高中数学：希望杯竞赛试题详解（110题）高中数学

高中数学：2010希望杯竞赛试题详解(1-10题)

题1已知0<4<0,x=Ja+b—=新一一。，贝ijx,、的大小关系是.

(第十一届高二第一试第11题)

解法1x=>[aVb-y[h=,——产,y=4h-yjh-a=—j=~"/.

yla+b+Yby/h+>Jh-a

O<a<b,：,Ja+1+4b>4b+Nb-a,;.x<y.

解法王，

2=仲$=丑尸1,.a+b>h-a,.-^<l,.-.x<y.

y7b-aJa+O+Jby

副、汪o1111+」+y[b+ylb—ci

解法3---=/-----7=--7=--/=------------------

xy'a+b—'b-\lb—yh—cicici

yjci+b—yjb-ci八11c

=------------------->0,.,.------->0,.'.x<y.

axy

解法4原问题等价于比较后7+痴工与2扬的大小.由d+y2色尹，得

(J〃+/?+Yb—a)~W2(。+0+/?—〃)=4-b,+/?+Jj—〃W1y[b.

,/Ja+1Wdb-a,:.Na+b+y]b-a<2显，:.x<y.

解法5如图1,在函数y=Jx的图象上取三个不|同的点

____C

)、C(a+b,Ja+Z?)・1

b-a9”-a)、B(b,4b

由图象，显然有的°<36，即

Ya+b-Ybyjb-y/b—ci

<，0b-abx

(a+b)—bh-(b-a)

图1

B|J-Ja+b-y/h<y/b-yjb-a,亦即x<y.

解法6令于(t)=[a+t-&,v/(r)=-7=^——单调递减，\^b>b-a,

+，+yjt

f(b)<f(b-a)，即Ja+。一4b<4b-yjb-a,.\x<y.

解法7考虑等轴双曲线12—y2=aa>0).

如图2,其渐近线为y=x.在双曲线上取两点

A(4h,Yb-a)、B(+a,4b).

由图形，显然有的8>1,即时一疝>1,从而x<y.

y/a-^b-y7jb

解法8如图3.在Rt^ABC中，NC为直角，BC=6,

AC=yfb,BD=\[b,则AB=-Jci+b,DC=Jc-a.

在△ABD中，AB-AD<BD,即Ja+D-AD〈瓜

从而灰+b-AD-DC<4b-DC,

即-Ja+h—4b<4b—y/b—a,故x<y.

评析比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方

法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过

分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分

母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁

要注意的是：a,b>0时，—>l^a>b；a/<0时，

3>1oa<6.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对尤,y的倒数作差再与0比较大

b

小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么

样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的

（最起码在包含x,y对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与

解几模型，将的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的

内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的儿何背景，构造平面图形，直观地使问题

得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.

有人对此题作出如下解答：

取a=L/?=2,贝ijx=g—V2=*/y/3+y/2,>V2

11

+1>0,y.可再取两组特殊值验证,都有x<y.故答案为x<y.

从逻辑上讲，取a=l2=2,得x<y.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证,

都得x<y,也只能说明x>y或作为答案是错误的，而不能说明x<y一定是正确的，因

为这不能排除x=y的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改

为选择题：

已知0<4</?,%=，4+/?—后,）=7^—5/，一4,则工,丁的大小关系是（）

A、x>yB、x>yC、x=yD、x<y

此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D,并且方法简单，答案一定正确.

总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是

唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而

不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.

当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.

题2设q>6>c,〃eN,且，+」一2-^恒成立，则〃的最大值为（）

a-bh-ca-c

A、2B、3C、4D、5

（第十一届高二第一试第7题）

解法1原式Q小+二2”.+—

a-bb-c\_a-bb-c

a-b+b-cb-c+a-bb-ca-b、人口出b-ca-b〜4Thv5

=--------------+---------------=2+t-------+------->4，且当----=----,即HII〃+c=2/7口n寸取等

a-bb-ca-bb-ca-bb-c

号・・,.—~~-+-~~-=4.zi<4.故选C.

_"bb-c]min

解法2a>b>c,:.a-b>Q,b-c>O,a-c>0,已知不等式化为

("C尸

〃<--------rh、___=4,即=4,故由已知

(a-b)(b-c)_("加C)L”

得“W4,选C.

