2024五年高考题分类训练（数理）二 函数概念与基本初等函数Ⅰ

PAGE1专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ考点3函数的概念、图象和性质题组一、选择题1.[2023新高考卷Ⅰ，5分]设函数fx=2xx-aA.(-∞,-2] B.[-2,0) C.[解析]解法一由题意得y=xx-a在区间0,1单调递减，所以x=解法二取a=3，则y=xx-3=x-322-94在0,1单调递减，所以fx=2.[2023新高考卷Ⅱ，5分]若fx=x+aA.-1 B.0 C.12[解析]设gx=ln2x-12x+1，易知gx的定义域为-∞,-12∪12,+∞，且g-【速解】因为fx=x+aln2x-3.[2023全国卷乙，5分]已知fx=xexA.-2 B.-1 C.1[解析]解法一fx的定义域为{x|x≠0}，因为fx是偶函数，所以fx=f-x，即xexeax-1=解法二fx=xexeax-1=xea-1x-e-x4.[2023天津，5分]函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能为(A.fx=5ex-e-xx2+2[解析]解法一由题图可知函数fx的图象关于y轴对称，所以函数fx是偶函数.对于A，fx=5ex-e-xx2+2，定义域为R，f-x=5e-x-exx2+2=-fx，所以函数fx=5ex-e-xx2+2是奇函数，所以排除A；对于B，fx=解法二由题图可知函数fx的图象关于y轴对称，所以函数fx是偶函数.因为y=x2+2是偶函数，y=ex-e-x是奇函数，所以fx=5ex-e-xx2+2是奇函数，故排除A；因为y=x【方法技巧】若两函数的定义域相同，则奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数.5.[2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=aex-lnA.e2 B.e C.e-1 [解析]因为函数fx=aex-lnx，所以f'x=aex-1x.因为函数fx=aex-lnx在1,2单调递增，所以f'x≥0在1,2恒成立，即aex-1x≥0在1,6.[2022北京，4分]已知函数fx=11+A.f-x+fx=0 B.f-x[解析]函数fx的定义域为R，f-x=11+27.（2022全国卷甲，5分）函数y=3x-3A.B.C.D.[解析]令y=fx，则f-x=3-x-3xcos-x=-3x-3【速解】取x=1，则y=3-8.[2022新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx的定义域为R,且fx+y+fxA.-3 B.-2 C.0[解析]因为f1=1，所以在fx+y+fx-y=fxfy中，令y=1，得fx+1+fx-1=fxf1，所以fx+1+fx-1=fx①，所以fx+2+fx=fx+1②.由①②相加，得fx+2+fx9.[2022全国卷乙，5分]已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+g2-x=5，gxA.-21 B.-22 C.-23 [解析]由y=gx的图象关于直线x=2对称，可得g2+x=g2-x.在fx+g2-x=5中,用-x替换x，可得f-x+g2+x=5，可得f-x=fx①,所以y=fx为偶函数.在gx-fx-4=7中，用2-x替换x,得g2-x=f-x-2+7，代入10.[2021全国卷乙，5分]设函数fx=1A.fx-1-1 B.fx-1+[解析]因为fx=1-x1+x对于A,Fx=fx-1-1=2-xx-1=2-2xx,定义域关于原点对称，但不满足Fx=-F故选B.【速解】fx=1-x【方法技巧】常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1)，y=cosx，y=x11.[2021浙江，4分]已知函数fx=x2+A.y=fx+gx-14 B.y[解析]易知函数fx=x2+14是偶函数，gx=sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数.选项A，y=fx+gx-14=x2+sinx为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y=fx-gx-14=x212.（2021全国卷甲，5分）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈[1A.-94 B.-32 C.74[解析]由于fx+1为奇函数，所以函数fx的图象关于点1,0对称，即有fx+f2-x=0，f1=0，所以a+b=0①.由于fx+2为偶函数，所以函数根据函数fx的图象关于直线x=2对称，且关于点1,0对称，可得函数f13.[2021新高考卷Ⅱ，5分]设函数fx的定义域为R，且fx+2为偶函数，A.f-12=0 B.f-1=0[解析]因为函数fx+2是偶函数，所以fx+2=f-x+2，函数fx的图象关于直线x=2对称.因为函数f2x+1是奇函数，所以f1=0，且函数fx【方法技巧】若fx+f2a-x=2b,则fx的图象关于点a,b对称；若fx-a=14.[2020新高考卷Ⅰ，5分]若定义在R的奇函数fx在-∞,0单调递减，且f2=0,则满足xfA.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1[解析]由题意知fx在-∞,0,0,+∞单调递减，且f-2=f2=f0=0.当x>0时,令fx-1≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x【速解】当x=3时,f3-115.