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习题12.3(A)组利用Green公式计算下列曲线积分(1),其中为圆周逆时针方向.解：其中。(2),其中是由与所围成区域的正向边界曲线.解：(3),其中是由点沿抛物线到点的一段弧.解：将此段弧补上直线BA后，用格林公式有。(4),是在圆周上由点到的一段.解：将此段弧不上直线段到及到后，利用格林公式有原式。利用曲线积分计算由下列曲线所围成的平面图形的面积.椭圆解：设区域D为椭圆内部，S为其面积，L为D的正向边界，则由格林公式得设参数方程为则星形线.解：同上，由格林公式得。3.计算,而为(1)的正向边界.解：由格林公式得原式(2)的正向边界.解：令,，当时而内在处不连续，故不能直接利用格林公式，作辅助线为以为圆心，为半径的圆周，方向为顺时针方向，于是与围城的复联通区域不包含圆点，的边界是有向闭曲线，显然在上具有一阶连续偏导数，因此利用格林公式得则的参数方程为则原式。4.验证下列在整个平面内是某一个函数的全微分，并求一个这样的函数。（1）验证：，则是某个函数的全微分由得先关于作不定积分待定。此式两边关于求偏导得解得，则。（2）验证：，则是某个函数的全微分由得先关于作不定积分由得，解得，取，则。5.求下列微分方程的通解：（1）解：令则因此原方程是全微分方程，选取则原方程的通解为（为任意常数）。（2）解：因此原方程为全微分方程。则原方程通解为（为任意常数）6.计算，其中为正常数，是在圆周上由点到点的一段弧.解：设其中积分与路径无关，可选择到的直线段代替弧设的参数方程为则。7.确定常数,使在右半平面上为某个二元函数的全微分,并求出一个.解：由题意得，即上式在右半平面上恒成立，则有成立，即则对积分后有求导，则取即可，得。(B)组1.设有一变力在坐标轴上的投影为，这变力确定了一个力场，试证明质点在该场内移动时，场力所作的功与路径无关。证明：做功则因此场力做功与路径无关。设在内有连续的导函数,证明当时,曲线积分与路径无关,并计算.证明：设.当时则曲线积分与路径无关。3.设L是不经过点(2,0),(-2,0)的分段光滑的简单闭曲线,L取正向,试就L的不同情形计算曲线积分解：设,.若所围区域不含和点时，由格林公式得若所围区域只含其中一点时，（不妨设含点）.则在内作以为圆心，为半径的圆，取顺时针方向的圆，利用格林公式有则则，其中设的参数方程为

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