数学-河南省金太阳2024-2025学年高三年级上学期7月开学联考试题和答案

高三数学试卷参考答案1.CA∩B={0,1}.2义22义23.A因为(a十λb)丄b,所以a.b十λb2=0,即1十λ=0,解得λ=—1.4.B因为sin2α—cos2α=1,所以2sinαcosα—2cos2α十1cosα(cosα=0舍去),所以tanα=1.5.C不考虑每个盒子最多只能装3个球,有34种放法.若将4个球放入同一个盒子中,有3种放法.故不同的放法有34—3=78种.6.A因为2a=b,2b=3,所以a=log2b,b=log23,ac=log2b.logb6=log26=log23十1,故b十1=ac.7.D由图可知T=—=,则T==π,解得|w|=2.因为w>0,所以w=2.因为f(儿)的图象经过点,0),所以f=Asin十φ)=0,所以十φ=kπ(k∈z),解得φ=kπ—.因为0<φ<π,所以φ=因为f(儿)的图象经过点(0,2\2),所以f(0)=Asin=2\2,解得A=4.8.DF(—2,0).根据对称性,不妨设过点F的直线为儿=my—2(m>0),联立可得y2—12my十9=0.设A(儿1,y1),B(儿2,y2),则y1十y2=1,y1y2=①因为|BF|=2|AF|,所以—y2=2y1.②解得m=\35(负值已舍去),y1=, 所以|AB|=\1十m2.|y1—y2|=×3|y1|=×9\835=【高三数学●参考答案第19.ABC依题可知,Y~N(500,202),P(Y<480)=P(Y<500—20)=P(Y>500十20)≈0.1587<0.2,C正确,D错误.因为X~N(430,202),所以P(X>450)=P(X>430十20)=P(X<430—20)≈0.1587,P(X>480)<P(X>450)<0.2,A正确.因为P(X<450)=1—P(X>450)≈1—0.1587=0.8413,所以P(X<480)>P(X<450)>0.8,B正确.10.ABD令儿=y=0,得f(0)=0,A正确.令儿=y=1,得f(1)=f(1)十f(1),所以f(1)=0.令儿=y=—1,得f(1)=—f(—1)—f(—1),所以f(—1)=0,B正确.令y=—1,得f(—儿)=—f(儿),所以f(儿)是奇函数,C错误.令儿=,y=2,得f(1)=2f十f(2)=0,所以f(2)=—4ff.f(2)=—4[f2≤0,D正确.11.BCD设这两个球缺的底面圆半径为r,则r2十d2=R2,解得r2=R2,该圆的面积为πR2,A错误.设两个球缺的高分别为h1,h2(h1<h2),则h1十h2=2R.由=,得=,则h2=3h1,所以h1十3h1=2R,解得h1=,h2=R.V1=π(3R—h1).h=π(3R—2=,同理得V2=,所以=,B正确.R—1===十=十1.设=儿,由≤d<R,得1<儿≤3,则=十=1—R—10,C正确.2,f,(儿)>0在[3,十∞)上恒成立,即f(儿)在[3,十∞)上单调递增,所以f(儿)≥f(3)=,即≥,D正确.12.1因为T2=T4,所以a3a4=1,则a3a4=a1a6=a2a5=1,故T6=a1a2a3…a6=1.【高三数学●参考答案第2 13.\—1不妨设P在第一象限,则P(,\C).因为P为C上一点,所以(2)2十(\)2=1,化简得4a4十C4—8a2C2=0,即e4—8e2十4=0,解得e2=4—2\3或e2=4十2\3(椭圆的离心率小于1,舍去).故e=\3—1(e=1—\3舍去).14.(—∞,—2)U(—2,—eln2)由题意可得方程(2儿十a儿)(2儿—2儿)=0有4个不同的根.方程2儿—2儿=0的2个根为儿1=1,儿2=2,则方程2儿十a儿=0有2个不同的根,且a≠—2,即函数y=2儿与函数y=—a儿的图象有两个交点.当直线y=—a儿与函数y=2儿的图象相切时,设切点为,因为y,=2儿ln2,所以解得儿=log2e,a=—eln2.要使函数y=2儿与函数y=—a儿的图象有两个交点,只需直线y=—a儿的斜率大于eln2,故a的取值范围为(—∞,—2)U(—2,—eln2).15.解:(1)因为b十C=2\77a,所以sinB十sinC=2\77sinA=2\77sin=\.…2分 因为sinB=sin(A十C)=\cosC—sinC,……………3分22277.所以\3cosC—1sinC十1sinC=\21,解得cosC=2\22277.sinC=.……………6分由正弦定理=,解得a=\7.……………………7分由余弦定理a2=b2十C2—2bCcosA,得b2十2b—3=0,解得b=1(b=—3舍去).………9分在Rt△ACD中,CD=,………11分所以S△ACD=CA●CDsinC=.……………………13分16.(1)证明:因为△ABC是等腰直角三角形,AB丄BC,O为AC的中点,所以AC丄OB.