圆与圆的位置关系课件 大单元教学 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

人教版2019高一数学（选修一）第二章直线和圆的方程2.5.2

直线的点斜式方程目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标1.能根据给定圆的方程，用代数法判断圆与圆的位置关系（重难点）2.能根据给定圆的方程，用几何法判断圆与圆的位置关系（重点）3.两圆相交与相切问题（易错点）情景导入 “打水漂”游戏别名轻功水上漂、七点漂、漂瓦.人们用扁形瓦片或石片,在手上呈水平放置后,用力飞出,石片擦水面飞行,石片碰水面后弹起再飞,石片不断在水面上向前弹跳,直至沉水.

在这一过程中,石片与水面接触形成了一个个逐渐扩大的圆,这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?1.圆与圆的位置关系新知探究我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？O1O2两圆相交O1O2O1O2两圆相切O1O2O1O2两圆相离内切外切外离内含两圆无公共点两圆有一个公共点两圆有两个公共点问题2类比直线与圆的位置关系几何法：比较d与r之间的大小关系，你能归纳圆与圆的位置关系几何法的比较方式吗？O1O2两圆相交O1O2O1O2两圆相切O1O2O1O2两圆相离外离

内含

外切

内切

概念归纳设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，圆心距|C1C2|=d，则圆与圆位置关系的判定(1)圆和圆外离(2)圆和圆外切(3)圆和圆相交(4)圆和圆内切(5)圆和圆内含

课本例题解法一:把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得∴圆C1与圆C2相交.yxABC2C1

课本例题解法二:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组①-②，得联立①③，消去y，可得方程④的根的判别式△>0，所以方程④有两个不相等的实数根x1=-1，x2=3.yxABC2C1两圆有两个公共点，连接这两个公共点的线段叫公共弦，你能求它的方程吗？代人方程③，得到y1=1，y2=-1.因此圆C1与圆C2有两个公共点A(-1,1)，B(3,-1)，这两个圆相交.

课本例题解:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组①-②，得联立①③，消去y，可得yxABC2C1A(-1,1)，B(3,-1)

两圆有两个公共点，连接这两个公共点的线段叫公共弦，你能求出它的方程吗？思考探究yxABC2C1

A(-1,1)，B(3,-1)消去y，可得方法一：将圆C1与圆C2的方程联立，方法二：将圆C1与圆C2的方程相减，得到

公共弦长的求法:方法一：

将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．方法二：

求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．概念归纳

思考探究

思考探究什么是轨迹？举例1举例2轨迹就是一个几何图形，是满足一定条件的点，常常把图形看成点的集合或点运动形成的轨迹.所以求轨迹，就是求一个几何图形.求轨迹的方程就是求几何图形的方程。

课本例题我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。

课本例题

AOBPMxy课本例题

思考探究概念归纳把几何问题求轨迹转化成代数问题求轨迹方程，再通过轨迹方程的代数特征回归到它是什么轨迹这个问题的结论中，这就是利用坐标法解决轨迹问题的基本步骤

坐标法求轨迹方程的步骤：建、设、限、代、化、检。

判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的个数问题.

相交弦及轨迹问题的解决1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.公共弦长度可以用交点得距离公式，也可以用勾股关系求解.2.坐标法求轨迹问题：建、设、限、代、化、检.概念归纳当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？题型1两圆位置关系的判定典例剖析1．几何法判断圆与圆的位置关系的步骤(1)将两圆的方程化为标准方程；(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．2．代数法判断圆与圆的位置关系的注意点(1)由Δ＝0得两圆相切，但无法区分内切或外切．(2)由Δ<0得两圆相离，但无法区分内含或外离．归纳总结1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1与圆C2的位置关系；(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？练一练练一练

(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m的值可以是 (

)A．16 B．7C．－4 D．－7题型2与两圆相切有关的问题典例剖析探究一已知两圆相切求变量范围AC典例剖析题型2与两圆相切有关的问题探究二

两圆的公切线问题BBCD已知直线l：y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2y＝0，动圆M与l相切，且与C内切．当M的圆心距直线g：x－y－2＝0最近时，求M的方程．

典例剖析题型3与两圆都相切的轨迹问题处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．归纳总结2．已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x－3)2＋y2＝9外切，则动圆的圆心M的轨迹方程是 (

)A．y2＝12x(x>0)B．y＝0(x<0)C．y2＝12xD．y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)练一练D练一练3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________．【解析】若圆C与圆O外切，则rc＋1＝5，所以rc＝4.若圆C与圆O内切，因为点C在圆O外，所以rc－1＝5，所以rc＝6.所以圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36练一练已知⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由．典例剖析

题型4与两圆相交有关的问题归纳总结1．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．2．两圆相交时，过交点的直线或圆的方程的求法已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，其中λ为任意实数．当两圆C1，C2相交时．①若λ＝－1，则方程表示过两圆C1，C2的交点的直线；②若λ≠－1，则方程表示过两圆C1，C2的交点的圆系方程(但方程所表示的圆不包括圆C2，圆系中的一切圆都和C1，C2相交)．4．将本例中⊙A的方程改为x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，⊙B的方程改为x2＋y2－4x＋2y－11＝0，如何解答？练一练练一练练一练5．(拓展练)求经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程．解：设过圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0①，把点M(2，－2)代入①，得λ＝1.把λ＝1代入①，化简得x2＋y2－3x－2＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x－2＝0.1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(

)A.内切 B.相交 C.外切 D.外离2.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为(

)A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x±4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36BD随堂练随堂练3.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是

.

4.已知圆x2+y2=9与圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)有公共点,则r的取值范围是

.

4x+3y-2=0[2,8]课本练习习题2.5OMECxyABMCC1解法二：相交圆系BACOxyBACOxy解法二：相交圆系CABMOxyNCFE11.如图，某台机器的三个轮齿，A和B啮合，C和B也啮合.若A轮的直径为200cm，B轮的直径为120cm，C轮的直径为250cm，且∠A=45°.试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离(精确到1cm).错因分析易错辨析忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错．过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为(

)A．x－y＋11＝0B．x－y－11＝0C．x＋y＋11＝0D．不存在D错因分析易错警示：忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A.纠错心得：只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定分层练习-基础1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(

)A．内切 B．相交C．外切 D．外离2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(

)A．1条 B．2条C．3条 D．4条BC分层练习-基础3．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有(

)A．1条 B．2条C．3条 D．4条CC分层练习-基础5．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为________．6．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于________．7．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________．8．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．2±1±5x＋y－3＝0分层练习-基础分层练习-基础分层练习-基础10．已知过点M(0,2)且斜率为k的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点．(1)求斜率k的取值范围；(2)以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；(3)O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．分层练习-基础分层练习-基础分层练习-巩固C分层练习-巩固12．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0