程

思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线

方程

解：/(l)=e二切点坐标为(l,e)

/(x)=3e'+(3x-2)ex=(3x+l)ex

:.f(1)-4e二切线方程为：y-e=4e(x-l)=y=4ex-3e

小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函

数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用

例2：已知函数/(x)=lnx+2x,则：

(1)在曲线/(x)上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x-y—2=0平行

(2)在曲线/(x)上是否存在一点，在该点处的切线与直线x-y-3=0垂直

解：(1)思路：切点未知，考虑设切点坐标为(%,%),再利用平行条件求出与,进而求出切线方程

设切点坐标为(七,%)•••/(^o)=—+2由切线与4x-y-2=0平行可得：

/(%)」+2=4=/=l...%=/((]=]n(+l

/2\2J2

,切线方程为：y-l+ln2=4(x-g)ny=4x-ln2-1

(2)思路：与(1)类似，切点未知，考虑设切点坐标为(七,%),有垂直关系可得切线斜率与已知直线

斜率互为负倒数，列出方程求出与,进而求出切线方程

设切点坐标(%,%).-./(x0)=—+2,直线x—y—3=0的斜率为1

X。

f(工0)=—+2=—1=>%=-a而毛£(0,+00)

/3

.•.%=—L不在定义域中，舍去

03

不存在一点，使得该点处的切线与直线X-y-3=0垂直

小炼有话说：(1)求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求。两

直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件

(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域

内

例3：函数/(x)=alnx—区2上一点p(2,/(2))处的切线方程为y=-3x+21n2+2,求的值

思路：本题中求a,8的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P在直线y=-3x+21n2+2上，

.・.y=-3-2+21n2+2=21n2—4,即/(2)=21n2-4,得到a,匕的一个等量关系，在从切线斜率中得

到％=2的导数值，进而得到的另一个等量关系，从而求出a,8

解：产在y=—3x+21n2+2上，.-./(2)=-3-2+21n2+2=21n2-4

.•.”2)=aln2-4/?=21n2-4

又因为尸处的切线斜率为-3f'(x)=--2bx

"⑵=会你=一3

aIn2-4〃=2In2—4(。

a=2

<=>,

-a-4Z?=-3b=l

12i

小炼有话说：(1)本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；②切线的斜

率即为切点导数值

(2)一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中确定a,b两个

未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。

例4：曲线y=e*在点(2*2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()

2

A.e2B.2/C.4/D.—

2

思路：/(%)=由图像可得三角形的面积可用切线的横纵横距计算，进而先利用求出切线方程

.♦./(2)=e2所以切线方程为：y-e2=e2(x-2)即/x-y-/=0,

与两坐标轴的交点坐标为(1⑼(0,—e2)S=gx1x/=]

答案：D

小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求面积等问题

时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择底和高以计算简便为原

则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的两条直角边有助于简化计算。

7

例5：一点P在曲线＞=/一九+（上移动，设点「处切线的倾斜角为。，则角a的取值范围是（）.

337T3兀

A.0,1B.0微—71.71C.17171D.

44y5'7

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。y=3X2-\,对于曲线上任意一点P,斜

3

率的范围即为导函数的值域：y=3x2-le[-l,+oo）,所以倾斜角的范围是0,^—71、7t

4

答案：B

小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切值为斜率，斜

率即为切点的导数值。

（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：①斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅助，观察斜率

变化时，倾斜角的变化程度。②直线倾斜角的范围为[0,乃）

例6：求过点4（2,8）,且与曲线外力=%3相切的直线方程

思路：A（2,8）满足/（x）,但题目并没有说明A是否为切点，所以要分A是否为切点进行分类讨论。当

A是切点时，易于求出切线方程，当A不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点（后,%）,切线

斜率为左,三个未知量需用三个条件求解：①%=/（%）,®k=f（x0）,③埼=/F

解：⑴当A（2,8）为切点时/（x）=3x2

.1•/（2）=12.••切线方程为：y-8=12（x-2）=>y=12x-16

（2）当A（2,8）不是切点时，设切点尸（工,%）（玉）。2）,切线斜率为k

3

%=%3

%=3焉，消去％,方可得：3年=为二^

再一2

/一2

而XQ—8—（x。-2乂片+2xg+4）w2

二方程等价于：3x；=焉+2/+4=>X：一%-2=0

解得：/=2（舍），x0=-1

.-.yQ=-l,k=3二切线方程为y+l=3（x+l）ny=3x+2

综上所述：切线方程为y=12x-16或y=3x+2

小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从

而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另

一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子

（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点

来进行表示，进而增加可以使用的条件。

例7：设函数=V一办2_9x_ig<o）,若曲线y=/（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6