………………2分又因为平面POB丄平面ABC,平面POB∩平面ABC=OB,所以AC丄平面POB.…4分因为POG平面POB,所以AC丄PO,所以△PAC是等腰三角形,PA=PC.……………………6分(2)解:作PD丄BO的延长线,垂足为D,连接DA,DC.…………………7分OB=\,OP=\,cos上BOP=OP22B2O2=—\,所以cos上DOP= DO=POcos上DOP=\,DP=\OP2—DO2=1.………9分因为AC丄平面POB,所以AC丄PD.【高三数学●参考答案第3因为AC∩BD=O,所以PD丄平面ABCD.易得四边形ABCD为正方形,所以DA丄DC.…………10分以D为坐标原点,DA所在直线为儿轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).11分=(1,0,—1),A=(0,1,0),A→C=(—1,1,0).…11分P设平面PAB的法向量为n=(儿1,y1,义1),P(n则〈!n=0,(n则〈!n=0,=1,可得n=(1,0,1).,!y1=0,C12分D………yAB设平面PAC的法向量为m=(儿2,y2,义AB=0,:十y2=0,取y2=1,可得m=(1,1,1).………13分设二面角C-PA-B的大小为θ, 3.故二面角C-PA-B的正弦值为\3………153.17.解:(1)P1(1,,设抛物线C的焦点为F,根据题意可知|P1F|=十=1,解得P=1.………………4分 (2)因为圆Pn与圆Pn十1彼此外切,所以\/(儿n—儿n十1)2十(yn—yn十1)2=yn十yn十1,……6分)2=(yn十yn十1)2—(yn—yn十1)2=4ynyn十1=儿儿十1.,即=1.……………8分1=1n是以1为首项,1为公差的等差数列,即n=n.故an=n.……………………9分(3)bn=,sn=十十十…十,sn=十十十…十21,两式相减得sn=十3十5十7十…十—21.………………11分13572n—111352n—1令Tn=2十22十23十24十…十2n,则2Tn=22十23十24十…十2n十113572n—111352n—1两式相减得Tn=十2十十十…十—21,…………13分………………………14分【高三数学●参考答案第4所以Sn=3—,即Sn=6—.……18.(1)证明:因为f(儿)=儿十sin儿,所以f,(儿)=1十cos儿≥0,所以f(儿)在R上单调递增.对于任意正实数a,儿十a>儿,所以f(儿十a)>f(儿),所以f(儿)是R上的“a距增函数”.………4分(2)解:因为f(儿)=儿3—儿是R上的“a距增函数”,所以f(儿十a)>f(儿),,……………6分所以3儿2十3a儿十a2—1=0无解,即△=9a2—12(a2—1)<0,解得a>2(a<—2舍去).所以a的取值范围为(2,十∞).……………8分(3)解:因为f(儿)是定义在R上的“2距增函数”,所以f(儿十2)>f(儿).因为f(儿)在(—∞,0]上单调递增,所以f(儿十2)>f(儿)恒成立.……10分②若儿∈(—2,0],则儿十2∈(0,2].因为f(儿十2)>f(儿),所以(儿十2)ln(儿十2)十b(儿十2)>儿十1.………11分令t=儿十2∈(0,2],则tlnt十bt>t—1,即b>1—lnt—.……………12分当t∈(0,1)时,g,(t)>0;当t∈(1,2]时,g,(t)<0.所以g(t)在(0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=0,所以b>0.………14分③若儿∈(0,十∞),则儿十2∈(2,十∞),ln(儿十2)>0.由②可得,要使得f(儿)是定义在R上的“2距增函数”,则必须满足b>0.…………………………16分综上,b的取值范围为(0,十∞).…………17分19.解:由于对称性,不妨固定乙六轮选卡的数字依次为(2,2,4,4,6,6),甲六轮选卡的数字有CC=90种排序方法.……………………2分(1)若甲的总得分为0,则甲六轮选卡的数字依次为(1,1,3,3,5,5),所以甲的总得分为0的概率为1…………(2)若甲的总得分为1,分以下情况讨论.①若甲在第一轮得1分,则第一轮选卡的数字为3或5.若第一轮选卡的数字为3,则第二轮选卡的数字只能为1,第五、六轮选卡的数字只能为5,第三、四轮选卡的数字为3或1,有2种情况.……………5分若第一轮选卡的数字为5,则第二轮选卡的数字只能为1,第五、六轮选卡的数字有一个是5,剩下数字1,3,3随机为其他轮的选卡,有2×3=6种情况.…………6分【高三数学●参考答案第5②若甲在第二轮得1分,类比在第一轮得1分的情况,则有8种情况●…7分③若甲在第三轮得1分,则第一、二轮选卡的数字只能为1,第四轮选卡的数字只能为3,第五、六轮选卡的数字为3或5,有2种情况●………………8分④若甲在第四轮得