2023-2024学年高二数学2019选择性试题2.2直线与圆的位置关系

2.2直线与圆的位置关系一、单选题1．已知直线与圆：相交于，两点，若，则的值为（

）A．或0 B．或4 C．0或4 D．或2【答案】A【解析】由，得，则圆心为，半径为2，由，得，即圆心到直线的距离为，即，即或.故选：A.2．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（

）A．3 B．1 C．3或1 D．3或1【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为则由已知得，解得或故选：C.3．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（

）A．或2 B．或4 C． D．【答案】A【解析】解：的圆心，半径，因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或，故选：A.4．过坐标原点且与圆相切的直线方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】解：化为标准方程，即得圆心和半径，当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去；当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选：A.5．已知直线与直线垂直，且与圆相切，切点位于第一象限，则直线的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，设直线的方程为．圆心到直线的距离为，得或（舍去），故直线的方程为．故选：A6．过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，当时，l被圆截得的线段最短，，∴，故所求直线l的方程为，即.故选：A.7．太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（

）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】A【解析】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，，所以，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．8．直线与圆相交于不同的，两点其中，是实数，且是坐标原点，则点与点距离的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，过点作，垂足为，，，，又，，即．则点与点距离为区域内的点到点的距离，设，如图，，因此点与点距离的取值范围为．故选：D．二、多选题9．圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（

）A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点C．的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则【答案】ABD【解析】圆M：配方得：，圆M关于直线对称，直线过圆心.,即点P的轨迹方程为，A正确.由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.故选：ABD10．已知直线与圆，则（

）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD11．已知点为圆内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为，则（

）A． B． C．l与圆相交 D．l与圆相离【答案】BD【解析】圆的圆心为，，则直线为，即，直线：，所以，圆心到直线的距离为，则l与圆相离.故选：BD12．设有一组圆：，则下列说法正确的是（

）A．这组圆的半径均为1B．直线平分所有的圆C．直线被圆截得的弦长相等D．存在一个圆与轴和轴均相切【答案】AD【解析】由圆：，可得圆心坐标，半径为1，故A正确；把代入，得不恒成立，即直线不恒过圆心，故B错误；圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值，则直线被圆截得的弦长不相等，故C错误；若存在一个圆与轴和轴均相切，则，解得，故D正确．故选：AD．三、填空题13．若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意得，直线过定点，画出的图象，如图，结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时；当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时，所以实数的取值范围是.故答案为：14．把直线按向量平移后恰与相切，则实数的值为______．【答案】【解析】圆的方程为，圆心按向量平移后的圆心，得到方程设直线直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得：.故答案为：15．过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是___________.【答案】或【解析】可化为故圆心到直线距离若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意若直线斜率存在，设其方程为，，解得，此时直线方程为故答案为：或16．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______．【答案】或【解析】解：如图所示：由题意设圆的圆心为，则，解得，所以圆C的方程是或，故答案为：或四、解答题17．若圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，求直线l的倾斜角的取值范围．【解析】解：圆的圆心为，半径为．因为圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，所以圆心到直线的距离不大于．故，化简得，即，即，，，所以．18．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）的直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.(1)求圆M的方程；(2)若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；(3)是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），∴圆M的圆心为M（a，a），半径.又圆心M在直线上，∴，解得.∴圆M的方程为：.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，∴由，解得.∴.易知圆心M到直线AB的距离，∴点C到直线AB的最大距离为.∴△ABC面积的最大值为.(3)方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.又∵，∴.又∵直线MP的斜率为，∴直线AB的斜率为.∴.∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，∴此时点P不平分AB.当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.∵点A､B是圆M上的点，设，.∴由点差法得.由点P是弦AB的中点，可得，∴.∴∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.19．已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.【解析】（1）由题意，得，即，化简得，即.点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时所截得的线段的长为，符合题意.当直线的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离，由题意，得，解得，直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.20．已知圆C：，直线l：.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.【解析】(1)由圆：，可得，其圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.(2)由（1）知：圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，则直线为或.21．已知圆．（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值．【解析】（1）圆C的圆心坐标为，半径，直线l被圆C截得的弦长为，圆心C到直线l的距离．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程：，显然满足；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：，即，由圆心C到直线l的距离得：，解得，故直线l的方程：；综上所述，直线l的方程为或．（2）直线与圆相交于P、Q两点，的斜率一定存在且不为0，设直线l方程：，即，则圆心C到直线l的距离为，又的面积，当时，S取最大值2，此时，得或.直线l方程为：或.22．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．(1)若，求的值；(2)设直线、的斜率分别为、，试探究