由^a-h>O,b-c>O,a-c>有〃(又

解法3a>b>c,0,Wa-c)(―——I——-—|.

\a-bh-c)

+=++卜(1+1)2=4,

即」一+二一]]=4,由题意，〃W4.故选C.

L、"bh-c）]n.n

解法4*:a>b>c,.\a-b>0,b-c>0,a-c>0.二已知不等式可变形为

6f-c)2

n<.记上n

(a-b/b-c)

则"『)：(*)『？呼一沙-cj=4.由题意，〃故选c.

(a-h)[h-c)\a-h)(h-c)

解法5'：a>b>c,—>0,」一>0.于是

a-bb—c

1144

--------1--------27-------xZ------C=------比较得〃<4.故选C.

a-bb-c\a-b)+(h-c)a-c

评析由已知，可得“<(。-/」一+—匚］恒成立.根据常识“若aW/(x)恒成立，则

\a-bb-c)

a</(x)min;若心/(x)恒成立，则("1+1匚］的最小值就是所求n

\a-bb-c)

的最大值，故问题转化为求(a-cf—l—+」一］的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心

\a-hb-cJ

的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已.解法1运用了

(i-+->2,a,b^R+,\解法2运用了ZbJ业］”；解法3运用了“(4+”工+工卜4”；解

ahI2J\ah)

法4运用了“a+822而(〃为eR+?；解法5运用了2」一(a,/?eR+卜.虽解法异彩

aba+b

纷呈，但却殊途同归.

此题使我们联想到最新高中数学第二册(上)P30第8题：

已知〃>/?>c,求证：---I——-——I——>0.

a-bb-cc-a

证：令a-b=x、b-c=y(x>0,y>0),贝lja-c=x+y.

111111x2+y2+xy

--------1---------1=—।-------------=----------------,/x>0,y>0,

a-bb-cc-axyx+yxy(x+y)

a-bb-cc-a

此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了.运用这一思路,

又可得本赛题如下解法：

设a-/?=x,/?-c=>0,y>0),贝lja-c=x+y.一—H——--2"恒成立,就是

a-bb-ca-c

恒成立.也就是恒成立.•.•(x+)，f，+，］24恒成立，

Xyx+y(Xy)(xy)

・•・由题意得〃<4.故选C.

再看一个运用这一思想解题的例子.

/j-.i'H.j八+-p-、Tbc~、Q+/7+C

例J设a,b,cwR,求证：----4-------------1---------->----------------.

b+cc+aa+b2

(第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)

证明设。+c=x,c+〃=y,〃+Z?=z,贝i」a+0+c=；(x+y+z)(x,y,z>0).

..«2b2(a+b)2_(ay-bxf,a2b2(a+b)2

・I-712,•・n2,

xyx+yxy(x+y)xyx+y

2222

abc(a+b)'c(a+b+c)'_(a+b+cy_a+b+cHn

xyzx+yzx+y+z2(〃+b+c)2

a2b2c2、a+b+ca2h2c~〉a+h+c

——十——+—>-----------------1------------1-----------

xyz2b+cc+aa+b-2

本赛题还可直接由下面的命题得解.

命题若>4,>…>*>0,则一--+——i——+-••+----!------2(〃一1.

«1-«2«2-«3见1一。“a}-an

证明：4>a?>…>%>0，，4一。2M2-。3,…,%-1-%都大于。・反复运用①式，可

得：“若无Q,eR+(i=l,2,…,〃)，则之且2摩J-,当且仅当土=歪=--=%时取等号”.

<=|Kyz%%X.

J=1

M士111、(1+1+…+球(〃—厅

故彳J--------1-----------F•••H-----------2-------------------------------------=---------.

%一出%一。3―〃“4一七+。2一+…+一4―〃”

也可以这样证明：

vax>a2>••->an>0,:.ax-a29a2-a3,---,an_1-an>0.故由柯西不等式，得

(—■—+—­—+…+-------)[(%—%)+(%―%)+—・+(。〃一[-2(]+]+•.•+])-

卬一。2%一〃3%一4'~~‘

ST个i

2

=-1)2，即(——--1----------——+…+-------------乂Q[-an)>(M-l)•'•>Q[>0，

%一。2%一〃3%.1一%

Jn-1)2

一-a„

由此可得本赛题的如下解法:

*:a>b>c,a—Z?>0,/?-c>0,a-c>0,--——l——-->——(ktl)---=——.由题

a-bb-ca-b+b-ca-c

意,n<4.故选C.

