勾股定理八大模型（知识串讲+热考题型）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（人教版）（解析版）

专题03勾股定理八大模型

转分考点速览

一、直角三角形锐角平分线

二、图形翻折问题

三、赵爽弦图

四、风吹树折

五、风吹荷花模型

六、378和578模型

七、蚂蚁爬行

八、重美四边形

知识梳理

一、直角三角形锐角平分线

运用句股定理计算是中考必考知识点，如何巧妙地构造直角三角形是关键.有些难题，同学们找到了直角三

角形，但是还是不会求解，关键一点就是忽略了设未知数列方程来求解.

二、图形翻折问题

矩形的折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行

求解.

三、赵爽弦图

“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间

的关系，那么做此类题时一定非常高效.

四、风吹树折

风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是

对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.

五、风吹荷花模型

风吹荷花类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列

方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。

六、378和578模型

利用勾股定理解三角形是中考中比较难的一类题目，如果对378,578模型比较熟悉，知道其中一个角是60”,

那么对于求面积和求角度类的题目就可以直接秒杀了.

七、蚂蚁爬行

蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效.

八、垂美四边形

对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

0

勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大

量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形

考点精讲

一、直角三角形锐角平分线

一.选择题（共1小题）

1.（2021春•德保县期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=12cm,BC=9cm,将斜边

AB翻折使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为A£>,则CO的长为（）

F.

A.3cmB.4cmC.5cmD.VrZcn

【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB,已知AC的长，可将CE

的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到8的长.

【解答】解：VZC=900,AC=12cm,BC=9cm,

A8=>/122+92=5

由题意得，AE=AB=\5(cm),

：.CE=AE-AC=\5-12=3(cm).

设CD=x,则BD=9-x=DE,

在RtZ\C£>E中，根据勾股定理得

CD1+CE1=DE1,

BP?+32=(9-x)2,

解得x=4,

即CD长为4cm.

故选:B.

【点评】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的.

填空题(共2小题)

2.(2021秋•鹿城区校级期中)△ABC中，AB=AC=5,BC=8,3。为AC边的高线，则80的长为—建

【分析】过4作AEL8c于点E,利用勾股定理得出AE,进而利用三角形的面积公式解答即可.

【解答】解：过A作AE_L8C于点E,

：.BE=EC=^,

AA£=VAB2-BE2=VB2-42=3'

..11

•S^ABC而BOAE=|AOBD'

•・•1^X8X3=y1X5XBD>

5

故答案为：24.

5

【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出AE.

3.（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,OE_LAB于。，交AC于点E,若BC=8D,

AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,则△ADE的周长是8cm.

【分析】连接2E,利用HL证明RtZ\8CE与RtZXBDE全等，利用全等三角形的性质解答即可.

【解答】解：连接BE,

VZC=90°,£>E_LAB于。,

:.NC=NBDE=90°,

在RtABCE与RtABDfi中,

[BE=BE,

IBC=BD'

/.RtABCf^RtABDE(HL),

：.DE=CE,

"：AB=\Qcm,BC=8cm,AC=6cm,

：./\ADE的周长=£>E+AE+AO=CE+AE+AB-BD=AC+AB-BC=6+10-8=8(.cm),

故答案为:8aM.

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出RtZsBCE与RtaBOE全等解答.

三.解答题（共5小题）

4.（2022春•锦江区校级月考）如图，在△ABC中，NC=90°,ZBAC=2ZB,。为8c上一点，过点。

作。E_LA8,垂足为E,连接AO,若CD=OE=1,求48的长.

【分析】由“HL”可证RtZ\AZ）CgRt/VlDE,可得NC4£>=工/BAC=30°,由直角三角形的

2

性质可求解.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,NBAC=2NB,

，/84C=60°.

