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第十节综合例题工科数学分析北京理工大学第二学期多元函数微分学主要内容典型例题平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念1、区域（1）邻域由一条或几条曲线所围成的一部分平面，这样的点集称为区域．（2）区域（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质（3）有界性定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上有界．7、偏导数概念８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.11、复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.12、全微分形式不变性

无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式13、隐函数的求导法则14、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为15、方向导数记为三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度与方向导数的关系15-1、向量函数与曲线运动向量函数同数量函数一样，可以类似地定义向量函数的极限、连续、导数、积分等概念。15-2二元函数的泰勒公式其中记号表示表示一般地,记号16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件

定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题例1解例2解例3解于是可得,例4.解解例5例6

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