高等数学教程　下册　范周田 第4版 习题详解汇 习题10

习题10.1(A)组1．写出下列集合的全部内点，外点，边界点，聚点，并指出是否为开集，闭集，连通集，开区域，闭区域，有界集？(1)解：E为有界开区域，连通集，内点为E上所有的店，外点为，边界点为，聚点为(2)解：E为无界开集，非连通集，内点为E，边界点为，聚点为平面上所有的点。(3)解：E为有界闭区域，连通集，边界点以为顶点的三角形三边上的点，聚点为该闭区域上所有的点。2．设，求解：令，，则则即。3.设，证明。解：4.确定下列函数的定义域(1)解：，则，则定义域为(2)解：&y≥0&x≥y(3)解：且，则定义域为(4)解：，定义域为5.求下列各极限(1)解：(2)解：(3)解：lim&x→0(4)解：(5)解：(6)解：lim&x→0(B)组1.证明极限．证明：，limr→02.证明极限不存在。解：令，，当取不同值时，极限值不同。3.讨论下列函数的连续性：(1)解：的定义域为当，且时，不存在，因此在直线上都间断，为第二类间断点，在点为可去间断点，其他点为连续点。(2)解：设，则，无论取何值，所以在点连续，因此在上处处连续。习题10．2(A)组1．求下列函数的一阶偏导数：(1)解：(2)解：；(3)解：(4)解：∂u(5)解：(6)解：2、(1)设，求。解：则，，，(2)设，求。解：则，。3、曲线，在点处的切线对于轴的倾角是多少？解：曲线在处的切线方向为，设与的夹角为， 4．求下列函数的各个二阶偏导数：(1)解：∂z∂x=4x3−8xy2∂2(2)解：；∂2z∂x(3)解：；；；。(4)解：；；；。5．设，求及．解：；；；；。6．求函数的偏导函数．解：当时，当时，因此：7.验证函数z=lnx解：；；则成立。(B)组1.(1)设，求证：。证明：则(2)设，求证：。证明：；；则。2.设其中可导，证明。证明：；即成立。习题10．3(A)组1．求下列函数的全微分：(1)解：；(2)解：(3)解：∂u∂x=yzexyz(4)解：；2.求函数在点处的全微分。解：；令得3.求函数在时的全增量和全微分。解：全增量△令x=2,y=1,△x=0.1,4.求函数z=exy当x=1,y=1,x=0.15,解：；则当x=1,y=1,△x=0.15,(B)组1.计算的近似值。解：；令x=1,y=2,则f(x+即的近似值为2.95。2.设有一无盖圆柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm,内半径为4cm,求容器外壳体积的近似值.解：由题意得，容器外壳体积令，则。习题10．4组1.求下列全导数：(1)设，而，求.解：。(2)设，而，求.解：。(3)设，而，求.解：(4)设，而，求.解：2．设，而，求.解：=x3．设，而，求.解：=−24．设，而，求解：5．设，而，验证：。解：则。6．求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：(1)解：；。(2)解：；；。(3)解：；；。7．设，而，可微，证明：.证明：则8．求下列函数的各个二阶偏导数（其中具有二阶连续偏导数）：(1)解:；∂∂∂(2)解：；∂∂∂(3)解：；∂∂∂(4)解：∂∂∂9．设，有连续偏导数，证明：。证明：；；;即成立。10．设（其中函数可微），证明：证明：；得证。11．设，其中为可导函数，证明：。证明：则。12．设有二阶连续偏导数，而，证明：(1)证明：同理则，得证。(2)证明：则得证。(B)组1．设，其中为可微函数，证明：。解：；；；相加得得证。2．设函数具有二阶连续偏导数，试证明在变换下可以将方程化简为。证明：则习题10．5(A)组1．设，求．解：令。2．设，求．解：令；；。3．设，求．解：令；；；；。4．设，求证：．证明：F(x,y)=2；；；。5．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．证明：；；；；。6．设，求．解：令；；∂z7．设，求．解：；；；8．设，求。解：令；dydx=−Fx9．求由下列方程组所求确定的函数的导数或偏导数：设求解：方程组两边同时对x求导数，得得，。设求解：解：方程组两边同时对z求导数，得得，设，其中具有一阶连续偏导数，求解：方程组两边同时对x求导数，得得设求解：方程组两边同时对求导，得解得方程组两边同时对求导，得解得。设求解：方程组两边同时对求偏导数，得解得方程组两边同时对求偏导数，得解得10．设，其中具有连续偏导数，且，求证。解：。11.设有三元方程xyzlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程能确定几个具有连续偏导数的隐函数?解：令则因此在邻域内该方程能确定2个具有连续偏导数的隐函数(B)组1．设，求。解：对方称分别求的偏导数，得解得2.设，其中具有连续偏导数，且，求。解：习题10.6(A)组1.求下列曲线在给定点处的切线及法平面方程：(1)在处。解：曲线在处的切线方程为 法平面方程为，即。(2)在点处。解：曲线在的切向量为切线方程为化为法平面方程为化为(3)在点处。解：曲线在处的切向量为切线方程为法平面方程为即。2.求曲线上的点，使该点的切线平行于平面。解：，设曲线在点的切线平行于平面该平面的法向量为，则，解得或，即所求点为或。3.求曲面上点处的切平面和法线方程。解：曲面在点出的切平面的法向量为n→故所求切平面方程为，即所求法线方程为。4.在曲面上求一点的坐标,使此点的切平面平行于yOz平面。解：曲面在点切平面的法向量为切平面平行于yoz平面，即解得或5.在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出该法线的方程。