寒假作业8 选择性必修第一册 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学

寒假作业8数学选择性必修第一册（人教A版（2019）新高

考）全册综合提升卷

一、单选题

1.直线/的方程为x—y+i=o,则直线/的倾斜角为（）

A.30B.45,C.60D.90

2.如图，空间四边形OABC,OA=a^OB=b＞方="，点M在方上，且0例=2似4,

点N为3c中点，则丽=（）

B.-^a-h-c

A.-a--b+-c++

232322

1—1-1—2r2r1r

C.—a+—b——cD.—a+—h——c

222332

r22

3.已知椭圆C：1+vq=l的左、右焦点分别为a/2,过点B作直线/交椭圆。于M,

N两点，则△KMN的周长为（）

A.3B.4C.6D.8

4.己知两个不重合的平面。与平面ABC,若平面。的法向量为"=（2,-3,1）,

AB=（l,0,-2）,AC=（1,1,1）,则（）,

A.平面a〃平面ABC

B.平面a_L平面ABC

C.平面a、平面45c相交但不垂直

D.以上均不可能

5.若直线y=丘与圆（x+2/+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则%,人的

值分别是（)

A.--,-4B.--,4

22

C.y,-4D.g,4

22

6.如图，已知双曲线C:=-2=l（a>0力〉0）的右焦点为凡点P,Q分别在C的两

a'b"

条渐近线上，且P在第一象限，0为坐标原点，若丽=QF1OP,则双曲线C

的离心率为（）

A.A/3B.2C.4D.逐

7.如图，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,A4i=24D,E为侧棱DDi上一点，若直线BD\//

平面AEC,则二面角E-AC-B的正切值为（）

8.已知双曲线=-与=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为月，F2,过月且斜率

a'b-

为-3近的直线与双曲线在第二象限的交点为A,若（恒+品）•豆=0,则此双曲线

的离心率为（）

A.y/2B.百C.—D.2

2

二、多选题

试卷第2页，共6页

9.已知直线5x-12y+a=0与圆f—2x+y2=o相切，则实数。的值可能为（）

A.-18B.8C.-8D.18

10.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点仁写在y轴上，短轴长等于2,离心率为也,

3

过焦点片作y轴的垂线交椭圆C于P,。两点，则下列说法正确的是（）

A.椭圆C的方程为£+x?=lB.椭圆C的方程为三+丁=1

33

C.陀。|=竽D.△PgQ的周长为2百

11.如图，在正三棱柱ABC-A8。中，已知AABC的边长为2,三棱柱的高为L8C,8G

的中点分别为。，。，以。为原点，分别以反，砺，国的方向为x轴、>轴、z轴的正方

向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）

为

A.A(o，&)B.q(1,0,1)

c.西D.昭二（疯6，T

12.抛物线y2=2px（p>0）的焦点为尸，点〃（1,2）,4（不凶）,3（和，2）都在抛物线上，

UUULIuuil1

且E4+b5+RM=0，则下列结论正确的是（）

A.抛物线方程为V=4x

B.产是△人期的重心

C.闸+|碉+|而卜3

D.S&AFO+S&BFO+S^MFO=3

三、填空题

13.在单位正方体ABCQ-AKGA中，£尸分别为的中点，则

cos^EAF=.

14.已知OO：f+y2=5与。。：（x-a）2+y2=尸2相交于A,3两点，若两圆在A点

处的切线互相垂直，且|AB卜4,则O。的方程为.

15.已知椭圆[+[=1（〃>6>0）的两个焦点分别为耳,工，离心率。=变，点P为椭

圆的上顶点，若△PKK的面积为1，则右焦点亮的坐标为.

16.已知矩形ABC。中，AE±BD,CF1.BD,A£=Cr=4,EF=3,E,F为垂足.

将矩形A8CO沿对角线3。折起，得到二面角4-3D-C,若二面角A'-8£>-C的大

小为60。，则A'C=.

四、解答题

17.已知.直线4：3x+y+2=0；l2:mx+2y+n=0.

（1）若LU，求也的值；

（2）若“4,且直线4与直线4之间的距离为加，求，〃、〃的值.

18.如图，已知A4_L平面ABC£>,底面ABC。为矩形，PA=AD=AB=2,M,N分别

为A3,PC的中点.

试卷第4页，共6页

p

（1）求证：MN〃平面240；

（2）求PO与平面PMC所成角的正弦值.

19.1.已知圆必：X2+9+2X=（）与圆A/2：x2+y2+8x+q=o外切.