平行，求。的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为一12,进而可得导函数的最小值为

-12,便可求出a的值

解：f（x）=3x2-2tw-9=sfx2-+-9=3^-^«2-9

-FT5直线12x+y=6的斜率为—12,依题意可得:

——a2—9——12=>a-+3a<0

3

a——3

ao15

例8：若存在过点（1,0）的直线与曲线y=r和—9都相切，则a等于（）

4

A.—1或一325B.一1或2二1C.725D.一7,或7

6444644

、15

思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线了=奴2+」无一9含有参数，所以考虑先从常系数的曲线

4

y=/入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线丁=依2+?1一9求出。的值。设过（1。）的直线与

曲线y=/切于点（后，耳，切线方程为y一片=3%Q（x-x0），即y=3x1x-2xf）,因为（1,0）在切线上,

3327

所以解得：X。=0或九0=5,即切点坐标为（0,0）或.当切点（0,9时，由y=0与

,15

y=ax"H---x-9相切可得

4

（15A225M27A

△=—j-4a（—9）=0=>a=—石，同理，切点为解得a=-1

答案：A

小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以可以考虑先从

常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系

（2）在利用切线与y="2+—x-9求a的过程中，由于曲线），=⑪2^---x-9为抛物线，所以并没有

4-4

利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的△=（）来求解，减少了运算量。通

过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，

而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛

物线）

例9：（2014,北京）已知函数/（%）=2/一3%,若过点尸（1J）存在3条直线与曲线y=/（x）相切，求

，的取值范围

思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P为切点的切线，所以考虑先设切点（玉），％）,切线斜率为女，

则满足《,所以切线方程为y—%=Z（x-Xo）,即

=f=6x°-3

y—（2片—3~））=（6%—3）（万一%）,代入化简可得：f=—4年+6焉一3,所以若存在3条切

线，则等价于方程/=-4只+6焉一3有三个解，即y=f与g（x）=-4x3+6%2-3有三个不同交点，数

形结合即可解决

解：设切点坐标（毛,%）,切线斜率为k,则有：

,：。=；：二31二切线方程为：y_（2需_3%）=（6片_3）（%_/）

k=j）=ox0-3

因为切线过。（u）,所以将p（lj）代入直线方程可得：

，-（2W-3与）=（6片-3）（1-%）

t—（6x：-3）（1-%）+Q元;-3XQ）

=6XQ—3-6/+3尤0+2xg3XQ=-4冗+6工；—3

所以问题等价于方程t=-4片+6焉一3,令g（⑼=T/+6%2_3

即直线y=，与g(x)=-4x3+6f-3有三个不同交点

g(x)=-12x2+12x=-12x(x-l)

令g'(x)>0解得0<X<1所以g(x)在(-00,0),(1,+8)单调递减，在(0,1)单调递增

g(x)极大值=g⑴=Tg(X)极小值=g(0)=-3

所以若有三个交点，贝1€(-3,—1)

所以当1€(—3,—1)时，过点P(lj)存在3条直线与曲线y=/(x)相切

例10：已知曲线C:/=y，点P在抛物线上且P的横坐标为1,过P作斜率为左(左R0)的直线交。于

另一点Q，交x轴于加，过点。且与P。垂直的直线与。交于另一点N,问是否存在实数Z,使得直线

与曲线C相切？若存在，求出火的值，若不存在，说明理由。

思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析。点?(1,1),则可求出PQ:y=丘一人+1,从而与

抛物线方程联立可解得Q(A-1,(左-1『)，以及M点坐标，从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到

N点坐标。如果从M,N坐标入手得到MN方程，再根据相切(A=0)求左,方法可以但计算量较大。此

时可以着眼于N为切点，考虑抛物线V=y本身也可视为函数y=J,从而可以N为人手点先求出切线，

再利用切线过M代入M点坐标求k,计算量会相对小些。

解：由尸在抛物线上，且尸的横坐标为1可解得尸(1,1)

