高中数学考试的知识点 (一)

高中三角函数常考知识点及练习题

1.任意角的三角函数：

(1)弧长公式：/=|a|HR为圆弧的半径，。为圆心角弧度数，

/为弧长。

(2)

(3)扇形的面积公式：S=LRR为圆弧的半径，/为弧长。

2

(4)

(5)三角函数(6个)表示：a为任意角,角。的终边上任意点P

的坐标为(x,y),它与原点的距离为r(r>0)那么角。的正弦、

余弦、正切、余切、正割、余割分别是：

.yxyxrr

sin。二:，COSQ=—，tantz=—，cota=—，seca=—，csca=—.

rrxyy

(6)

(7)同角三角函数关系式：

①倒数关系：tan〃coto=l②商数关系：tana=S.,

costz

cos。

cottz=----

sin。

③平方关系：sin2tz+cos2tz=1

(8)

(9)引诱公式：(奇变偶不变，符号看象限)k-〃/2+a所谓奇偶

指的是整数k的奇偶性

函数

2.两角和与差的三角函数:

(1)两角和与差公式:

,,c、tantz±tanB

tana{a±/?)=----------注：公式的逆用或者变形

1+tanatan/3

(2)二倍角公式：

tan2a=-^J从二倍角的余弦公式里面可得出

1-tana

降塞公式：COS2a=3跑，

2

.1—COS2Q

sin2a=--------

2

（3）半角公式（可由降塞公式推导出）:

a,1-cost/sinal-costz

tan—=±、----------=-----------=----------

2V1+cosa1+COS67sin。

3.三角函数的图像和性质：（其中Aez）

三角函数

定义域(-8,+(-8,+

OO)OO)

值域[-1,1][-1,1](-8,+

OO)

最小正周

期

奇偶性奇偶奇

单调单调递单调递单调递

性增增增

单调递单调递

减减

对称性

零值点

最值点X=2k7T，无

'max=1；

x=(2k+1)%，

4.函数y=Asin(w+o)的图像与性质:

(本节知识考察一样能化成形如y=Asin(m+e)图像及性质)

(1)

2兀

(2)函数y=Asin(m+9)和y=ACOS@X+Q)的周期都是T

(3)

(4)函数y=Atan((zix+e)和y-Acot@r+⑼的周期都是T=占

(5)

(6)五点法作y=Asing+e)的简图，设/=奴+0,取0、1、»、

红、2乃来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。

2

(7)

(8)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平

移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看

“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。(附上函数平移

伸缩变换)：

函数的平移变换：

①丁二/⑴-^二/0土幻①〉。)将y=/(x)图像沿x轴向左(右)

平移。个单位

(左加右减)

②y=/(x)->)，=f(x)+帅>0)将y=/(x)图像沿y轴向上(下)

平移。个单位

(上加下减)

函数的伸缩变换:

①y=/(x)->y=/Ox)O>0)将y=/(x)图像纵坐标不变，横坐

标缩到本来的‘倍(w>l缩短，0<卬<1伸长)

W

②y=/(x)-y=A/(x)(A>0)将y=/(x)图像横坐标不变，纵坐

标伸长到本来的A倍(A>1伸长，O<A<1缩短)

函数的对称变换：

①

②y=/(x)->y=f(-x))将y=/(x)图像绕y轴翻折180°(整体

翻折)

(对三角函数来说：图像关于x轴对称)

③

④丁=/(幻->丁=-/。)将〉=/。)图像绕％轴翻折180°(整体翻

折)

(对三角函数来说：图像关于y轴对称)

③y=/(X)->y=/(N)将y=/(x)图像在y轴右侧保存，并把右

侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)

->=保存y=/(x)在x轴上方图像，x轴下方图

像绕X轴翻折上去(局部翻动)

5.三角变换:

三角变换是运算化简进程中运用较多的变换，提高三角变换能力,

要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌控运算、化简的方法技能。

(1)

(2)角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角

变换，还可作添加、删除角的恒等变形

(3)

(4)函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函

数。采取公式：

asin0+bcos0=yla2+b2sin(^+^9)其中

a.b

COS。=•/.,sin夕二

yla2+b2yla2+b2

(5)

(6)常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常

数转化为三角函数，特别是常数“1”。

(7)

(8)塞的变换：对次数较高的三角函数式一样采取降幕处理,

有时需要升幕例如：VT/B常用升幕化为有理式。

(9)

(10)公式变形：三角公式是变换的根据，应熟练掌控三角

公式的顺用、逆用及变形。

(11)

(12)结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进

行调剂，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。

在情势上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。

(13)

(14)消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某

些变量，可用此法

(15)

(16)思路变换：如果一种思路没法再走下去，试着改变自

己的思路，通过分析比较去挑选更合适、简捷的方法去解题

目。

(17)

(18)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：

sino+cosQ,sinacos。

sina-cosa,已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时

可以换元。

6.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法):

①y=asinx+。(或acosx+Z?)型：利用二角函数的值域，须注意

对字母的讨论

②y=asinx+bcosx型：引进辅助角化成y=V^TP_sin(x+0)再利

用有界性

③了=asin2x+Ainx+c型：配方后求二次函数的最值，应注意

|sin<1的束缚

④kasinx+人型:反解出sin%,化归为卜inx|<l解决

csinx+d

⑥y=a(sinx+cosx)+/?sinx-cosx+c型:常用到换元法：

f=sinx+cosx,但须注意f的取值范畴：“4收。

(3)三角形中常用的关系：

.AB+C

sinA=sin(8+C),cosA=-cos(B+C)>sin一=cos-----

22

sin2A=-sin2(8+C),cos2A=cos2(3+C)