在RtAADC和RtAADE中，

[AD=AD

|CD=DE，

ARtA4DC^RtA^DE(HL),

：.ZCAD=ZBAD=XZBAC=3OC',

2

在△AOE中，ZAEZ)=90°,Z£A£>=30°,

：.AD=2DE=2,

；在△AOC中，ZC=90°,

.••AC=、AD2_CD2='4-1=V3>

在△ABC中，ZC=90°,ZB=90°-NBAC=30°,

：.AB=2AC=2-/3.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的

一半.也考查了勾股定理，证明NCAQ=NBAO=JL/BAC=30°是解题的关键.

2

5.（2022秋•胶州市校级月考）如图，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=7cm,AC=25cm点P从点A出

发沿A8方向以1cm/s的速度向终点8运动，点。从点8出发沿BC方向以6cs/s的速度向终点C运动,

P,。两点同时出发，设点P的运动时间为/秒.

(1)求8c的长；

(2)当f=2时，求P,Q两点之间的距离；

(3)当AP=CQ时，求f的值？

【分析】(1)在直角△4BC中，根据勾股定理来求8c的长度；

(2)在直角△3PQ中，根据勾股定理来求PQ的长度；

(3)由路程=时间X速度求出AP,BQ,再根据等量关系：AP=C。列出方程求解即可.

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZB=90°,AB=7an,AC=25cm,

BC=VAC2-AB2=24cm.

(2)如图，连接尸。，

BP=1-2=5,

BQ=6X2=12,

在直角△BPQ中，由勾股定理得到：^C=VBP2+BQ2=I3(。①)；

(3)设f秒后，AP=CQ.则

t=24-63

解得/=24.

7

答：P、。两点运动丝秒，AP=CQ.

7

【点评】本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义.解题时，需要熟悉路程=时间X速度，以及变形

后的公式.

6.(2021春•阳谷县月考)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6a〃，BC=Scm,现将直角边AC

沿直线4D折叠，使点C落在斜边4B上的点E处，试求C。的长.

【分析】设CD=xcm,根据翻折的性质可得CD=DE=xcm,AC=AE=6,BD=(8-JC)cm,在RtABDE

中，根据勾股定理进行求解即可得出答案.

【解答】解：设C£>=XC7",

AC=6cm,BC=8cm,

**•AB=1Ocm»

根据翻折的性质可得，

CD=DE=xcm,AC=AE=6f

:・BD=(8-x)an,BE=\Qctn-6cm=4cm,

在中，

B£2+DE2=B£>2,

42+/=(8-x)2,

解得：x=3(cm),

：.CD的长为3cm.

【点评】本题主要考查了翻折的性质及勾股定理，熟练应用翻折的性质进行求解是解决本题的关键.

7.(2021春•蒙阴县期中)小宇手里有一张直角三角形纸片A8C,他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好

使AC落在斜边AB上，且C点与E点重合，小宇经过测量得知两直角边AC=6s,BC=8s,他想用

所学知识求出C。的长，你能帮他吗？

【分析】由于是折叠，所以折叠前后图形形状不变，可得△AC。丝△AED,再利用勾股定理列方程即可

求出CD的长.

【解答】解：如图，

「△ABC是直角三角形，AC=6cm,8c=8c/n,

*'-AB=VAC2+BC2=V62+82=IOCM,

设CD=xcm,

・・・/\ADE由△AOC反折而成，

CD=DE=xcm,

:.BD=(8-x)cm,BE—AB-AE=10-6=4cm,

在中，

BD1=DE1+BE1,即(8-x)2=?+42,

解得x=3Cem),即C£>=3CH.

【点评】此题将勾股定理和折叠的性质相结合，既考查了折叠不变性，又考查了全等三角形的性质，是

一道好题.

8.（2020秋•临漳县期中）如图，RtZ\ABC中，/B=90°,48=3,BC=4,将△ABC折叠，使点B恰好

落在斜边AC上，与点B'重合，为折痕，求。夕的长.