.•.设00:>—1=左(》一1)化简可得：y=kx-k+l

'2

《V=X消去y：Yc一6+左一i=o

y-kx-k-\-\

/.x}-l,x2=k-T

设直线QN:y—(左_1)2=即y=(4_]/_工[兀_(4_1)]

kk

由y=f可得：y'=2x

，切线MN的斜率kMN=y匕小=-2k-1+1

代入川—,0)得:

:.k-l+-=2k^k2+k-\=0

k

.-1±N/5

k=---------

2

小炼有话说：(1)如果曲线的方程可以视为一个函数(比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部

分)，则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算△=0简便

(2)本题在求N点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q的横坐标求出N的

横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题。

三、近年好题精选：

1、设函数/(x)=g(x)+d,曲线y=g(x)在点处的切线方程为y=2x+l,则曲线y=〃x)

在点处的切线方程为

2、已知直线丁="+1与曲线旷=丁+6+。切于点(1,3),则b的值为

3、若曲线G：y与曲线。2：y存在公切线，则a的最值情况为()

8484

A.最大值为二B.最大值为二C.最小值为二D.最小值为三

4、(2015,新课标H文)，已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=依2+(〃+2)x+I相切,

则a=______

5、(2015,陕西理)设曲线y=优在点(0,1)处的切线与曲线y='(x>0)上点P处的切线垂直，则P

X

的坐标为_________

6、(2014,广东)曲线y=e-5，+2在点(0,3)处的切线方程为

7、(2014,江西)若曲线y=e-'上点P处的切线平行于直线2x+y+l=0,则点P的坐标为

8、已知函数/(*)=二，则过原点且与函数/(X)图像相切的直线方程为—

9、已知函数/(x)=e'—(/—奴(aeR),若函数/(%)的图像在％=0处的切线方程为y=2x+。,

则a=,b-

习题答案：

1、答案：y=4x

解析：由切线过(l,g(l))可得：g(l)=3,所以/(l)=g(l)+f=4,另一方面，g'(l)=2,且

f'(x)=g(x)+2x,所以/(l)=g'(l)+2=4,从而切线方程为：y-4=4(x-l)=y=4x

2,答案：b=3

f(]]=a+b+1=3(a=-l

解析：代入(1,3)可得：k=2,f'(x)=3x2+a,所以有<'/、，解得《

f(l)=3+«=2g=3

3、答案：B

v—2

解析：设公切线与曲线G切于点(xX),与曲线c,切于点",。涛)，由彳可得：

[y=aex

aeX2—x22玉=——=>x,=2x-2-1)

2%=a*="—'，所以有(2，所以cz*=4马一4,即△2,,

X,-xe'2

x

2xl=ae-

设=,则/'(,)=%宁口)。可知在0,2)单调递增，在(2,+8)单调递减，所以

4

"max=/(2)=7

4,答案：8

解析：y=1+1,所以y|y=2,切线方程为y—l=2(x—l)ny=2x-l,联立方程

y=2x-1..

「，/.no?+0c+2=0,从而由相切可得：△=/—&z=0=a=8

y^ax-+(a+2)x+l

5、答案：(1,1)

解析：丁="的导数》="，所以左=yL=o=l,故尸处的切线斜率为—1,设切点「(公,%)，由

y=L的导数y'=--可得：--!=-1=>玉)=1，则>o='=l，即P点坐标(1,1)

XxxQx0

6、答案：y=—5x+3

解析：y=_5e%,所以y|户0=一5,则切线方程为：y-3=—5x=y=-5x+3

7、答案：(-ln2,2)

解析：y=-e-,因切点坐标未知，故设「(%,%),由切线与2x+y+l=0平行可知切线斜率为

-2,即>|,气=-e'=一2,解得：x0=-ln2,所以%=/1吟=2，即P点坐标(—ln2,2)

8、答案：y=—x

2e

解析：设切点坐标为(%,%)，切线的斜率为左，因为/'(力=上詈

.1-Inxn,

=

k~AoK_卜?-1一m%

,%lnx01-Inx0r-

•,•<%=、=--产=XQ=7e

人警X。X。

y0=—[%

X。

所以切线方程为：y^—x

2e

9、答案：a=-l,b=l

解析：将％=()代入到直线方程可得切点坐标为(0,b)

.•・。=/(0)=1

二直线方程为y=2x+l

f(x)=ex-x-af(0)=l-a=2na=-l

「•a=—l,b=1

一、光速解题一一学会9种快速解题技法

技法1特例法

在解答填空题时，可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等

来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验，失去了推理论证的演算

过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法.