练习题:

1.（08全国一6）y=（sinx-cosx）2-1是（）

A.最小正周期为2兀的偶函数B.最小正周期为2兀的奇函数

C.最小正周期为兀的偶函数D.最小正周期为兀的奇函数

2.（08全国一9）为得到函数y=cos（x+T的图象，只需将函数

y=sinx的图像（）

A.向左平移生个长度单位B.向右平移四个长度单位

66

C.向左平移辿个长度单位D.向右平移如个长度单位

66

3.（08全国二1）若sina<0且tana>0是，则a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四

象限角

4.（08全国二10）.函数/（x）=sinx-cosx的最大值为（）A.1

B.V2C.V3D.2

5.（08安徽卷8）函数y=sin（2x+$图像的对称轴方程多是（）

6.（08福建卷7）函数片cosx（x£R）的图象向左平移出个单位后，

2

得到函数y/㈤的图象，则g㈤的解析式为（）A.-sinx

B.sinxC.-cosxD.cosx

7.（08广东卷5）已知函数/0）=（1+852小皿2%,%6/?,则y（x）是

（）

A、最小正周期为乃的奇函数B、最小正周期为王的奇

2

函数

C、最小正周期为乃的偶函数D、最小正周期为王的偶

2

函数

8.（08海南卷11）函数/（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别

为（）

A.-3,1B.-2,2C.-3,-D.-

2

2,-

2

9.（08湖北卷7）将函数y=sin（x-。）的图象厂向右平移2个单位长

度得到图象尸，若尸的一条对称轴是直线.不则。的一个可能取

值是（）

10.（08江西卷6）函数/（x）=一为丝一是（）

X

sinx+2sin—

2

A.以4%为周期的偶函数B.以2l为周期的

奇函数

C.以2%为周期的偶函数D.以4%为周期的

奇函数

11.若动直线x=a与函数/（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于

M,N两点,则的最大值为（）A.1B.后C.V3

D.2

12.（08山东卷10）已知cos（a-2）+sina=《百，贝1Jsin[a+答]的值

是（）

B,正

（08陕西卷1）sin33O。等于（

14.(08四川卷4)(tanx+cotx)cos2x=()A.tanxB.sinxC.

cosxD.cotx

15.（08天津卷6）把函数y=sinx（xeR）的图象上所有的点向左平

行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到本来的

3

工倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）

2

A.y=sinB.y=sin,XGR

，XGR

D.y-sin，R

16.（08天津卷9）设。=51!1型，b=cos—>c=tan—>贝1J（）

777

A.a<h<cB.a<c<bC.b<c<aD.h<a<c

17.（08浙江卷2）函数丁=6拘％+（：05彳）2+1的最小正周期是（）

A.-B.nC.—D.2〃

22

18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数

y=cosQ+网）（XG［0,2乃］）的图象和直线y」的交点个数是（）A.0

222

B.1C.2D.4

19.（08北京卷9）若角a的终边经过点21,-2）,则tan2a的值

为.

20.（08江苏卷1）/（x）=cos"q］的最小正周期为『其中⑦>0,

贝（J3~.

21.（08辽宁卷16）设%/（）,』，则函数yJsiMx+l的最小值

<2）-sinlx

为.

22.(08浙江卷12)若sin3+6)=3,则cos26=。

25

23.(08上海卷6)函数f(x)="\/^sinx+sin(j+x)的最大值是_

乙

24.(08四川卷17)求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x_4cos4x的最大

值与最小值。

25.(08北京卷15)已知函数/(x)=sin2s:+V^sinssin(5+/J

(0>o)的最小正周期为冗.(I)求①的值；(H)求函数人幻在区

间0,y上的取值范畴.

26.(08天津卷17)已知函数/(x)=2cos26yx+2sin6yxeos3X+1

(xeR,co>0)的最小值正周期是工.(I)求。的值；

2

(II)求函数/(x)的最大值，并且求使/(幻获得最

大值的X的集合.

27.(08安徽卷17)已知函数/1(x)=cos(2x-巴)+2sin(x-马sin(x+2)

344

(I)求函数/(x)的最小正周期和图象的对称轴方程

(II)求函数7(%)在区间［-会审上的值域

28.(08陕西卷17)已知函数/(x)=2sin2cos2-26sinE+6.

444

(I)求函数/(x)的最小正周期及最值；

(II)令g(x)=/(x+?,判定函数g(x)的奇偶性，并说明理由.

练习题参考答案：

l.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A

ll.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C

19.-20.1021.V322.23.2

325

24.解：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

由于函数z=(M-1)2+6在中的最大值为

最小值为

故当sin2x=-1时)获得最大值1(),当sin2x=1时y获得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合

函数的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幕，利用配方变为复合函数，重视复合

函数中间变量的范畴是关键；

25.解：(I)/(%)=----'~+——sin2cox=——sinIcox——cos2cox+—

22222

=sin2a)x--\+-.

I6j2

由于函数/(x)的最小正周期为兀，且。＞(),

所以生=兀，解得/=1.

2G

(II)由(I)得/(x)=sin(2x-£)+g.

由于OWxW空，

3

所以-四WF,

666

所以-gWsin^2x-^W1,

因此0Wsin(2x-E]+Lw3,即/(x)的取值范畴为0,-

26.解:

由题设，函数/(X)的最小正周期是三，可得女=工，所以啰=2.

22。2