【分析】根据勾股定理得到AC=\AB2+BC2=5,由折叠的性质得到AB'=AB=3,DB'=BD,ZAB

'D=4CB'£）=90°,设8'D=BD=x,则CD=4-x,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,

•••AC=\AB2+BC2=5,

•.•将aABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B'重合，

：.AB'=AB=3,DB'=BD,ZAB'D=ZCB'0=90°,

：.CB'=2,

设8'D=BD=x,则C£>=4-x,

■:DB'2+CB'2=CO2,

.\X2+22=（4-x）2,

解得x=3,

2

：.DB'=3.

2

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

二、图形翻折问题

选择题（共4小题）

1.（2022春•金坛区期中）如图，在矩形中，AB=10,BC=6.点E是边BC上一点,沿AE翻折△

则CE的长是（）

D.3

33

【分析】根据折叠性质可得AF,再根据勾股定理可得OF,由矩形性质可得CF,设CE为x,由折叠性质

可得EF=BE=6-x,再根据勾股定理求解即可.

【解答】解：；四边形A8CD为矩形，AB=10,BC=6,

：.CD=AB=\0,AD=BC=6,ZD=90°,

:沿AE翻折△ABE,

...AF=A8=10,EF=BE,

在Rt/VlO尸中，由勾股定理可得：

DF=VAF2-AD2=V102-62=8,

：.CF=CD-DF=10-8=2,

设CE=x,则

EF=BE=6-x,

在中，CF2+CE2=£F2,

即2?+:=(6-x)2,

解得:尸竺

3

，CE的长为3,

3

故选：B.

【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出C尸，再利

用勾股定理求解.

2.（2022春•宁波期中）如图，将平行四边形ABC。沿对边上两点连线EF对折，使点A恰好落在点C处，

若乙48c=120°,AD=4,AB=8,则AE的长为（）

A.4.6B.4V3C.5.6D.5M

【分析】过点C作CG_LAB的延长线于点G,根据平行四边形的性质可得BC,再由30°角的直角三角形

可得BG,CG,设AE为x,可得BE=8-x,由折叠性质可得CE=AE,在RtACEG中，由勾股定理可求

出x,即可求解.

【解答】解：如图，过点C作CGJ_4B的延长线于点G,

♦.,四边形ABCD为平行四边形，NABC=120°,AO=4,AB=8,

AZCBG=60°,8C=AO=4,

.•.BG=』BC=2,CG=®BC=2代，

22

设AE=xf

：.BE=AB-AE=S-x,

：.EG=BE+BG=\0-xf

・・・平行四边形ABC。沿对边上两点连线EF对折，

***CE=AE=Xf

在Rtz^CEG中，由勾股定理可得：

EG2+CG2=C£2,

即(10-x)2+(273)2=/,

解得：x=5.6,

：.AE的长为5.6,

故选：C.

【点评】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定

理求解.

3.（2022春•思明区校级期中）如图，将正方形A8CO分别沿BE,BG折叠，使边AB,8c在处重合，

折痕为BE,BG.若正方形ABC。的边长为6,E是AO边的中点，则CG的长是（）

A.3B.2.5C.2D.1

【分析】由点E为AQ的中点可得AE=L>E=3,设CG=x,DG=CD-CG=6-x,由折叠性质可得EF=

AE=3,FG=CG=x,利用勾股定理即可求解.

【解答】解：•••四边形ABC。为正方形，

：.AD=CD=6,ZD=90°,

•.•点E是4。边的中点，

：.AE=DE^3,

,/正方形ABCD分别沿BE,BG折叠，

：.EF=AE=3,FG=CG,

设CG=x,则：

DG=CD-CG=6-x,FG=CG=x,

**•EG—EF+FG—3+x,

在RtZ\OEG中，DE2+DG2=EG2,

BP32+(6-x)2=(3+x)2,

解得：x=2,

ACG=2,

故选：C.

【点评】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt^OEG各边表示出来.