由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设4>出>%>・•>的)oo>%os，并且

1114x106

,n=-^+—^+--+——,n=U,则机与〃的大小关系是()

%一%。2一”3^2000~~^2001一。2001

A、m<nB、m>nC^m>nD、m<n

碗、200024xl06助、止「

解•・•%>出>。3>〃2000>。2001'm2------------=-------------故选C.

a\~^2001“1一02001

22

题3设实数加满足加2+/=。，x+y=hf则〃+的最大值为（）

A、g(a+b)B、y/a2+b2C、『'D、4ab

(第十一届高二培训题第5题)

解法1设加=y/~acosa,n=4asina.x=4bcos-4hsin/3,

则加戈+ny=4ahcosacos0+4absinasin0=cos(a-/?)<4ab.

即(mx+ny)回=4ah.故选D.

]b

解法2m24-n2=a=>—tn2+—n2。，又A：?+y?=。,「・+几y）=—mx+

aaa

(不3n)2+I：""+y2

—(m2+n2)+(x2+y2)"a+b

%<F+2=-=h.mx+ny

a2

<-Y=-y[ab,当且仅当m=x且的〃=y，即殴=时取等号，.・.（nu+Hy）max二心及

bVaVa

解法3(nvc+ny)2=m2x2+2mxny+n2y2<m2x2+m2y2+/t2x2+«2y2

2

=（m+叫（12+y2）=血...+<yjab9当且仅当my-nX时取等号,故（〃犹十町）好=A/OK

22

—>—>—>—>—>—>—>—>—»

解法4设p=(/n,n),q=(x,y),则〃q=p-qcosff<pq.：.p-q<p•

即+工(〃?2+〃2)+),2)=〃匕,当且仅当p,q共线，即my-nx时取等号，故

解法5若设加x+〃y=A,则直线加x+〃y=k与圆/+产=匕有公共点，于是

-<y/h,B|J\k\=|/?ix+ny|<(mx+ny)=y[ab.

dm2+n2

解法6设&=m+ni,z2=x-yi,则=(m+H/)(x-yz)=(mx+ny)+(nx-?ny)/,.*.

Li,Z2I二J(mx+1y)2+(〃/一加),)22J(g+町『=|/nx+ny\>mx+ny,+〃丁〈卜㈤

=|Z]|-|z2|=dm?+/?•Jx?+，=d,当且仅当my=〃x时取等号,故(加工+〃丁心二^^•

解法7构造函数/(X)=(/+//2+2(〃。+町,)x+-+丁2,

则/(X)=(mX4-x)2+(〃X+y)2>0.故△=4(加x+〃y)2-4(〃/+n2^x2+y2)

=4(mx+〃y)2-4ah<0,B|Jmx+ny<\fab.^mx+^y)niix=4ah.

解法8由/+/=〃,W+yZj还可构造图形(如cJ一、图)，

其中NACB=408=90",71。=^|同,8。=A同，A/b

BO=W，AO=|y|,AB=〃'为圆的直径，由托勒密定

理，ACBD+BCAD^ABCD<AB2,^

加HM+2时.以归/?,,从而得加x+〃yW，石，当且仅当〃?y=〃x且/nx>0时取等

号..*.(mx+/jy)mx=4ab.

评析解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也

是解决此类型问题的通法之一.

解法2运用基本不等式巴2要r2将mx+〃y放大为关于〃J+〃2与/+/的式子，再利

用条件求出最大值.值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法:

.m'+x-n'+y+n)+(x+V)a+b(、a+b.、小八神

mx+ny<----------1----:—=----------------=----(mx+ny)=-----------故选A.错

2222v?/max2

误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到.上述不等式取等号的条件是

a=x①且。=y②，而若①，②式同时取得，则/+〃2=/+>2,即“="这与题设矛盾！

即当aw匕时，加x+町取不到早.解法2是避免这种错误的有效方法.

