2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m3.一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为(

)A.14π B.21π C.28π D.35π4.已知向量a，b不共线，且向量λa+b与a+(2λ−1)b方向相同，则实数A.1 B.−12 C.1或−12 5.如图，△O′A′B′是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O′B′=2O′A′=4，则△OAB的面积是(

)A.22

B.4

C.8

6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB−bcosA=c，且C=2π5，则∠B=(

)A.π5 B.π10 C.3π107.设{e1,eA.2e1+e2和e1−e2 B.3e1−8.已知平面向量a=(1,0),b=(−1,2)，则a在b上的投影向量为A.(15,−25) B.(−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两根，其中b，c∈R.若x1=−3+2i(iA.x1+x2=−6 B.b+c=19

10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有(

)A.若A=45°，a=23，b=4，则△ABC有两解

B.若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形

C.若ccosB=b11.如图，三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=2PB=2PC=2，则(

)A.BC⊥PA

B.三棱锥P−ABC的体积为23

C.点P到平面ABC的距离为23

D.三棱锥P−ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.正三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为______．13.已知直线l外一点A(−1,0,2)，直线l过原点O，且平行于向量m=(0,4,2)，则点A到直线l的距离为______．14.如图，已知ABCD−A′B′C′D′是长方体.设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的点，且BN=3NC′.设MN=αAB+βAD+γAA′四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cosC(acosB+bcosA)=c．

(1)求cosC的值；

(2)若c=22，△ABC的面积为2，求16.(本小题15分)

已知z=m2−12m+32+(m2−4m)i，其中m∈R．

(1)若z为纯虚数，求z的共轭复数；

(2)17.(本小题15分)

某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．

(1)小王获得了以下信息：

a.教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；

b.在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45°，到体育馆楼顶C的仰角是30°；

c.从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15°；

d.教学楼AB的高度是20米．

请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．

(2)小李获得了以下信息：

a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米

b.大屏幕的高度PQ是2米

c.当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．

请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P−DM−B的余弦值；

(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是219.(本小题17分)

n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,⋯,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2⋯,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,⋯,an)，若|ai|=1(i=1,2,⋯,n)，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,⋯,an)，b=(b1,b2,⋯,参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.AB

10.AD

11.AC

12.1513.10514.3215.解：(1)已知3cosC(acosB+bcosA)=c，

代入正弦定理得3cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

即3cosCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，则cosC=13．

(2)由于cosC=13，则sinC=1−cos2C=223，

△ABC的面积为2，则12ab⋅sinC=2，所以ab=316.解：(1)z=m2−12m+32+(m2−4m)i，

则m2−12m+32=0m2−4m≠0，解得m=8，

z=32i，

所以z的共轭复数为−32i．

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，

则17.解：(1)由题意知AB=AM=20⇒AM=202，

且可知∠AMC=180°−45°−30°=105°，

∠ACM=15°+30°=45°，⇒∠CAM=180°−105°−45°=30°，

由正弦定理可得202sin45°=MCsin30∘⇒MC=20⇒CD=20sin30°=10，

则体育馆的高度CD为10米；

(2)设ND=x，则tan∠PND=4x，tan18.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，

∴MN/​/CD，MN=12CD，

∵AB/​/CD，AB=12CD，

∴AB/​/MN，AB=MN，

∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD⊂平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M为棱PC的中点，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，令z=2，则y=−1，x=1，

∴n=(1,−1,2)，

平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n⋅DA|n||DA|=11×6=619.解：(1)两两垂直的4维信号向量可以为：(1,1,1,1)，(−1,−1,1,1)，(−1,1,−1,1)，(−1,1,1,−1)．

证明：(2)假设存在10个两两垂直的10维信号向量y1，y2，…，y10，

因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，

所以不妨设y1=(1,1,⋯,1)，y2=(1,1,1,1,1,−1,−1,−1,−1,−1)，

因为y1⋅y3=