4.（2022春♦如皋市期中）如图，将矩形纸片ABCO折叠（AO>AB）,使AB落在A。上，AE为折痕，然

后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接OE,若

)

C.2近D.4

【分析】利用折叠性质证明丝△<?£>£得到BF,即可得到FG,利用折叠性质可得NBAE=45°,从

而得到AF,即可得出A8,从而得到43,，即可求解.

【解答】解：；四边形A8CO是矩形,

/.ZB=ZC=90",

•.•矩形A8C£>折叠，4B落在AO上，AE为折痕，

AZAH'E=90°,BE=B'E,NBAE=NB'AE=45°,

.••四边形ABEB'为正方形，四边形C£>8'E为矩形，

：.CD=B'E,B'D=CE=\,

：.BE=CD,

•：DE=EF,

.".RtAB£F^RtACD£(HL),

:.BF=CE=1,

边折起，使点B落在AE上的点G处,

；.GF=BF=1,NEGF=NB=90°,

：.AF=y/2GF=yf2>

：.AB=AF+BF=yf2+^

.".AB'=AB=&+1,

：.AD=AB'+B'D=M+2,

故选：B.

【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质等知识点，解题的关键是利用全等三角形的性质求出B凡从而

利用折叠的性质求出AF.

二.填空题（共3小题）

5.（2022春•禹州市期中）如图，在RlZxABC中，ZBAC=90°,AB=2®AC=6,点E在线段AC上,

。是线段BC上的一点，连接OE,将四边形ABQE沿直线。E翻折，得到四边形FQ9E,当点G恰好落在

线段AC上时，CG=2,JIIJAE=1.

B.

【分析】设AE^x,根据折叠的性质可得AE=EF,AB=FG,从而可得EG,/8AC=/EFG=90°,在

对△EPG中，利用勾股定理求出EF,即可求解.

【解答】解：设AE为x,

VCG=2,AC=6,

EG=AC-AE-CG=4-x,

•.•四边形ABOE沿直线£>E翻折，得到四边形/CZ）E,/84C=90°,A3=2j，，

：.NEFG=NBAC=90°,FG=AB=2®,EF=AE=x,

在RtZ\EFG中，£F2+FG2=EG2,

即/+（2A/2）2—（4-x）2,

解得：x=\,

：.AE=\,

故答案为：1.

【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，将Rt^EFG各边表示出来.

6.（2022春•思明区校级期中）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E为AB上一点，连接OE,将4

AOE沿。E折叠，点A落在4处，连接AC，若F、G分别为4C、3c的中点，则FG的最小值为1.

【分析】连接AiB,由F、G分别为4C、BC的中点可得FG=LI8,在△AI8O中有AI8+AI£>-B。，由

2

勾股定理可得8C,由折叠性质和矩形性质可得AQ=AO=BC,即可求解.

【解答】解：如图，连接43,BD,

,:F、G分别为4C、8c的中点,

：.FG=1^\B,

2

当尸G的最小时，即4B最小，

•四边形ABC。为矩形，AB=4,BC=3,

：.AD=BC=3,NA=90°,

BD7AB2+AD2=5，

•.•△AOE沿。E折叠，

：.A\D=AD=3,

在△A1B£)中有A\B+A\D^BD,

：.A\B^BD-A\D,

即4B22,

：.FG=1A\B^\,

2

，FG的最小值为1,

故答案为：1.

【点评】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的FG转化为48.

7.（2022春•雨花区校级月考）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8c=18,把矩形折叠，使点。与点B重

合，点C落在点E处，则折痕FG的长为，

【分析】连接8。，在RtZXABO中，求得8。的长，在尸中运用勾股定理求得。尸的长，即可得到

。尸长，最后在RtZVJOF中求得尸。的长，即可得到答案.

