《数学》复习人教A（新高考）-第9节　函数模型及其应用

第二章

第9节函数模型及其应用知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性

单调

单调单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与

平行随x的增大逐渐表现为与

平行随n值变化而各有不同递增递增y轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利. (

) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大. (

)××∴每件赔1元，(1)错误.(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.(3)不存在x0，使ax0<x<logax0. (

)(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度. (

)×√2.(多选题)某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的是 (

) A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元 解析

由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；

ABC由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；3.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 (

) A.8 B.9 C.10 D.11

解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1， 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.C4.(2020·西安一中月考)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 (

) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)

解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势， 当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).BC6.(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. (1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； 解析

顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).1306.(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.

解析

由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元， 所以(120－x)×80%≥120×0.7， 所以x≤15.即x的最大值为15.15考点分层突破题型剖析考点聚焦21.(多选题)(2021·青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论正确的是 (

) A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析

由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.其余全部正确.考点一利用函数的图象刻画实际问题///////自主演练BCD则下列结论正确的是 (

)A.在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；ABC对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.②解析

由散点图的走势，知模型①不合适.1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.

感悟升华【例1】(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) (

) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析

由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)， 即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2， 故选B.考点二已知函数模型的实际问题///////师生共研B1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.感悟升华则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元.2500解析根据题意，要使附加税不少于128万元，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].考点三构建函数模型的实际问题///////多维探究AC则22x≥100，解得x≥4.所以至少需要的年数是4.【例3】(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M. ①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.解

②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.由题意知，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8＋1.5×9＝18.3，即E1＝1016.8，E2＝1018.3，故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论.2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.感悟升华【训练2】(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 (

) A.10.5万元 B.11万元

C.43万元 D.43.025万元 解析设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润

y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32

＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.

因为x∈[0，16]且x∈N， 所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.C解

①设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，即

故到今年为止，该森林已砍伐了5年.课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(

)

解析

由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01B解析设BC＝a米，CD＝b米，则ab＝4，D3.(多选题)(2021·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是 (

) A.当x>1时，甲走在最前面

B.当x>1时，乙走在最前面

C.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 解析

甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.

当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；CD根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.4.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料， 如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取 矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大 时，矩形的两边长x，y应分别为 (

) A.x＝15，y＝12 B.x＝12，y＝15 C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝14A所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意.解析设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，B因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.6.(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：D8.(2020·辽宁协作校模拟)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与x的关 系可以表示为________________.240故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，40故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，解

由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，即a，b的值分别为－1和1.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s时，其耗氧量至少要270个单位.解

(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，因此，此时公司的总收益为88万元.解

由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，当80≤x<120，即120<240－x≤160时，当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，故f(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.则下列说法正确的是 (

)A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析

由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；ABC13.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(H