（2019全国卷Ⅲ，5分）设fx是定义域为R的偶函数，且在0,+∞单调递减，则(A.flog314>C.f2-32>[解析]根据函数fx为偶函数可知，flog314=f-log34=flog3416.（2019全国卷Ⅱ，5分）设函数fx的定义域为R，满足fx+1=2fx，且当x∈(0,1A.(-∞,94] B.(-∞,73] C.[解析]当-1<x≤0时，0<x+1≤1，则fx=12fx+1=12xfx=…12x+1x,-1<x≤0,xx-1,0<x≤1,2x-1x-2,1<x二、填空题17.[2023全国卷甲，5分]若fx=x-1[解析]解法一因为fx为偶函数，所以f-x=fx，即解法二因为fx为偶函数，所以f-π2=fπ218.[2022北京，5分]函数fx=1[解析]因为fx=1x+1-x，所以x19.[2022北京，5分]设函数fx=-ax+1,x<[解析]当a=0时，函数fx=1,x<0,x-22,x≥0存在最小值0，所以a的一个取值可以为0；当a<0时，若x<a，fx=-ax+1，此时函数fx不可能存在最小值；当0<a≤2时，若x<a，则fx=-ax+1，此时fx∈-a2+1,+∞20.[2021新高考卷Ⅰ，5分]已知函数fx=x3a[解析]因为fx=x3a⋅2x-2-x的定义域为R，且是偶函数，所以f-x=fx对任意的x【速解】因为fx=x3a⋅2x-2-x的定义域为21.[2021浙江，4分]已知a∈R，函数fx=x2-[解析]因为6>2，所以f6=6-4=22.[2021新高考卷Ⅱ，5分]写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx:fx①fx1x2=f[解析]若函数fx=x2，则fx1x2=x12x22，fx1=x12,fx223.[2020北京，5分]函数fx=1[解析]函数fx=1x+1+ln24.[2020江苏，5分]已知y=fx是奇函数，当x≥0时，f[解析]由题意可得f-825.[2019全国卷Ⅱ，5分]已知fx是奇函数，且当x<0时，fx=-eax[解析]因为函数fx为奇函数，所以fln2=-考点4指数函数、对数函数、幂函数题组选择题1.[2023天津，5分]若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5A.c>a>b B.c>b>a[解析]解法一因为函数fx=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数解法二因为函数fx=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数hx=x0.5在0,+∞2.[2022天津，5分]已知a=20.7,b=1A.a>c>b B.b>c>a[解析]因为a=20.7>20=1，0<b=3.[2022天津，5分]化简2log43A.1 B.2 C.4 D.6[解析]2log43+log4.[2022新高考卷Ⅰ，5分]设a=0.1e0.1,b=A.a<b<c B.c<b<a[解析]设ux=xex0<x≤0.1,vx=x1-x0<x≤0.1,wx=-ln1-x0<x≤0.1，则当0<x≤0.1时，ux>0，vx>0，wx>0.①设fx=ln[ux]-ln[vx]=lnx+x-[lnx-ln1-x]=x+ln1-x0<x≤0.1，则f'x=1-11-x=xx-1【速解】a=0.1e0.1≈0.1【方法技巧】当x→0时，ex≈15.[2021新高考卷Ⅱ，5分]若a=log52，b=A.c<b<a B.b<a<c[解析]a=log52=log54<log56.[2020新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=lgx2-4x-A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2[解析]由x2-4x-5>0，解得x>5或x<-1，所以函数fx的定义域为-∞,-1∪5,+∞.又函数y=x2-【方法技巧】复合函数的单调性：如果y=fu和u=gx的单调性相同，那么y=7.[2020全国卷Ⅱ，5分]设函数fx=ln2x+1A.是偶函数，且在12,+∞单调递增 B.是奇函数，且在C.是偶函数，且在-∞,-12单调递增 D.是奇函数，且在[解析]由2x+1≠0,2x-1≠0,得函数fx的定义域为-∞,-12∪-12,12∪12,+∞，其关于原点对称，因为f-x=ln2-x+1-ln28.[2020全国卷Ⅱ，5分]若2x-2A.lny-x+1>0 B.lny-[解析]由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，即2x-13x<2y-13y.设ft=2t-9.[2020全国卷Ⅰ，5分]若2a+logA.a>2b B.a<2b C.a>[解析]令fx=2x+log2x,因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=log2x在0,+∞上单调递增，所以f10.[2020全国卷Ⅲ，5分]已知55<84,134<85.设A.a<b<c B.b<a<c[解析]55<84⇒ln55<ln84⇒5ln5<4ln811.[2019浙江，4分]在同一直角坐标系中，函数y=1ax，y=A.B.C.D.[解析]若0<a<1，则函数y=1ax是增函数，y=logax+12是减函数且其图象过点12,0，结合选项可知，选项【速解】分别取a=1212.[2019全国卷Ⅰ，5分]已知a=log20.2，b=A.a<b<c B.a<c<b[解析]∵a=log20.2<log21=0,b13.