【解答】解：如图，连接80,交FG于。，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分B。，

RtAABD中，«0=7AD2+AB2=V182+62=6\/Io,

由折叠可得。。=」8。=3百5，4BF0=/DF0,

2

由可得，ZDF0=ZBG0,

：.NDF0=ZBGO,

:.BF=BG,即ABFG是等腰三角形，

BD平分FG,

：.0F=0G,

由折叠知，BF=DF,

设8"=。尸=%则A尸=18-x,

在Rt/XABF中，（18-x）2+62=A?,

解得x=10,即。尸=10,

尸中，04=加2_口02=，15,

：.FG^2FO=2y/~L0.

故答案为：2小元.

【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关

键是根据勾股定理列方程求解.

三.解答题（共4小题）

8.（2022春•西华县期中）如图，一张矩形硬片ABC。宽AB=6,长AO=10,E是CO边上一点，现将矩

形硬片沿BE折叠，点C的对应点F刚好落在A。边上的点尸处，过点F作FGLA。于点尸，交BE于点G,

连接CG.

（1）判断四边形CEFG的形状，并给出证明；

（2）求四边形CEFG的面积.

【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质可得/G=FE,即可证明；

（2）根据折叠计算边长，利用勾股定理求出A尸，再设EF=x,在《△£>£尸中求出x的值，从而求出CE,

即可求解.

【解答】解：（1）四边形CEFG为菱形，证明过程如下：

由折叠性质可得：

EF=CE,CG=FG,ZCEG=ZFEG,

,：FG±AD,四边形ABC。为矩形，

:.NDFG=NEDF=90°,

J.FG//CD,

:.NEGF=NCEG,

：./EGF=NFEG,

：.FG=EF=CE,

...四边形CEFG为菱形；

（2）'：AB=6,AD=\0,

：.BF=BC=AD=\0,CD=AB=6,

在RtZ\A8F中，^^VBF2-AB2,

即AF—>/102-62—8,

：.DF=AD-AF=2,

设EF=x,则

CE=EF=x,

:・DE=CD-CE=6-x,

在RtZsOEF中，DE2+DF2=EF2,

即(6-x)2+22=X2,

解得：尸改，

3

.•”=也，

3

四边形CEFG的面积为CE•。尸=改><2=皎.

33

【点评】本题考查折叠的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答.

9.(2022春•上杭县期中)如图将边长为4的正方形纸片ABC。折叠，使B点落在CO边上一点E,压平后

得到折痕MN,当日

CD2

(1)求NE的长；

(2)连AMAE,NGLAE,垂足为G,求GN的长;

(3)直接写出AM的长度.

【分析】(1)由折叠性质可得EN=BN,由雪」可得CE=DE,在RtZ\CEN中，利用勾股定理求解即可;

CD2

(2)利用正方形面积减去△ASM和△CEN的面积可得△AEN的面积，利用勾股定理可得AE,利

用三角形面积公式即可求解；

(3)连接BM,EM,由折叠性质可得AM=FM,AB=EF,NBAD=NEFM,可证得△ABM且△FEM,从

而得到在RtZXABM和Rt/XOEM中，设4W=x,则。M=4-x,利用勾股定理分别表示出

EM,利用等量关系构造方程即可求解.

【解答】解：(1)•四边形A8CO为正方形，

.•.NC=90°,

BC=CD=4,

CD2

：.CE=DE=2,

由折叠性质可得：

EN=BN,

设EN=x,则BN=x,

:.CN=BC-BN=4-x,

在RtZXCEN中，由勾股定理可得：

NE2=CN2+CE1,

即/=(4-X)2+22,

解得：i=2.5,

:・NE=2.5；

(2)在中，由勾股定理可得：

AE=VAD2+DE2=V42+22=2屈'

由(1)可得NE=2.5,

：.BN=2.5,

:.CN=BC-BN=\5,

'：SOAHCD=BCXCD=}6,5AABW=—X>4BXBAf=Ax4X2.5=5,S^CEN=AXCWXCE=AX1.5X2=1.5,

2222

SAADE=」XAZ)XOE=工X4X2=4，

22

•9•SZ^AEN=SUABCD-S^ABN-SACEN-S^ADE=16-5-1.5-4=5.5,

*：NG1AE,

•••S“EN=LXAEXNG,

2

即5.5=」X2代XNG,

2

:.NG=］的:

10

(3)如图，连接EM,

山折叠性质可得：

AM=FM,AB=EF,NBAM=NEFM,

：.(SAS),

：.BM=EM,

设AM=x,则£)M=4-x,

在RtaABM中，由勾股定理可得：

BM2=AB2+AM2,

即BM2=42+X2,

在RtZiOEM中，由勾股定理可得：

EM2=DM2+DE2-,

即EW=(4-x)2+22,

•:BM=EM,

：.BM2=EM2,

42+??=(4-x)2+22,

解得：x=0.5,

：.AM=0.5.

【点评】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是明确折叠的性质：折叠

是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等.

10.(2022春•靖江市期中)在矩形A8C。中，AB=6,8c=8,点E是射线BC上一个动点，连接AE并延

长交射线。C于点F,将aABE沿直线AE翻折到△AB'E,延长A在与直线CD交于点M.

(1)求证：AM=MF；

(2)当点E是边8c的中点时，求CM的长；

(3)当C尸=4时，求CM的长.

【分析】（1）由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解；

（2）利用矩形的性质可得AAEB丝△FEC,利用全等三角形的性质可得AB=CF=6,设CM=x,由（1）

可得A例=MF=x+6,DM=6-x,再利用勾股定理即可求解；

（3）当CF=4时，设CM=x,分为两种情况：第一种情况，点E在线段BC上，AM=MF=x+4,DM=6

-x,第二种情况，点E在线段8c的延长线上，AM=MF^x-4,DM^x-6,利用勾股定理即可求解.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCZ）是矩形，

：.AB//CD,

：.ZF^ZBAF,

由折叠性质可得：

NBAF=NMAF,

：.NF=NMAF,

：.AM=MF,

（2）•.•点E是边SC的中点,

：.BE=CE=1.BC=4,

2

•.•四边形ABC。是矩形，BC=8,

：.AB//CD,NB=/BC£）=NAOC=90°,AD=BC=S,

：.ZF=ZBAF,

"：NAEB=NFEC,

:.△AEBQMFECCAAS）,

：.AB=CF=6,

设CM=x,

：.AM=MF=X+69DM=6-x,

212

在RtZXADM中，AM=AD+DM1

(x+6)2=82+(6-x)2,

解得：X=g,

3

.♦.CM的长为反；

3

(3)当CF=4时，设CM=x,应分为两种情况:

第一种情况，如图，点E在线段8c上,

在Rt/XAOM中，AM2=AD2+DM2,

/.(x+4)2=82+(6-x)2,

解得：x=21,

5

...CM的长为21；

5

在RtZ\AOM中，AM2=AD2+DM2,

/.(x-4)2=82+(x-6)2

解得：x=21f

・・・CM的长为21；

综上，当CF=4时，CM的长为久或21.

5

【点评】本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键.

II.（2022春•海陵区期中）在四边形ABC。中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=1O,BC=AD=6,

P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至aAEP的位置，使点B落在点E处.

（1）若P为BC上一点.

①如图1,当点E落在边8上时，求CE的长；

②如图2,连接CE,若CE〃AP,则BP与BC有何数量关系？请说明理由；

（2）如果点P在2c的延长线上，当△「反7为直角三角形时，求PB的长.

【分析】（1）①以点A为圆心，A8为半径交8于点E,利用勾股定理求出OE的长即可；

②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP,BP=PE,从而BP=PC；

（2）由是直角三角形，当NEPC=90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当NECP

=90°时，设BP=x,贝UPC=X-6,在Rt^ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当/PEC=90°时，

点P在线段BC上，不符合题意，舍去.