解：曲面在处法线的方向向量因为法线垂直于平面，则，解得即所求点为，该法线方程为。6.求抛物面在点处的切平面与法线方程,以及法向量的方向余弦。解：抛物面在处切平面的法向量为，则切平面方程为，即法线方程为法线的方向余弦为。7.证明曲面上所有点处的切平面都过一定点。证明：曲面在处的切平面的法向量为则切平面方程为e因为，故−x即，因此切平面必过点。8.试证明曲面上任何点处的切平面方程在各个坐标轴上的截距之和等于。证明：曲面在处切平面的法向量为则切平面方程为各坐标轴截距分别为，，则截距之和(B)组1.证明球面与锥面正交。(所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直)。证明：设两个曲面在交点的法向量为满足，即两曲面正交。习题10.7(A)组1.求下列各函数的驻点和极值：(1)解：解得，驻点，又−2∗(−2)−0=4>0，，则为极大值。(2)解：解得或或或或即驻点为处不是极值处不是极值处不是极值处不是极值处为极大值。(3)解：∂z∂x=2&2e2x，则，因此为极小值。(4)解：解得，驻点为点则，则为极大值。2.要造一个容积等于定数的长方形无盖水池，应如何设计水池的尺寸，方可使它的表面积最小。解：设容积为定数，分别表示水池的长宽高表面积设令，得解得为唯一驻点所以当长宽为，高为时，无盖水池的表面积最小。3.在平面上求一点，使得它到及三条直线的距离平方之和最小。解：设该点为，则该点到的距离平方分别为d则d=x2+y解得为唯一驻点，所以为所求点。4.求半径为的球中具有最大体积的内接长方体。解：设球心在圆点，长方体长宽高为，则设解得唯一驻点则当长方体边长都等于时，体积最大为。5.将周长为定数的矩形绕它的一边旋转而构成的一个圆柱体，问矩形的边长如何设计，才能使圆柱体的体积最大。解：设举行边长为，则为定数，沿边长为的边绕一圈，圆柱体体积解得唯一驻点即绕长边旋转所得的圆柱体体积最大为。6.求在条件下的最小值，其中为常数。并证明不等式解：设，则，解得唯一驻点则，。7.求曲面上距原点最近的点。解：设，令，解得&x=±1&y=∓1&z=0或即曲面上距原点最近的是或点。8.某公司通过电台和报纸两种方式作销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费（万元）和报纸广告费（万元）间的关系为求（1）在广告费不受限制情况下的最优广告策略。解：解得，，则为最大值点。（2）在广告费限制1.5（万元）时，其相应的最优广告策略。解：当加入限制条件设得，解得为唯一驻点因此当时，R取最大值。(B)组1.求函数在条件（为常数）下的最大值。解：令有&Lλ=则为最大值。2.已知，求的最小值。解：令L则&Lλ=x2+y2+z故最小值为−1习题10.8(A)组1.求下列个函数在指定方向的方向导数：(1)在点处沿从点到点的方向；解：由于的方向=的方向余弦为因此(2)在点处沿方向；解：的方向余弦为因此，。(3)在点处沿从点到点的方向；解：的方向=的方向余弦为因此。(4)在点处沿曲线在这点的内法线方向.解：曲线在该点的切线方向为，则內法线方向为方向余弦为2.已知，点，求在点处的方向导数的最大值和最小值，并指出相应的方向。解：沿梯度的方向上方向倒数最大，梯度方向为且沿梯度的反方向上方向导数最小，。3.求下列各函数在指定点处的梯度：(1)在点处。解：(2)在点处。解：(3)在点处。解：(4)在点处。解：4.设有一金属板在平面上占据的区域为，已知板上各点的温度是问在点处的一只昆虫应沿什么方向运动才能尽快地逃到较凉的地方。解：昆虫应沿的方向(B)组1.设都是的函数，且具有一阶连续偏导数，证明：(1)解：(2)解：(3)解：由（2）得(4)解：综合习题10(A)组1.考虑二元函数的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在.则有(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③①④解：A2.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据条件无法判断(0,0)是否为f(x,y)的极值点.解：D。由得。3.证明：极限不存在。解：取，则不存在取，则。4.设，求。解：∂25.设有二阶连续偏导数，而，，证明：(1)证明：则则。(2)证明：则则6.设，和具有二阶连续导数，求∂2z∂x∂y。解：∂7.设，其中具有连续的二阶偏导数，求。解：∂z∂=−28.设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，试证明。解：对方程两边关于求导数有①对求导有②联立①②得9.设在处具有一阶连续偏导数，且，，，.求。解：令，则，10.设具有一阶连续偏导数，又及分别由和所确定，求。解：①对方程求x的导数得，解得对方程两边求x的导数得，解得将代入①后有。11.求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。解：椭球面在点(−1,−2,3)处切平面的法向量方向为的法向量则切平面与面的夹角的余弦为。12.证明曲面上任何点处的切平面与坐标平面围成的四面体的体积为常数。证明：曲面在处切平面方程为该平面与轴的交点坐标分别为为常数。13.设，其中具有二阶连续偏导数，证明：。证明：则得证。14．求由方程所确定的隐函数的极值。解：由隐函数求导得，解得y'=−(x+y)令解得&x=±1&y=∓1，则因此极大值为，极小值为。15．若及，证明函数在条件（定值）下的最小值为，并由此证明不等式。证明