高等数学教程　下册　第4版 课件 8.5 傅里叶级数

傅里叶级数也称为三角级数,是指形如的函数项级数.三角函数表示谐波或简谐振动,因此上述傅里叶级数可以看做是谐波的叠加.8.5傅里叶级数非正弦周期函数:矩形波分解成不同频率正弦波逐个叠加设想是把一个复杂的周期函数

f(t)表示为即8.5.1三角函数系

称为三角级数各类正弦函数

的迭加,问题:(1)f(x)应具备什么条件才能展开成如上三角级数?同样需要考虑两个问题:(2)如果f(x)可以展开成三角级数,那么系数ak,bk为此,先介绍三角函数系.该如何确定?三角函数系其中任何两个不同的函数的乘积在区间即在上的正交性是指:即上的积分不为0.

三角函数系中每个函数自身的平方在

8.5.2周期为的函数的傅里叶级数展开问题:f(x)若能展开成三角级数,

是什么?两边积分利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性由系数公式所确定的三角级数傅里叶系数公式:

称为函数

f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x)

记为问题:当

f(x)满足什么条件时,它的傅里叶级数收敛?

收敛定理8.15(收敛定理狄利克雷充分条件)

设

f(x)是以

为周期的周期函数,是

f(x)的傅里叶级数,则如果

f(x)在逐段单调,收敛定理等价于:如果设傅里叶级数的和函数为S(x)，即则特别地,当

f(x)为奇函数时,它的傅里叶系数为当

f(x)为偶函数时,它的傅里叶系数为f(x)的傅里叶级数为称为正弦级数;称为余弦级数.f(x)的傅里叶级数为设函数

f(x)以

为周期,且

其傅氏级数在

处收敛于().所以,周期函数的傅里叶级数展开步骤:(由图形写出收敛域;求出第一类间断点)(2)求出傅里叶系数;(3)写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于

f(x).

画出

f(x)的图形,收敛定理条件;并验证是否满足狄利克雷解例1设将

f(x)展开为傅里叶级数.

f(x)的图象由狄利克雷充分条件收敛于

计算傅里叶系数故

f(x)的傅里叶级数为(2)将F(x)展开为傅里叶级数;作法收敛定理的条件,也可展开成傅里叶级数.(周期延拓);级数收敛于8.5.3只在区间上有定义的函数的傅里叶级数的展开如果

f(x)只在区间上有定义,并且满足得到一定义在这样就得到f(x)展开式;解例2

将函数展开为傅里叶级数.拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在因函数在区间上满足收敛定理的条件,收敛于

f(x).又f(x)是偶函数f(x)是偶函数已知函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式也可求数项级数的和设收敛定理的条件,我们首先将函数f(x)的定义延8.5.4将定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数如果

f(x)只在区间上有定义,并且满足拓到区间上,得到一定义在上的函数F(x),使它在内成为奇函数(偶函数),

按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓然后将F(x)展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).

(偶延拓).

(1)奇延拓则f(x)

的傅里叶级数:再限制x在区间上,就得到f(x)展开式的正弦级数(余弦级数)展开式.(2)偶延拓则f(x)

的傅里叶级数:解

(1)展开成正弦级数.正弦级数和余弦级数.例3将函数分别展开成对f(x)进行奇延拓,(2)展开成余弦级数.对f(x)进行偶延拓,解练习设练习已知级数求级数的和.解所以,(1)把f(x)展开为正弦级数;(2)求级数的和函数S(x)在解(1)上的表达式;正弦级数练习设函数如图所示(2)求级数的和函数S(x)在上的表达式;(3)先作变量代换

8.5.5周期为2l的周期函数的傅里叶级数条件,若周期为2l的周期函数

f(x)满足收敛定理的展开成傅里叶级数的方法是:

将函数变换到再利用周期为

的周期函数的傅里叶级数展开法,最后回到变量x,就得到f(x)的傅里叶展开式则有(1)如果

f(x)为奇函数,其中,傅里叶系数为则有(2)如果

f(x)