第6章 非正弦周期电流电路的分析

第6章

非正弦周期电流电路的分析6.1非正弦周期信号的谐波分析法6.3非正弦周期信号电路的谐波分析法6.2非正弦周期电流电路的平均值、有效值和平均功率本章重点

2.非正弦周期电流电路的计算方法。1.非正弦周期量的有效值、平均功率6.1非正弦周期信号的谐波分析法周期性非正弦波一般均能按高等数学中傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦波，再根据线性电路的叠加原理，分别计算在各频率正弦波单独作用下电路中产生的电压分量和电流分量，最后把各分量按时域形式叠加，就得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。这种方法称为谐波分析法。非正弦周期波6.1非正弦周期信号的谐波分析法6.1.1非正弦周期量的傅里叶级数分解非正弦周期电流、电压和信号等都可以用周期函数表示，即式中T为周期函数的周期，n为自然数0，1，2，3，……则

可以展开成为一个收敛的傅里叶级数

式中：T为的周期；a0、ak、bk称为傅里叶系数

a0、ak、bk的计算公式如式：电路分析中所遇到的非正弦周期信号都可以展开成傅里叶级数。6.1.1非正弦周期量的傅里叶级数分解为了和正弦函数的一般表达式相对应，傅里叶级数还可写成如下形式：式中：

6.1.1非正弦周期量的傅里叶级数分解

为在一个周期内的平均值，也称为直流分量或恒定分量。求和号下的各项是一系列正弦量，称为谐波分量。为各次谐波分量的幅值为其初相角6.1.1非正弦周期量的傅里叶级数分解当n为偶数时所对应的谐波分量称为偶次谐波分量，当n为奇数时所对应的谐波分量称为奇次谐波分量。n=1时的谐波分量称为基波或一次谐波分量其余统称为高次谐波分量。将一个非正弦周期函数分解为具有一系列谐波分量的傅里叶级数，被称为谐波分析。几种常见的非正弦周期函数：矩形波：图（a）锯齿波（b）半波整流波，图（c）全波整流波，图（d）三角波，图（e）矩形脉冲波，图（f）由上述例子可知：各次谐波的幅值不等，频率越高、幅值越小。可见傅里叶级数具有收敛性。在存在恒定分量时，恒定分量、基波和接近基波的高次谐波是非正弦周期量的主要组成部分。6.1.1非正弦周期量的傅里叶级数分解非正弦周期信号能够分解为恒定分量和各次谐波分量，它们都具有一定的幅值和初相。虽然它们可以表示组成非正弦周期信号的各次谐波分量，但不够直观。为了直观反映出各次谐波幅值和初相位

与频率之间的关系，通常以为横坐标，和为纵坐标，对应的和用竖线段表示，这样就得到了一系列离散竖线段所构成的幅度频谱图和相位频谱图，简称幅度频谱和相位频谱。由于各次谐波的角频率是基波角频率的整数倍，所以非正弦周期信号的频谱图是离散的。6.1.2非正弦周期信号的频谱图6-2(a)、(b)就是某方波信号的幅度频谱和相位频谱。6.1.2非正弦周期信号的频谱6.2非正弦周期电流电路的平均值、有效值和平均功率1）非正弦周期信号的平均值设非正弦周期电流为

，其平均值定义为：即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值2）非正弦周期信号的有效值任何周期信号的有效值是根据电流热效应确定的，在数值上等于其瞬时值的方均根值：设非正弦周期电流可以证明，电流的有效值为：同理，非正弦周期电压u的有效值为：6.2非正弦周期电流电路的平均值、有效值和平均功率【例6-1】试求周期电流的有效值。解：i(t)的有效值为：=479.6mA3）非正弦周期信号电路的平均功率6.2非正弦周期电流电路的平均值、有效值和平均功率若某无源二端网络端口处的电压u和电流i为同基波频率的非正弦周期函数，其相应的傅里叶级数展开式为该二端网络的瞬时功率为根据平均功率的定义，可以证明注意：根据三角函数的正交性可知，非正弦周期信号电路中，不同频率的电压和电流不构成平均功率。【例6-2】铁芯线圈是一种非线性元件，通以u=311sin314tV的正弦电压后，将产生A的非正弦周期电流。试求其等效正弦电流。解：等效正弦电流的有效值与实际非正弦周期电流的有效值相等，即：平均功率为：则等效正弦电流与正弦电压之间的相位差为：因此等效正弦电流为：

A【例6-3】已知二端网络两端电压和电流如下，试求其有功功率。解：有功功率为此步骤应注意以下两点：（1）直流分量单独作用时，电容看作开路，电感看作短路；（2）各次谐波分量用相量法进行求解，但须注意感抗、容抗与频率有关，不同频率的激励和响应，因其感抗和容抗不同，不能混在一起计算。6.3非正弦周期信号电路的谐波分析法

分析非正弦周期信号激励下的线性电路可采用建立在傅里叶级数和叠加定理基础上的谐波分析法进行，具体步骤如下：1.把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所需准确度的高低而定。2.分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。3.应用叠加定理，把步骤2所计算出的结果化为时域表达式后进行相加，最终以时间函数来表示系统响应。【例6-4】在RLC串联电路中，已知输入电源电压为：基波频率，求电路中的电流。解：（1）直流分量电流（电容元件相当于开路）(2)基波分量

(此时电路呈容性）(3)三次谐波分量

(此时电路呈电阻性)(4)五次谐波分量

(此时电路呈感性)电路电流为：【例6-5】电路如图(a)所示，已知，负载电阻,为正弦全波整流波形，设求负载两端电压uo的各谐波分量。解：给定电压

分解为傅里叶级数，得设负载两端电压的第k次谐波为，则感抗和容抗对各次谐波的反应是不同的，这种特性可以组成含有电感和电容的各种不同滤波电路，联接在输入和输出之间。可以让某些所需的频率分量顺利的通过而抑制某些不需要的分量。①直流作用：

（电容开路，电感短路）②2次谐波作用：③4次谐波作用：可见滤波后，尚约有3.5%的二次谐波。本章主要研究周期性非正弦激励作用的稳态电路分析方法——谐波分析法。该方法首先将周期性非正弦激励进行博里叶级数分解．然后采用直流电路分析方法、正弦稳态电路分析方法和叠加原理进行计算。本章小结

1.电路分析中常见的非正弦周期电压或电流信号，通常都可以展开成一个收敛的傅里叶级数，即2.对任何非正弦周期电流、电压的平均值定义为：3.有效值为：4.非正弦周期信号电路的平均功率等于各次谐波单独作用时所产生的平均功率之和，即：式中为n次谐波电压与电流的相位差。注意：根据三角函数的正交性可知，非正弦周期信号电路中，不同频率的电压和电流不构成平均功率。5.

分析非正弦周期信号激励下的线性电路可采用