椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conicsections）．3.1.1椭圆及其标准方程探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．MF1F2这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．问题1：椭圆的定义，完成以下表格做一做:下列说法正确的是(

)A.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D.到F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析:A中,|F1F2|=8,故到F1,F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2;B中,到F1,F2两点的距离之和6小于|F1F2|,故这样的轨迹不存在;C中,根据椭圆的定义,知轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.答案:COMxyF1F2图3.1-2思考观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？设为2a能为问题研究带来方便．OPxyF1F2图3.1-3OxyF1F2图3.1-4M这个方程也是椭圆的标准方程．问题2：椭圆的标准方程，完成以下表格

做一做:已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(

)A你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);分析:求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a,b的值,若不能确定焦点位置,则要讨论焦点在x轴上还是在y轴上.解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,(3)(方法一)①当椭圆的焦点在x轴上时,②当椭圆的焦点在y轴上时,反思感悟

1.利用待定系数法求椭圆的标准方程:(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算.ODPMyx图3.1-5ODPMyx思考由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？OABMxy图3.1-6OABMxy图3.1-614ABAB4.如图，圆