（1）求实数。的值；

（2）若直线x-夜y+l=（）与圆也交于A，B两点，求弦AB的长.

20.已知抛物线C的焦点为F（m,0）（m>0）,N为抛物线上一点，闪尸|=4］。日且

S^NFO=6

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F且斜率为k的直线/与C交于A,8两点，|AB|=8,求直线/的方程.

21.如图，在四棱锥P-A8CC中，底面488是平行四边形，侧棱尸。，底面4BC。,

PD=DA=DB,PBLBC,E为PB中点,尸为PC上一点，且PC=3PE

（2）求平面OE尸与平面A8C。夹角的余弦值.

22

22.已知椭HC:力表一IS〉人〉。）的左、右焦点分别为小尸”离心率为〜点尸

是椭圆C上的一个动点，且心面积的最大值为方.

（1）求椭圆C的方程;

(2)设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q.

(i)求|PQ|的取值范围；

(ii)若PQ的垂直平分线交y轴于点T(0,。)，求直线的斜率.

O

试卷第6页，共6页

参考答案

1.B

【分析】

根据直线倾斜角与斜率的关系求直线/的倾斜角.

【详解】

设直线倾斜角为。，则tan6=l,又万，

...6=45°.

故选：B.

2.B

【分析】

利用空间向量运算求得正确答案.

【详解】

丽=丽一叫（而+*砺=一|吟+呆

故选：B

3.D

【分析】

由A%WN的周长为小⑶=|MN|+|M闾+|N闾=段+WG+|N闾，结合椭圆的定义,

即可求解.

【详解】

22

由题意，椭圆。:工+匕=1,可得/=4,即。=2,

43

如图所示，根据椭圆的定义，可得△入"N的周长为心MN=|MN|+|M段+|叫|

=|吗|+附与|+|N耳|+|N闾=加+勿=4«=8

故选：D.

4.

【分析】

答案第7页，共13页

求出平面ABC的法向量，利用向量关系即可判断.

【详解】

设平面ABC的法向量为n?=(x,y,z),

in-AB-0[x-2z=0

则_:,即八，令x=2,可得y=-3,z=l,

m-AC=O[x+y+z=O

所以碗=(2,-3』)，

因为1=而，所以平面a〃平面ABC.

故选：A.

5.D

【分析】

先利用平面几何知识得到y=履与2x+y+b=0垂直，且直线2x+y+A=0过圆心，再列方

程进行求解.

【详解】

由题意得？=丘与2x+y+6=0垂直，

且直线2x+y+b=0过圆心(―2,0),

故选：D.

6.B

【分析】

设得到根据而=无，求得P,Q的坐标，根据砺,而，列

出方程，求得进而求得双曲线的离心率.

【详解】

由题意，可设尸则。卜为]天),

因为南=炉，且*c,0),可得2x0=c,即Xo=$,所以喑，知，Q

Zyx乙a)

又诙J_丽，所以丽・丽=0,即X-+

2

所以。的离心率e=

答案第8页，共13页

故选B.

7.B

【分析】

连接交AC于点F,连接EF,由二面角的平面角的定义得到NEFQ为二面角E-AC-。

的平面角，然后在三角形中利用边角关系分析求解即可.

【详解】

解：连接3。交AC于点F,连接EF,

由题意可知，BDJ/EF,

因为F为80的中点，

所以E为力。的中点，

又AC_L平面BDDiBi,

则/斯。为二面角E-AC-D的平面角，

历

设A0=a,则EZ)="，DF=—a,

2

EDr~

在RthEFD中，sinNEF£)=——=V2,

DF

又二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补，

所以二面角E-AC-B的正切值为-夜.

故选：B.

8.D

【分析】

根据("N+4%)工7=0得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到|整|,设

NA耳5=6,进而作斗WLAg,得出sin£,最后求出答案.

答案第9页，共13页

【详解】

由（欣+叫.以=0n（欣+刑•回-悯=疝2_府=0=向=|加,

|A耳|=|耳闻=2c,由双曲线的定义知，|A同=2a+2c,设NA耳玛=。，tand=-3",易

得cos*-：,sing=<pH逐亘=3,如图，作用0，4名，M为垂足，则5皿4=唱，

82V2422c

.a+c3.a1cc

••----=-f••一=—,e=-=2,

2c4c2a

9.AB

【分析】

利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得。的值.

【详解】

圆/-2》+丫2=0的圆心为(1,0),半径为1.

由于直线5x-12y+a=0与圆f-2x+y2=0相切，

所以43"=1,|5+同=13,“=8或4=_18.