[2019全国卷Ⅱ，5分]若a>b，则(A.lna-b>0 B.3a<3b[解析]由函数y=lnx的图象（图略）知，当0<a-b<1时，lna-b<0，故A不正确；因为函数y=3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y=x3在R【速解】当a=0.3,b=-0.4时，lna考点5函数与方程题组一、选择题1.[2023全国卷甲，5分]函数y=fx的图象由函数y=cos2x+π6的图象向左平移A.1 B.2 C.3 D.4[解析]把函数y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度后得到函数fx=cos[2x+2.[2020天津，5分]已知函数fx=x3,x≥A.-∞,-12∪22C.-∞,0∪0,2[解析]由题意可知x=0为gx的一个零点.函数gx=fx-kx2-2xk∈R恰有4个零点，即函数fx与hx=kx2-2x的图象有4个交点，其中0,0为其中一个交点，当x>0时,由x3=kx2-2x可得x2=kx-2,当x<0时，由-x=kx2-2x可得1=kx-2,令φx=x2,x>0,1,x<0,3.[2019浙江，4分]设a，b∈R，函数fx=xA.a<-1，b<0 B.a<-1，b>0 C.a>-[解析]当x<0时,y=fx当x≥0时，y=fx当a+1≤0，即a≤-1时,y'≥0，y=fx当a+1>0,即a>-1时，令y'>0,得x∈a+1,+∞,令y'<0，得x∈0由已知函数y=fx-ax-b恰有3个零点，知y=fx解得-1<a<1,-二、填空题4.[2023天津，5分]若函数fx=ax2[解析]当a=1时，函数fx只有一个零点-1，不符合题意;当a=0时，函数fx只有一个零点-1，不符合题意;当a=-1若a≠0且a①当x2-ax+1≥0时,fx=ax2-2x-x2-ax+1=ax2-2x-x2-ax+1=a-1x2+a-2x-1=x+1[a-1x-1],令fx=0，由a≠0且a≠±1，得x1=-1,x2=1a-1，且x1≠x2.又x1=-1综上，a的取值范围为-∞,0∪5.[2022天津，5分]记fx=min{x-2，x2-[解析]令gx=x2-ax+3a（1）当Δ<0时，函数gx=x（2）当Δ=0时，a=2①当a=2时，fx=min{x-2②当a=10时，fx=min{x（3）当Δ>0时，a<2①如图，当a>10时，函数gx=x2-ax+3a-5的图象的对称轴为直线x=a②当a<2时，函数gx=x2-ax+3a-6.[2021北京，5分]已知fx①若k=0，则②∃k<0③∃k<0④∃k>0以上正确结论的序号是①②④．[解析]作出函数y=lgx对于①，当k=0时，显然直线y=2与y=对于②，由图可知，∃k0<0，使得直线y=k0x+2对于③，由图可知，当k<0时，直线y=kx+2与对于④，由图可知，∃k1>0，使得直线y=k1x+2与y=lgx7.[2019江苏，5分]设fx，gx是定义在R上的两个周期函数，fx的周期为4，gx的周期为2，且fx是奇函数.当x∈(0,2]时，fx=1-x-12[解析]当x∈(0,2]时，令y=1-x-12，则x-12+y2=1,y≥0，即fx的图象是以1,0为圆心、1为半径的半圆，利用fx是奇函数，且周期为4，画出函数fx在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数gx(x∈0,9]的图象，如图.关于x的方程fx=考点6函数模型及其应用题组一、选择题1.[2022北京，4分]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度,单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(A.当T=220，B.当T=270，C.当T=300，D.当T=360，[解析]对于A选项，当T=220，P=1026，即lgP=lg1026>lg103=3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T=270，P=128，即lgP=lg128∈lg102,lg1032.[2021全国卷甲，5分]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6[解析]4.9=53.[2020全国卷Ⅲ，5分]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It（t的单位：天）的Logistic模型：It=K1+e-0.23t-A.60 B.63 C.66 D.69[解析]由题意可知，当It*=0.95K时，K1+e-0.23t*-53=0.95K，即10.95=4.[2020全国卷Ⅱ，5分]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(B)A.10名 B.18名 C.24名 D.32名[解析]由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500+1600-1200=900（份）订单的概率为0.055.[2019北京，5分]在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1EA.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 [解析]由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2,天狼星的星等为m1,天狼星的亮度为E1,则由m2-m1=52lgE1E2,得-二、填空题6.[2020北京，5分]为满足人民对美好生活的向往，