典例1(特殊数值)求值:cos'+cos“a+120°)+cos2(a+2400)=.

3

答案2

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息：答案为一定值，于是不妨令a=0°,则原式

113

=COS20+COS2120°+COS2240°=1+4+4=2.

典例2(特殊点)点P为椭圆元+可=1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B

分别作y轴、X轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于

D、E两点，记矩形PMCN的面积为Sb三角形PDE的面积为S2,则S,：S产.

答案1

(4,2)99i

解析不妨取点P'5。则s产,57X(5-4)=5,PD=2,PE=M所以S2=2X2X

66

5=5,所以S1：Sz=l.

典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个X”都存在唯一的X2GD,使f(xj•f(X2)=l

成立,则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：

①''影子函数”f(x)的值域可以是R;

②“影子函数”f(x)可以是奇函数；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y=f(x)・g(x)是“影子函数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①：假设“影子函数”的值域为R,则存在X,.使得f(x)=O,此时不存在X?,使得

f(X1)•双加)=1,所以①错误;

1

对于②:函数f(x)=x(x#o),对任意的X|£(-8,0)U(0,+8),取X2-肛,则f(xi)•f(X2)=l,因为函

数f(x)=x(xW0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；

对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)="(x>0)都是“影子函数”，但F(x)=f(x)・g(x)=l(x>0)不

是“影子函数”(因为对任意的XIG(0,+8),存在无数多个xzW(0,+8),使得F(Xl)・F(X2)=1),所以③错

误.

Tp

典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线，令AbAC=b,过点E的

11

AP

直线分别交AB,AC于P,Q两点，且=ma,"Q=nb,则叫"=

(2)如图,在三棱柱的侧棱AR和BiB上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、

下两部分,则上、下两部分的体积之比为

A

答案(1)3(2)2：1

AP

解析(1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图，令PQ〃BC,则

-ABTn次

3,4Q=3，此时,m=n=

%44凡七「ABC=

⑵将P.Q置于特殊位置:PfA”Q-B,此时仍满足条件A产BQ(=O),则有

VABC-AiBiCi

-3-

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2：1的上、下两部分.

典例5(特殊图形)在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则

cos4+cosC

1+COSACOSC_

答案b

1cos4+cosC4

解析不妨令△ABC为等边三角形，则COSA=COSC=2,则1+COS4COSC=5

技法2换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来,或者

将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等

量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂

问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1(三角换元)已知x,yGR,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y'的取值范围是.

答案［4,⑵

解析己知x2+2xy+4y=6,

即（x+y），（%=（号,

司sa,Sina,

故设x+y=A

Ain

即x=圾osa-Aina,y=a.

则z=x?+4yJ6-2xy=6-2("cosa-&sina)•Aina

Qa+9

=8-4sin

所以8-4WzW8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2（整体代换）函数y=sinx-cosx+sinxcosx,xG[0,n]的最小值是.

答案T

解析设t=sinx-cosx=圾in

i-t2

则sinxcosx=

因为x£[0,五]，所以x-

所以&],

1--1

所以尸t+2=-"(tT)?+l,当t=-l时，y.tn二一1.

4(a+l)2a((a+1)2

2aa+1+10g4a2>0恒成立，

典例3（局部换元）设对一切实数x,不等式xlog2+2xlog22

求a的取值范围.

2a4(a+l)8(a+Da+12a

a+12a2a=3-loga+1=3-t,log

解析设log2=t,则10g20=log2=3+log222

(a+1)2a+1

4a=21og220=-2t,则原不等式化为(3-t)x「+2tx-2t>0,它对一切实数X恒成立，所以

(3-t>0,(t<3,2a2a

(△=4^4-81(3-1)<0,解得或t>6,所以t〈o,即i

og2a+1<0,所以0<a+Ll,解得

0<a<l.

技法3数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,

借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，以数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数

的性质；二是几何问题代数化，借助数的精确性阐明形的某些属性，即以数为手段，以形为目的，如应用曲线

的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a-b=0,则(a-c)•(b-c)的最小值为.