由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运

用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁.

解法5设必+犯人后，将其看作动直线，利用该直线与定圆/+y2=b有公共点，则

圆心到直线的距离小于等于半径，得k+痴，充分体现了等价转化的解题功能.

解法7运用的是构造函数法.为什么构造函数/(X)=(〃J+〃2)X2+2(〃?X+〃)，)X+x2

+V呢？主要基于两点：①/(X)为非负式(值大于等于0),②由于/(X*0,故有△<(),

而△沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决.

解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理

及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的儿何背景.

拓展此题可作如下

推广若aJ+a，+…++4*'+…+b；=q,则(a']+a2b?+…+。也)口、

=y[pq(当且仅当Jgq=%(i=l,2,…时取得最大值).

步"+…+

府,当且仅当

22

==1,2,...,〃附取等号，，（％仇+a2b2+…+。,伍）,回

本推广实际就是由著名的CM"?（柯西）不等式

(a1仇+a,%+…+。,仇)~—(aj+%~+…++…+b“2)(当且仅当

幺=&=...=2时取等号）直接得到的一个结论.

瓦b2bn

推广有十分广泛的应用，现举一例：

例已知a,仇c,x,y,zwR+,且a+2A+3c=4,'+2+3=8.求++最大值.

解〃+2。+3c=4=>（⑷四『+（病『=

痛2=8.由推广知+2+3^^=y[a-+y[2b-+y/3c-<J4x8—4^/2,当且仅

当即=C聆而=即ax=by=cz=；时取等号.

题4对于旧|W1的一切实数机，使不等式2x-l〉m（x2-l）都成立的实数x的取值范围是

（第十三届高二培训题第63题）

222

x-l>0x-l<0==°,即.x-l>0

解法1题设等价于2x-l或，21或'2x-1或

m<—：----m>-----2x—1>01-

x2-lx2-lx2-l

x2-1<02

r_i_

2x-l或,，所以1<x<2或V5-1<x<1或x=1,即xe(73-1,2).

-1>2x—1>0

x2

解法2已知不等式即G一一（2x-1）＜0,令/（加）=（尤2-则

当即x，±l时，/（/"）是用的一次函数，因为帆W1,即一1<〃?<1时不等式

/(-1)=-X2+1-2X+1<0即

恒成立，所以/（m）在［-1,1］上的图象恒在机轴的下方，故有，

/(1)=X2-1-2X+1<0

,+2X-2>0,解得凤］<x<2(XH1).

X2-2X<0

又当x=l时，/（帆）=-1,适合题意，当x=-l时，/（加）=3不合题意.

故x的取值范围是g-l<x<2.

评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离

参数法，为了达到分离参数的目的，又对/-1分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建

关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式

看成关于机的不等式，从而将原问题转化为函数/（〃?）=①-1}“-（2X-1）在［-1,1］上的图象

恒在机轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又

直观易懂.

当时,不等式，■+1

题50<x<a>2恒成立,则a的最大值是.

x(a-x)2

（第十一届高二培训题第45

题）

22

当］。时，匕+上①，又有(a-x)X

解法10<<22---------------------722②，②+①X2,

xa-xx2("X)

29

a2-x22ax-x2a2-(a-x)2a11

得---1------726,彳-1+>6,3+N8，即—+

x2(a-xYx(a-x)2X(a-x)2X

Q

由-2,得0<。<2,/.a=2.

amax

11141

解法2v2-4+一十一(z

—+---)2+(------------------)2,又—+

2

X(6Z-X)Xa-xxa-xXa-xaa

1Q

>(-)\BP4-H------7当且仅当

ax(a-x)2a

时取等号・・1

I••3+22恒成立,

8

—>2,0<«<2.于是q=2.

amax

11

/十("-')221，由

，可知」>由

解法3原不等式等价于］0<x<6?0,------>0.

2xa-x

?

“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”可知只需一-—>1,即。<2即可,

x+(a-x)

故0<aW2,于是“max=2.

解法4•••4+―^->2即二+1+—-X222①成立，又•.•二+/22恒

x2(a-x)2x2Jx2

成立，r.a只要满足一二-120②就能使①恒成立.由②式，得一x)2〈i,

(a-x)2

x(a-x)<1,-x2+ax-l<0®.由于对称轴x=—€(0,a),由二次函数的性质，当xe(0,。)时，

2

要③式恒成立，则A=a2_4W0.•.0<aW2/.amax=2.