【解答】解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交8于点E,

：AE=AB=10,AO=6,/。=90°,

六DE=VAE2-AD2=V102-62=8-

：.CE=DC-DE=\O-8=2；

②BC=2BP,理由如下：

•・•将aABP沿直线AP翻折至△4£1产的位置，

/.ZAPB=ZAPEfPE=BP,

*：CE//AP,

:・/CEP=NAPE,NECP=NAPB,

：.ZPEC=/ECP,

:・EP=CP,

:・BP=BC,

:・BC=2BP；

(2):△PEC是直角三角形，

当NEPC=90°时，

VZEPC=ZAEP=ZB=90°,且EP=3P,

.••四边形ABPE是正方形，

：.PB=AB=IO；

当NECP=90°时，

则乙ECP=NB=90°,

:.EC〃AB,

■:DC〃AB,

工点E、D、C三点共线，

由翻折知AE=AB=10,根据勾股定理得。E=8,

：.EC=18,

设8尸=羽则PC=x-6,

在RtAECP中，由勾股定理得：182+(1-6)2=

解得x=30,

：.PB=30；

当NPEC=90°时，点尸在线段BC上，不符合题意，舍去,

图2°

AB

图1

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会

利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

三、赵爽弦图

选择题（共4小题）

1.（2022春•番禺区期末）如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（）

64

36

A.aB.28C.128D.100

16

【分析】由勾股定理即可求出答案.

【解答】解：由勾股定理可知：54=36+64=100,

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型.

2.（2021春•丰南区期中）如图是我国古代著名的'‘赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形

拼接而成，其中AE=10,BE=24,则EF的长是（）

A.14B.16C.1473D.14A/2

【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14,即可利用勾股定理得出EF的长.

【解答】解：♦.•4E=10,BE=24,即24和10为两条直角边长时，

小正方形的边长=24-10=14,

•■•£f=V142+142=14V2-

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.

3.（2019秋•锦州期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中

正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为Si、历、S3.若SI+S2+S3=60,则S2的值是

)

B:

°Fc

A.12B.15C.20D.30

【分析】设每个小直角三角形的面积为m,则SI=4〃?+S2，S3=S2-4/",依据S1+S2+S3—60,可得

4W+S2+52+S2-4zn=60,进而得出52的值.

【解答】解：设每个小直角三角形的面积为"?，则Si=4m+S2，S3=S2-4成，

因为SI+S2+S3=60,

所以4/W+S2+S2+S2-4加=60,

即3s2=60,

解得52=20.

故选：C.

【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等

的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股

定理.

4.（2022春•南潺区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正

方形（如图所示）.某次课后服务拓展学习上，小潺绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交8于点/.记

小正方形EEGH的面积为S，大正方形ABCQ的面积为S2，若1)1=2,C/=l,S2=5SI，则G/的值是

（）

M

A.逗B.J-V2C.叵D.3

520v84

9,S]=9,小正方形边长为2匹，再

【分析】如图，连接OG,先由已知条件分别求得SZMCJMBZH

55_

由勾股定理得:EG=4EH2+HG2=3叵，设AE=BF=CG=Dhf=x,则AF=BG=CH=DE=x+主匠

55

由勾股定理得：CD2=£>//2+C//2,即9=/+（x+司区）2,进而很节AE=BF=CG=DH=x=*ln=EH,

55

再得C”垂直平分E3,再由三角形的“三线合一”得NDG”=N”GE=45°进而得N3G/=90°最后由

勾股定理得：G/=VDI2-DG2=）2=^->即得选项4

V55

【解答】解：如图，连接。G,

；赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形,

：.AE=BF=CG=DH,AF=BG=CH=DE,CHIDE,

'：DI=2,CI=\,

：.CD=DI+CI=2+\=3,

:大正方形ABCD的面积为52,

：.S2=CD2-=32=9,

又小正方形EFGH的面积为5i,S2=5SI,

5i——,

5

:.EF=FG=GH=HE=^/^-,

5

;将EG延长交C£）于点/,

：.ZHGE=45°,在RtZXEHG中，由勾股定理得：^G="\/EH2+HG2=>

5

设AE=BF=CG=DH=x,则AF=BG=CH=DE=x+^^~,

5_

在Rt^CDH中，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2,即9=7+（x+W恒）2,

5

解得：加=2叵，刈=-立叵（不合题意，舍去），

55

即AE=BF=CG=DH=X=^B~,

_5

5

CH垂直平分EC,

.•.£）G=EG=.R页,

5

；.NDGH=NHGE=45°,

：.ZDGE=450+45°=90°,

AZDG/=90°,

在RtZiOG/中，由勾股定理得：G/={D[2_DG2=J22_2=返_,

V55

故选：A.

