高等数学 试卷及答案 卷3_第1页
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第1页试卷三一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.微分方程的通解为.2．已知函数，则.3．函数在点处的梯度.4．数项级数是条件收敛、绝对收敛,还是发散？条件收敛.5．函数展开成麦克劳林级数为.6．椭圆抛物面的平行与平面的切平面方程为.7.已知曲线，则曲线积分.8.已知积分区域D为，则.9.设是以为周期的函数,其傅立叶级数的和函数记为，则.10.设为在第一卦限部分，则.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.求函数在条件下的最值.解：作拉格朗日函数，解得，，，是函数唯一的极值点，即为最值点，从而求得最值为.12.计算其中是抛物线上由点到点的一段弧.解：取记所围的区域为，又所以13.计算二次积分.解：原式=14.计算曲面积分，其中为下半球面的上侧.解：补充平面方向向下，且它在平面上的投影为记和所围成区域为，由高斯公式得所以15.求级数的收敛域及和函数.解：，该级数的收敛半径为1，当原级数发散,所以原级数的收敛域为和函数所以16.求微分方程的通解.解：对应齐次方程的特征方程：解得特征根对应齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得令代入上式得非齐次方程特解为原方程通解为三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.设,其中是任意的二次可导函数,求证：证明：所以18.设有方程，其中为正整数，证明：(1)此方程存在唯一的正实根;(2)当常数时,级数收敛.证明:(1)设则

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