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12.7Stokes公式

环流量与旋度12.7.1Stokes公式规定曲面的正侧与其边界闭曲线的正向遵右手法则大拇指的指向应与正侧的法方向相同.即当右手的四指依的正方向绕行时,设Σ是以分段光滑曲线Γ为边界曲线的定向曲面,从右手规则,定理(Stokes公式)

上具有一阶连续偏导数,则设Σ是光滑的定向曲面,Σ的正向边界Γ为分段光滑的闭曲线,将三阶行列式按第一行展开便得到Stokes公式.

为了便于记忆,斯托克斯公式可写成根据两类曲面积分的关系,斯托克斯公式可写成Γ与Σ的方向遵从右手规则.为有向曲面Σ的单位法向量,Stokes公式的实质

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.因此斯托克斯公式是格林当Σ为

xOy

坐标面上的平面区域时,斯托克斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广.解1由Stokes公式,有例1计算曲线积分其中被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.由对称性解2由Stokes公式,有定义1的环流量.12.7.2环流量与旋度设向量场其中

处的单位切向量.等式右端的曲面积分可解释为向量

由Stokes公式,设Σ是以有向闭曲线Γ为边界的有向曲面,Γ与Σ的方向符合右手规则.穿过有向曲面Σ的通量.定义2设向量场的三个分量函数P、Q、R具有一阶连续偏导数,称向量为向量场的旋度.记作即利用Hamilton算子,旋度可表示为其中,一般地,称旋度为零的向量场为无旋场;Stokes公式的向量形式这里表示曲面Σ上任意点的单位法向量.称曲线积分与路径无关的向量场

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