【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，线

段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，关键是巧添辅助线构等腰直

角三角形，顺利实现求得答案.

二.填空题（共2小题）

5.（2022春•长沙期末）用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直

【分析】由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方

形的面积之和等于最大的正方形的面积.即S|+S2=S3.据此可求S2.

2

【解答】解：设正方形纸片Si，S2,S3的边长分别为a,从c.则Si=J,52=必，S3=c.

由题意可得，人仄c恰好为阴影部分的三角形的三边，

•.•阴影部分的三角形是直角三角形.

.".a2+/?2=c2.

即S1+S2=S3.

:51=9,53=25.

••S2=S3-S\—16.

故答案为：16.

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方.

6.（2022春•丰台区期末）如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个

图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2

的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5,短直角边为3,图2中阴影部分的面积为S,那

图1图2

么S的值为I6

【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积.

【解答】解：由题意作出如下图，

得AC=J^,BD=2,AB=CD,ZvlBO是直角三角形，

则大正方形面积=4。2=34,

△4OC面积=」（5X3-2X3）=4.5,

2

阴影部分的面积5=34-4X4.5=16,

故答案为：16.

【点评】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求

解.

三.解答题（共3小题）

7.（2020春•赣州期末）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成

的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数

学风车”，则这个风车的外围周长是多少？

B.

图⑴图⑵

【分析】由题意NAC8为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由4c延伸一倍，从而求得风车的

一个轮子，进一步求得四个.

【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,则

X2=122+52=169

所以x=13

所以“数学风车”的周长是：(13+6)X4=76.

【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.

8.(2021春•利辛县期中)如图，小明用4个图1中的矩形组成图2,其中四边形ABC。，EFGH,MNPQ

都是正方形，证明：

【分析】由题意可得：S正方形ABC。=(a+b)2,5£^EFGH—C2,S^BEF=—^ab,再根据S方彩ABCD=S

2

正方形EFGH+4sABEF，BP可证得结论•

【解答】证明：♦.,四边形ABC。，EFGH,MNP。都是正方形，

，S正方形ABCD=(a+b)2,S正方形EFGH=C、2，S^BEF=—'Xab,

2

"•"SE方彩ABCD=S正方彩EFGH+4sABEF,

，(a+b)2=<r+4X-Lxa/>,

2

a^+lah+b2,=c2+2ah，

.'.a2+b2—c2.

【点评】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题

关键.

9.(2021秋•凤翔县期中)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定

理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方

形的面积之和，即/abX4+(b-a)?，从而得到等式d=/abX4+(b-a)?，化简便得结论.这

里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用“双求

法”解决下面两个问题

(1)如图2,在RtZXABC中，ZACB=90°,C£)是AB边上的高，AC=3,BC=4,求CQ的长度.

(2)如图3,在△ABC中，A。是5c边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BO=x,求x的值.

【分析】(1)先根据勾股定理先求出A8,再根据“双求法”求出C。的长度;

(2)运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD,德关于x的方程求解.

【解答】解：⑴在Rt/XABC中9耳/+d=5,

由面积的两种算法可得：yx3X4=yX5XCD,

解得：co=£.

5

(2)在RtA4B。中A£>2=42-7=16-』,

在RtZXACC中4)2=52-(6-x)2=-U+lZx-x2,

所以16-7=-11+12%-x2,

解得x金竦

【点评