故选：AB

10.AC

【分析】

AB选项，根据短轴长，离心率和q2="+c2求出/=3,b=l,焦点耳，鸟在y轴上，所以

求出椭圆方程；C选项，求出P,。两点的横坐标，进而得到通径长；D选项利用椭圆的定

义进行求解.

【详解】

由题意得：2/，=2,所以6=1,因为£=堂，a2=l+c2,解得：/=2,/=3,因为焦点片名

a3

答案第10页，共13页

2

在），轴上，所以椭圆C的方程为3+/=1,A正确，B错误；不妨设耳（0,夜），则P,Q

两点的纵坐标也为正，令（+》2=1中好应，解得：x=土当,所以不妨令尸（^，女，

所以PQ=拽，C正确；根据椭圆的定义可知，△尸与。的周长为4a=46，

故D错误.

故选：AC

11.ABC

【分析】

求出等边三角形的高AO的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可

判断.

【详解】

在等边AABC中，AB=2,BD=\,所以AD=J5,则

A（0,0）,A（O,V3,1）,C,（1,0,1）,0,（0,0,1）,B,（-1,0,1）,则宿=（0,-班,1）,彳=（1,其—1）.

故选：ABC

12.ABD

【分析】

把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得尸是AABM的重心，利用抛物线的定义可

|Uiruuiruur।

得|FA|+|FM\+\FB\=6,利用三角形面积公式及玉+电=2,可得+或眇。+S1MF0=3.

【详解】

对于A,由〃（1,2）在抛物线上可得4=2p,即抛物线方程为V=4x,正确；

对于B,分别取的中点。,后，则为+翔=2防，第=-2防，即F在中线例。上,

同理可得尸也在中线5E上，所以F是AABM的重心，正确；

对于c,由抛物线的定义可得网=X,+L『M=2,网=w+1,

Iuuruuiruir।

所以网+|FM|+|FB卜玉+X2+4.

由尸（1,0）是AABM的重心，所以4+；+l=[,即％+々=2,

।uu*iiuii'uurI

所以|必|+|尸根+忻8卜玉+々+4=6,不正确；

对于D,Saw=；|。尸||y|，S）.=X|；

同理S\BF0=；yj=x?,S\MF0=1,

答案第11页，共13页

所以+S^BFO+S△何-0=X|+尤2+1=3,正确.

故选：ABD.

13.-##

5

【分析】

建立空间直角坐标系，利用向量法计算cosNEAF.

【详解】

正方体的棱长为1，建立如图所示空间直角坐标系,

则4(1,0,0),0,1),尸(1,1,g),

施=(一；,0,1)而=(0,用，

cos/EAF=cos（AE,AF）=AEAF_2

|AE|.|AF|=5-

2

故答案为：y

14.(x-5)2+y2=20

【分析】

由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时过对方的圆心，再

利用直角三角形进行求解.

【详解】

答案第12页，共13页

由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心0、

则在RtAOOp中，|00=°,|。4|=不，|0闻=一，斜边上的高为怨=2,

由三角形等面积法可得：舟=2a，

由勾股定理可得：/=5+/，

由以上两式可解得：a=5,产=20,可得圆。|的方程为：（x-5）2+）户=20.

故答案为：（x-5）2+9=20.

15.（1,0）

【分析】

直接根据条件列关于的方程组求解即可.

【详解】

J也

a2

由已知，:从2。=1,解得c=l,

2"12+c'2

故右焦点心的坐标为（1,0）.

故答案为：（1,0）

16.5

【分析】

先通过向量的加法将A^C用己知条件相关的向量即H及酝，京7表示出来，平方后就会发现

展开式的所有项都能求出答案，即可求解|碇^即A'C'的值.

【详解】

答案第13页，共13页

因为热=凝+乔+胃，所以

(AV)2=(AE+EF+FC'^=7^E+EF2+FC2+2AE-FC+2^EEF+2FCEF

2227;70

=4+3+4+2|AE|x|FC|xcos(A£,rc,^=41+2x4x4xcosl20=25,

所以|和|=5,即AC=5.

故答案为：5.

2

17.(1)m-——；(2)%=6,〃=一16或〃=24.

3

【分析】

(1)由两直线垂直，可得斜率乘积为-1,列方程可得答案；

(2)由两直线平行，斜率相等可求出机的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出”的

值

【详解】

解：(1)设直线4,4的斜率分别为匕化，则左=-3,自=-£.