解法5设/ucos^a,^--=sin2<2(0<x<a)，则二+——--~-=—~~i――+

aax(a-x)~acosa

1—sin22a•2个~

11sin4tz+cos4a12o8o2-sin2a..♦2。

--------------------=-=———---------=----------------.1(sin-2a+2)(sm~2a一

2•4----------2---------•44-----------------2。八，

asinaasinacosaa——1si•n42acrsin2a

16

1)<0,B|J2-sin22a>sin42cr,则生理21(当sin22a=1时取等号)，于是

sin2a

11QQ

-耳H---------己2~，由已知，得——之2,・，.0<a<2,6z=2.

x(a—x)aa~max

解法6设x=L,y=—1—(X>o,y>0),贝ij

xa-x

X2+Y222表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆

贬为半径的圆及其外部.由X=±y=—L,得

xa-x

-----4

aXY=x+y,又〃xy=x+Y22VXF,・・.xynf,它表

Q-

曲线xy=3位于第一象限内的一支及其上方部分.依

CT

双曲线xy=*4(x>0)与圆弧x?+y2=2(x>0,y>o)

a

Q

或相离，从而二22,即0<a42/.6/=2.

CTmax

解法7运用结论“如果Xj,y"R+（i=l,2,…,〃）,则江+区+-+M

H为方

区+々+…+乙）2（*）,当且仅当%=三=...=2=人（常数）时取等号.”•.•0<x<a,

%y,力打

.•.a—x〉O.由柯西不等式，有（『+12）（4+—L_）>（1+_L）2®,由（*）得_1+，2刍②.

x（tz-x）xa-xxa-xa

故2（二+—得二+—当且仅当》=幺时取等号，由得

x（a-x）ax（a-x）a~2a

0<a<2/.amax=2.

解法8运用结论“若6>/>•••>，当且仅

当为，的，…，即成等差数列时取等号•”2

(二一+」一]>[1^121]+_L_>_1,当且仅当x=a—x,即X二区时取等

{x-0a-x)["0Ja2x2(a-x)2a22

Q

号,令今之2,得0<。<2/.amax=2.

评析v4+一二？2恒成立,-4+—二？2.故问题的实质就是求

22

x（a-x）[x-（a-x）-Jmin

-4+―二的最小值（关于。的式子）大于等于2的解.因而在0<x<a的条件下，如何求

x~m-X）

•4+'r的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”，

x（a-x）-

解法2运用配方再放缩，解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调

和平均值”，解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个

含参（a）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.

解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己

证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.

拓展此题可作如下推广：

推广1若0<X]<尤2<…<X”T<a,则一7H--------7---1----------<当且仅当

2222

X,(x2-x])(a-x„_,)a

事,》2「一,苞1，。成等差数列时取等号-

证明由已知，0<X[<x“-i<。，则》2-玉>0，与一》2>°，…，a—x._]>0.根据

柯西不等式及解法7运用的不等式（*），有〃，•+--―r+-+一-~r

_x「（x2—X]）'{a—xn_{\

当且仅当修,％x,i,。成等差数列时取等号.

,A+1

推广2若0<%</<­,•<xn_]<a,瓦wR*(i=1,2,・,・,n),kwN+，贝iJ-4r+

W—y当…”等号.

i=l

证明不妨设为=匹,0=/-七,%="X,T,M=由已知得%>0

i=\

〃〃〃〃h

(i=1,2,・・・,〃)且=a，令Cj=」~,贝I」，。=—1=1,由均值不等式，+

i=iaI=Iai=ici

___________ik+\

k

MCi+Mc:+­­•+Mg>(k+1)业即J+kMc；>(k+1)(&,+b2+■­■+hn)-2，则

Z号+MZ2Q+1)(Z犷—，与2(口产，即a'Z与2(&产，

<=1Cii=\r=l<=1Cji=\i=lai»=i

n

（口严

b;=也时取等号.

