高等数学教程　下册　第4版 习题详解 综合习题10

综合习题10(A)组1.考虑二元函数的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在.则有(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③①④解：A2.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据条件无法判断(0,0)是否为f(x,y)的极值点.解：D。由得。3.证明：极限不存在。解：取，则不存在取，则。4.设，求。解：∂25.设有二阶连续偏导数，而，，证明：(1)证明：则则。(2)证明：则则6.设，和具有二阶连续导数，求∂2z∂x∂y。解：∂7.设，其中具有连续的二阶偏导数，求。解：∂z∂=−28.设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，试证明。解：对方程两边关于求导数有①对求导有②联立①②得9.设在处具有一阶连续偏导数，且，，，.求。解：令，则，10.设具有一阶连续偏导数，又及分别由和所确定，求。解：①对方程求x的导数得，解得对方程两边求x的导数得，解得将代入①后有。11.求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。解：椭球面在点(−1,−2,3)处切平面的法向量方向为的法向量则切平面与面的夹角的余弦为。12.证明曲面上任何点处的切平面与坐标平面围成的四面体的体积为常数。证明：曲面在处切平面方程为该平面与轴的交点坐标分别为为常数。13.设，其中具有二阶连续偏导数，证明：。证明：则得证。14．求由方程所确定的隐函数的极值。解：由隐函数求导得，解得y'=−(x+y)令解得&x=±1&y=∓1，则因此极大值为，极小值为。15．若及，证明函数在条件（定值）下的最小值为，并由此证明不等式。证明：设L(λ,x,y)=λ(x+y−a)+解得唯一驻点则在下最小值为得证。(B)组1.设fx问f(x,y)在点(0,0)处是否连续?解：由夹逼定理得，即在处连续。求f(x,y)的偏导数并讨论偏导函数在点(0,0)处的连续性.解：当时，令时，不存在，不存在所以不存在，不存在，偏导数在处不连续。问f(x,y)在点(0,0)处是否可微?解：则在处可微。2.设函数可微，且满足，证明：在极坐标系中只是的函数。证明：令则由得解得，即在极坐标系中与无关。3.试证：曲面上任意一点的切平面平行于一条定直线.这里为可微函数。证明：曲面在的切平面的法向量为且则切平面的法向量垂直于定向量，因此任意一点的切平面平行于一条定直线。4.一个徒步旅行者在爬山，山的高度是。当他在点处时，为了尽快升高，他应当按什么方向移动？如果他在最快速上升的道路上前进，证明这条路线在平面上的投影曲线是。（注意：约定以轴正向为正南方向）解：他应接的方向移动，设旅行者在处，则，解得，又，故，即。5.设为个正数，试在条件（定值）下，求函数的最大值，并由此证明不等式.证明：令解得则得最大值为则即。6.设函数f(u)在(0,+)内二阶可导,且满足等式(