若/K，则，勺乂&=半=-1,-,

(2)若l/l*则-3=-5,=＞帆=6,

・•.4可以化简为3x+y+]=0,

2」

又直线4与直线12的距离“二1二府,

一技一

二〃=24或〃=-16,

综上："2=6,〃=一16或〃=24.

18.

(1)证明见解析；

⑵—

3

【分析】

(1)取PD的中点E,连接AE,NE,证明四边形AMNE为平行四边形，从而得MN//AE,

进而可证明MN〃平面P"＞；(2)由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应

的平面向量，求出平面月MC的法向量，由向量的夹角公式代入求解.

(1)

取PD的中点E,连接AE,NEJ：N,E分别为PC,P。的中点，，%£//。£＞且2=^^),

2

答案第14页，共13页

又M为A8的中点，底面A8CD为矩形，,A〃〃C。且4W=；C£),NE//AM且

NE=AM,故四边形4VsVE为平行四边形，,MN//AE,又：AEu平面PA。，MN0平

面PAO,MN//平面PAD

(2)

由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，•.•E4=AZ)=AB=2,所以

C(2,2,0),M(l,0,0),P(0,0,2),0(0,2,0),故丽=(0,2,-2),PC=(2,2,-2),AfC=(1,2,0),设平

_[PCn=0(2x+2y-2z=0_

面加C的法向量”=(x,y,z),则<一=,n,得〃=(2,-l,l),设尸。与

[MC-n=0[x+2y=0

平面PMC所成角为8,则sin9=卜05(丽,矶=4.，故与平面PMC所成角的

正弦值为由.

3

19.

(I)12

(2)2

【分析】

(1)两圆外切，进而圆心距等于半径和，最后解得答案；

(2)算出圆心到直线的距离，进而借助勾股定理求得答案.

(1)

圆监：(x+l)2+/=l,圆心必(-1,0),半径4=1,

圆心：J+y2+8x+a=0,圆心M(T0),半径弓=Jl6-a(a<16)；

因为圆得与圆相外切，所以|必也上4+%即3=1+加工，

答案第15页，共13页

解得a=12.

(2)

由(1)可知，圆“2：x2+y2+8x+12=0,圆心%(Y,o),半径4=2.

所以圆心也到直线x-&y+l=O的距离［=上犍=百，

即恒网=2后方=2"。=2,故弦AB的长为2.

20.

(1)y2=4x

(2)y=x-l或y=x+l

【分析】

(1)抛物线C的方程为丁=4g，利用抛物线的定义求出点M代入抛物线方程即可求解.

(2)设直线/的方程为y=&(x-l),将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公

式可得氏=1或4=一1,即求.

(1)

抛物线C的方程为产=4蛆，

设N(XNJN)，依题意IN尸|=4|。用=4”，由抛物线定义/+机=4%，

即=3，〃.所以后=±2后?，又由工必.。=>/5,得;xmx2®n=6,

解得〃?=1(利=-1舍去)，所以抛物线C的方程为丁=4x(x>0).

(2)

由(1)得/(1,0),设直线/的方程为y=«(x-D,A(X|,y),B(x2,y2),

由］;得左2%~2公+4卜+公=0.

2k2+4

因为△=16公+16>0,故%+马=二一；一

K

4々2+4

所以|AB|=|AF|+|BF|=(X1+l)+(X2+l)=X|+X2+2=——.

K

4G2+4.

由题设知事匕=8,解得％=1或A=-1,

k2

因此直线方程为y=x-l或y=x+l.

21.

(1)证明见解析；

⑵

3

答案第16页，共13页

【分析】

(1)证明AD_L平面以D为原点，DAOB,/)?所在直线为x，)'，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，证明宓.&=o即得证；

(2)利用向量法求平面。瓦'与平面ABC。的夹角的余弦值.

(1)

解：因为尸£>，底面ABCZ),所以PD_LAZ),

又P3_LBC,AD!IBC,AD1PB,

因为P£>,尸8为平面尸切内的两条相交直线，所以4)，平面PDB.

以。为原点，OADB,。户所在直线为x,、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设尸£>=1,则由已知，可得。(0,0,0)由(1,0,0)可(O,1,O),C(-1,1,

0),p((w)，do,g,；m；,i),所以宓&=(0,生)，

(2)

解：因为限(0,器［6=1甘,■1),设平面时的法向量为7=(x,y,z)，

11八

-y+-z=0,

in-DE=0,

由，得112

in-DF=0,n

333

令y=l,则x=_l,z=.l

所以2=(-1,1,-1)为平面DEF的一个法向量，

又底面ABC。，

所以罚=(0,0,1)为平面的一个法向量,