答案1-⑪

解析由于(a-c)•(b-c)=-(a+b)•c+1,因此求(a-c),(b-c)的最小值等价于求(a+b)•c的最大值，

这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a・b=O,故aJ_b,如图所示，|a+b|二

泥，c|=1,当。=0时，(a+b)•c取得最大值迎,故所求的最小值为1-4.

典例2(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数，设f(x)=min{2\x+2,10-

x)(x^O)JllJf(x)的最大值为.

(2)设函数函X)=X2-2(X£R),

(g(x)+x+4,xvg(%),

f(x)(x)-x,x>g(x),则f(x)的值域是

；-0

答案(1)6(2)U(2,+8)

解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2*,y=x+2,y=10-x的图象(如图)，观察图象可知f(x)=

r2x(0<x<2),

*x4-2(2<x<4),

10-x(x>4),

(x)的最大值在x=4时取得,为6.

X2-2+x+4,xvX2-2,

22

(2)依题意知f(x);JC-2-X,x>X-2,

“2+x+2,xVT或x>2,

即f(x)=.X2-2-X,-1<X<2,作出图象如下(加粗部分)，由图象可知f(x)的值域是

dog2(x+l),xe[0,1),

3x+—,[1,十°°),

典例3己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)=22'''则关于x的

方程f(x)+a=0(0<a<l)的所有根之和为.

答案1-2°

rlog2(x+l),xG[o,1),

壮》2-3x+2,xG[1,+°°)

，

解析在平面直角坐标系中作出函数f(x)=22'以及y=-a的图象，由图象

可知，关于x的方程f(x)+a=0(0<a<l)共有5个根，这5个根由小到大依次记为xi,X2,x”x"x$,则xi+x2=-

aaa

6,x.i+xo=6,由一l0g2(-X3+I)=一a得X3=l-2,所以XI+X2+X3+X4+X5=-6+(l-2)+6=l-2.

：3-

：2

.,0/

i-2-।

(2x+”2,

卜＞0,

(x+yN0时,不等式x2+yZ+2y22a-l恒成立,则

典例4(不等式问题)已知当动点P(x,y)满足

实数a的取值范围是_______.

f-oo11

答案1'4」

'2x+y<2,

x>0,

解析动点P(x,y)满足的约束条件为"+y‘0，其可行域如阴影部分所示.x2+y2+2y=x2+(y+l)2-

1,其中/+(丫+1产表示点(x,y)到点(0,-1)的距离的平方，

由图可知，点A(0,T)到直线y=-x的距离的平方就是x?+(y+l尸的最小值，

由点到直线的距离的平方得/+«+1产的最小值为'丘)二,

11

因此xz+y2+2y=xz+(y+l)2-l的最小值为'1=-彳

11

所以由不等式恒成立的条件知2aTW-1解得t故实数&的取值范围是

典例5(解析几何问题)若抛物线y'2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和

6,则点M的横坐标为.

答案9或1

解析在图⑴中，MN=MF=10,MG=6,；.FG=8,故AF=2,则xM=0F+FG=9,/.M的横坐标为9.在图⑵

中，GF=8,.•.AF=10+8=18,；.0G=AG-0A=10-9=l,故M的横坐标为1.

技法4待定系数法

待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为解方程(组)的问

题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学表达式的情况，例如求函数

解析式、求曲线方程、求数列的通项公式等问题.

典例1(求函数解析式)(1)己知f(x)是一次函数,且满足3f(x+l)-2f(x-l)=2x+17,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,求f(x知

解析(1)设f(x)=ax+b(aW0),

则f(x+l)=ax+a+b,f(x-l)=ax-a+b,

.*.3f(x+l)-2f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,

fa=2,(a=2

...U+5a=17,解得l匕=7,f;.f(x)=2x+7.

(2)设f(x)=ax2+bx+c(aWO),

由f(0)=0,知c=0,Af(x)=ax2+bx.

Vf(x+1)=f(x)+x+l,

a(x+l)2+b(x+l)=axJ+bx+x+1,

.\ax~+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

2Q+匕=匕+1,

“+匕=1，解得

11

f(x)='x.

典例2(求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1.已知点C在1上,

以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若NFAC=120°,则圆的方程为.

V3

(2)已知椭圆C的焦点在x轴上，其离心率为2,且