>^1—,当且仅当为=i=l

-(n

ha-X，

/=1i=\

k+k+

,bt'b2'b,：J-+/+~+2,严

kk

"x/x2(…“J-a

已知/(x)=log.e%(°片)，设a=/(

题6sm*os"),

b=/(jsin夕cos。),c=f[——列1"——],那么“、匕、c的大小关系是

()

(sine+cos。)

A、a<c<bB、b<c<aC^c<b<aD、a<b<c

(第八届高二第一试第10题)

解法1设sine=p,cos6=q.•J海，而/(x)是减函数，

空卜/府)，视a£b「屈&皇，，pq〈凶警,

2Pq<y]~pq..•・2Pq]>即故选D.

p+q1P+口

解法2由题意,令嗯，则sin吗，cos。等吟心竽

sin20_2sin6cose_3-43

Jsin6cos6=—•.・sine=；€(0,l),/(x)是减函数,

2sin。+cos。sin6+cos。2

„1+V3V33-V3，产笆!</(扁在同〈/舄啜总,即…<0.

又----->—>------

422

故选D.

评析这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数/⑺单调递增

X

(减)，则当再<》2时，f(\)<f[.X2)(/(%))>f[x2)),当2>%2时，/(尤1)>/(》2)

(/3)</(%)).因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大

小关系.解法1就是这样解决问题的.

因为正确答案应对一切(0,都正确，故又可以运用特殊值法.对(0,内的某个角

不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊

值。=工，排除了A、B、C、而选D的.

6

当然，此题也可用作差比较法来解：•.・ee(o卷)，.••Sin6e(o,l),「./(x)是单调减函数,

•八八八八71sinO+cosC.r-r—^-----

sin>0,cos0>0.a-b=logsin^----------------log^^vsin^cos/9=

sin6+cos6

logsine-/.J八Wlogsine1=0，-.a<b.5Lb-c=log.Jsin-cos。-

“sincos。

isin23iJsin6cose,sin64-cos01八口n

logsin。———-=logsind九；二唾而夕./.八八二叫皿。1=。，即

smO+cos。2sin"cos92jsin6cos。

sin8+cos8

h<c,c,选D.

I(2、""9

题7已知4=3,不等式4<2的解是

A/2\3J4

(第三届高二第二试第13题)

解原不等式即:<•.•指数函数0是减函数，。=七，.•.原不等式化为

即logJT>log］（正）

log尸>-2,又•.・对数函数log|X是减函数，.•小-1|

&42双

EP|x-l|<2,解得-l<x<3.•.•对数函数logJT的定义域是xHl的实数，.•.原不等式的解

混

是-1<X<1或1cx<3.

评析此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数

不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或

对数式，然后根据底数所属区间是(0,1)或(1,+8),确定以该底数为底的指数函数或对数函数

的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：

⑴若0<a<1,则a""<小"Qf(x)>g(x)；

⑵若a>1,则a"“<ag(A)Q/(x)<g(x)；

⑶若0<a<1,则log/"<log/(x)<=>/(x)>g(x)>0；

⑷若a>l,则log/"<log00</(x)<g(x).

有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下：

(1)4=<:喀"(a>0,c>0,且cHl)；(化为指数式)

⑵a=logc。"(c>0,且cHl).(化为对数式)

例如，2=3啕2将常数2化为3为底的指数式，2=log3y将常数2化为3为底的对数式.

解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略.

若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解.

例不等式'>x的解集是—.

(第十一届高二培训题第40题)

解两边取常用对数，得（lg4）2>lgX,即

-lg2x-lgx>0,1g2x-41gx>O,lgx<OsKlgx>4,/.0<x<1sKx>104.故所求解集是

4

（O,1）U（1O4,+-）.

应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于

1,则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1,则不等号方向改变.

关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的儿何意义求解.下列结论应当理解并熟记（。为

常数）.

⑴凶<4（4《0）的解集是欧；

(2)|x|<a(a>0)的解集是(-a,a)；

⑶|x|〉a（a<0）的解集是R

（4）|x|>a（a>0）的解集是（-~,-a）U.

下列题目供练习：

⑴已知常数,则不等式（tane）*">（cot。）一的解集是.

（第八届高二第一试第16题）

⑵若函数/（x）=1og22）（log24）的定义域是不等式2log,x+71o