《数学》复习人教A（新高考）-第8节　微课4　探索性问题及证明问题

微课四探索性问题及证明问题题型分类突破题型跟踪训练内容索引12//////////////题型分类突破1题型一探索性问题///////【例1】(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解由抛物线方程x2＝4y知，F(0，1)． 易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋1. Δ＝(－4k)2－4×(－4)＝16k2＋16>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．感悟升华联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.题型二证明问题///////所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，法一要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，即证明kAQ＋kAR＝0.圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．感悟升华【训练2】(2020·景德镇一模)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，△ECD是面积为4的直角三角形．

(1)求抛物线的方程；【训练2】(2020·景德镇一模)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，△ECD是面积为4的直角三角形．

(2)若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，求证：直线AB与抛物线相切．题型跟踪训练21．(2020·郑州模拟)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)， 与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)， 且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； 解

设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)．①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.所以∠ANM＝∠BNM.综合①②知∠ANM＝∠BNM.又a2＝b2＋c2，证明

A(－2，0)，B(2，0)．所以kBC＝kBQ，即C，B，Q三点共线．3．(2021·济南模拟)已知平面上一动点A的坐标为(2t2，－2t)．

(1)求点A的轨迹E的方程；解

设动点A的坐标为(x，y)，因为A的坐标为(2t2，－2t)，当t＝±1时，直线AB的方程为x＝2；所以直线AB过定点(2，0)．②法一因为点A的坐标为(2t2，－2t)，且圆A与直线x＝－2相切，所以圆A的方程为(x－xA)2＋(y－yA)2＝(xA＋2)2，同理圆B的方程为(x－xB)2＋(y－yB)2＝(xB＋2)2，由①可知当t≠±1时直线AB的方程为由题意知H是两条直线的交点，所以两个方程相乘得y2＝－(x－2)(x＋1)，法二由题意知直线x＝－2为圆A与圆B的公切线，设切点分别为E，F，两圆的公共弦交公切线x＝－2于点G，则由切割线定理知G为EF的中点，因为公共弦必与两圆的圆心的连线垂直，所以公共弦恒过S(－1，0)．由平面几何的知识可知，