高等数学教程　下册　第4版 课件 11.2 二重积分的计算

11.2二重积分的计算11.2.1直角坐标系下二重积分的计算

二重积分的计算方法是:将二重积分化为二次1.矩形区域上的二重积分积分区域D为矩形在D上连续.设积分(累次积分)来计算.

的值等于以区域D为底,曲面z=f(x,y)把柱体切割成平行于xOz平面的薄片,对应薄片又有于是

为顶的曲顶柱体的体积,现用定积分计算这个体积.

如果先把柱体做平行于yOz平面的切割,则得到另一个次序相反的二次积分习惯上,通常把记成

即表示先对

x积分,再对y积分.

同理例1计算其中D为矩形区域解先对x积分

即等于两个定积分的乘积.注:如在矩形区域D上,则2.横向区域:这样的区域上通常可以先对x积分,再对y积分

则例2计算其中D是由直线

先对x积分

所围平面闭区域.解3.纵向区域这样的区域上通常可以先对y积分,再对x积分

则例3计算其中D如图所示.

解先对y积分

D2D14.复杂区域

对于一般的平面区域,可以用平行于坐标轴的例4计算其中D如图所示.

解积分区域D可以划分成

直线将其分成若干个横向区域或纵向区域,然后利用二重积分对积分区域的可加性进行计算.于是D1D2例5交换积分次序:解积分区域:原式=解先交换积分次序例6计算二次积分而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分:等,一定要放在后面积分.例7

求证证对于左边的累次积分,先交换积分次序.积分区域:可表为:11.2.2在极坐标系下计算二重积分二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素θθ在极坐标系下,一般化成1.极点在区域D的外面2.极点在区域D的边界上

(曲边扇形)极坐标系下区域的面积θ3.极点在区域D的内部

直角坐标与极坐标的关系为2.积分区域D是由圆弧、或圆弧与直线所围成.

常用极坐标计算因此

在极坐标下1.若被积函数形如解先画出区域的图形

例8将积分化为极坐标形式的二次积分.

在极坐标系下,圆的方程为直线的方程为解a例9计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下注例10计算解(1)在极坐标系下

其中(2)因被积函数是偶函数,所以

又

所以解练习交换积分次序:(1)设积分区域D关于x轴对称,如果函数

f(x,y)关于变量

y为偶函数.oxyD1则D1为D在x轴上方的部分,则如果

f(x,y)关于变量y为奇函数,

利用被积函数的奇、偶性和积分区域的对称性即11.2.3对称性与二重积分可简化二重积分的计算.如果函数

f(x,y)关于变量x为奇函数oxyD1如果函数

f(x,y)关于变量x为偶函数,

则即则(2)设积分区域D关于y轴对称,D1为D在

y轴的右侧部分,即00D1为上半圆域D2为右半圆域例如,设D为圆域(如图)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A则练习设D1D2D3D4记

则I=I1+

I2,其中而

I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而

是关于x的偶函数,关于y的奇函数.

所以

D1D2D3D4(3)设积分区域D关于直线对称,则D1为D在(4)设积分区域D关于直线对称,直线的上方部分,D1为上方部分且则证所以,例如,设为[0,1]上的正值连续函数,证明其中a,b为常数,由区域关于直线对称,得故,﹡11.2.4二重积分的变量替换

变换且满足:具有一阶连续偏导数,(2)且雅可比行列式定理

设f(x,y)在xOy平面上的闭区域上连续,则基本要求:变换后定限简便,求积分容易.注意2.J的性质:1.作什么变换主要取决于积分区域D的形状,同时与要兼顾被积函数

f(x,y)

的形式.解作广义极坐标变换所围成的闭区域.在这变换下例11计算